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高中数学 第二 函数 概念 以及 基本 初等 教师版 全套 教案 苏教版 必修 精品 打包

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高中数学第二章 函数概念和基本初等函数Ⅰ教师版全套教案苏教版必修1【精品打包】,高中数学,第二,函数,概念,以及,基本,初等,教师版,全套,教案,苏教版,必修,精品,打包

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第 十课时 函数的 奇偶性（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 了解函数奇偶性的含义 ； 2 掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性 ； 3 初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质 自学评价 1 偶函数的定义： 如果对于函数 ()y f x 的定义域内的任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x ，那么称函数 ()y f x 是偶函数 注意 ： （） “任意”、“都有”等关键词 ； （） 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 x 都必须成立； 2 奇函数的定义： 如果对于函数 ()y f x 的定义域内的任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x ，那么称函数 ()y f x 是奇函数 3 函数图像与单调性： 奇 函数的图像关于 原点 对称 ； 偶函数的图像关于 y 轴 对称 4 函数 奇偶 性证明的步骤 ： （ 1） 考察函数的定义域是否关于“ 0”对称 ； （ 2） 计算 ()的解析式，并考察其与() ； (3)下结论 . 【 精典范例 】 一 判断函数的奇偶性 ： 例 1： 判断下列函数是否是奇函数或偶函数： 判断下列函数的奇偶性： (1) 3()f x x x (2) ( ) 3 1f x x (3) 64( ) 8f x x x ， 2, 2)x (4) ( ) 0 (5) 42( ) 2 3f x x x 析：函数的奇偶性的判断 和证明主要用定义 。 【解】 (1) 函数 3()f x x x的定义域为 R ，关于原点对称， 且 33( ) ( ) ( ) ( )f x x x x x f x ，所以该函数是奇函数。 (2)函数 ( ) 3 1f x x的定义域为 R ，关于原点对称， ( ) 3 ( ) 1 3 1 ( )f x x x f x 且( ) ( )f x f x ，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非 奇 非偶函数。 (3) 函数 64( ) 8f x x x ， 2, 2)x 的定义域为 2,2) 不关于原点对称，故该函数是 非奇非偶函数 。 (4)函数 ( ) 0的定义域为 R ，关于原点对称， ( ) 0 ( ) ( )f x f x f x ，所以该函数既是奇函数又是偶函数 。 (5) 函数 42( ) 2 3f x x x的定义域为 R ，关于原点对称，4 2 4 2( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3 ( )f x x x x x f x ，所以该函数是偶函数。 二 根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值 ： 例 2： 已知函数 ()y f x 是定义域为 R 的奇函数，求 (0)f 的值 【解】 ()y f x 是定义域为 R 的奇函数， ( ) ( )f x f x 对任意实数 x 都成立， 把 0x 代入 ( ) ( )f x f x 得 (0) (0) ， (0) 0f 函数奇偶性 奇偶性定义 奇偶性与函数图像 奇偶性的证明 单调区间定义 听课随笔 三已知函数的奇偶性求参数值： 例 3： 已知函数2( ) ( 2 ) ( 1 ) 3f x m x m x 是偶函数，求实数 m 的值 【解】 2( ) ( 2 ) ( 1 ) 3f x m x m x 是偶函数， ( ) ( )f x f x 恒成立， 即2( 2 ) ( ) ( 1 ) ( ) 3m x m x 2( 2 ) ( 1 ) 3m x m x 恒成立， 2( 1) 0恒成立， 10m ，即 1m 追踪训练 一 1. 给定四个函数 3 3y x x ；1 ( 0)； 3 1； 2 1xy x ；其中是奇函数的个数是 (B) ()A 个 ()B 个 ()C 个 ()D 个 2. 如果二次函数 2 ( 3 ) ( 0 )y a x b x c a 是偶函数，则 b 3. 判断下列函数的奇偶性： （ 1） 22(1 )( ) ( 1 )1xf x （ 2） 21()2 | 2 |（ 3） 22( ) 1 1f x x x 解： (1)函数 22(1 )( ) ( 1 )1xf x 的定义域为 ( 1,1) ，关于原点对称，222(1 )( ) ( 1 )11( 1 ) 11xf x 对于 定义域中的任意一个 x ，22( ) 1 ( ) 1 ( )f x x x f x 所以该函数是偶函数； (2)函数 21()2 | 2 |的定义域2102 | 2 | 0 得 1, 0) (0,1x 关于原点对称，此时 2 2 21 1 1()2 | 2 | 2 ( 2 )x x x x 对于定义域中的任意一个 x ，2 21 ( ) 1( ) ( )()x xf x f 所以该函数是奇函数； (3) 函数 22( ) 1 1f x x x 的定义域为 1,1 关于原点对称，此时( ) 0 , 1 , 1f x x ，所以该函数既是奇函数又是偶函数。 【选修延伸 】 构造函数的奇偶性求函数值 ： 例 : 已 知 函 数 53( ) 8f x x a x b x 若( 2) 10f ，求 (2)f 的值。 析： 该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得 ,两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。 【解】 方法一： 由题意得53( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 8f a b 53( 2 ) 2 2 2 8f a b 得 ( 2 ) ( 2 ) 1 6 ( 2) 10f (2) 26f 方法二： 构造函数 ( ) ( ) 8g x f x， 则 53()g x x a x b x 一定是奇函数 又 ( 2) 10f ， ( 2) 18g 因此 (2) 18g 所以 ( 2 ) 8 1 8f ，即(2) 26f 说明： 如果函数 ()y f x 是奇函数或偶函数，我们就说函数 ()y f x 具有奇偶性； 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既 不 是奇函数 也不 是偶函数 ； 奇 、 偶函数的定义域关于 “ 0” 对称 如果 听课随笔 听课随笔 一个函数的定义域不 关于 “ 0” 对称 ，则该函数 既 不 是奇函数 也不 是偶函数 ； 思维点拔： 一、 等式 ( ) ( )f x f x 和( ) ( )f x f x 的变形形式： 我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处 了将 ()进行化简，其方向是()以外，我们还可以看到其等价形式0)()()()( 0)()()()( 当 ( ) 0恒 成 立 时 ， 也 有()( ) ( ) 1()x f x 、()( ) ( ) 1()x f x 追踪训练 1 下列结论正确的是： (C ) ()A 偶函数的图象一定与 y 轴相交； ()B 奇函数的图象一定过原点； ()C 偶函数的 图象 若不经过原点，则它与 x 轴的交点的个数一定是偶数； ()D 定义在 R 上的增函数一定是奇函数 2. 若函数 当 0x 时， 1f x x，则当 0x 时，有（ C） （ ） ()A ()B ()C 0 ()D 0 3. 设函数 f（ x）在（ ， ）内有定义，下列函数 y= | f（ x） | y= y= f（ x） y= f（ x） f（ x） 中 必 为 奇 函 数 的 有 _ _（要求填写正确答案的序号） 4. 设奇函数 f（ x） 的定义域为 5,5. 若当 x 0,5时 , f（ x） 的图象如 下 图 ,则 不等式 ( ) 0的解是 ( 2, 0) (2, 5) . 5 若 ( ), ( )f x g x 是定义在 R 上的函数， ()()偶函数，且21( ) ( ) 1f x g x ，求 () 解：由题意得： 221( ) ( )11( ) ( )1f x g x g 则221 1 1( ) ( )2 1 1fx x x x x 【 师生互动 】 学生质疑 教师释疑 第十一课时 函数的奇偶性（ 2） 【 学习导航 】 学习要求 1 熟练掌握判断函数奇偶性的方法 ； 2 熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质 ； 3 能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题 【 精典范例 】 一 函数的单调性和奇偶性结合性质推导 ： 例 1： 已知 y=f(x)是奇函数，它在 (0， + )上是增函数，且 f(x) 因为 y=f(x)在 (0， + 上是增函数，且f(x)f(0 于是 F( F()(11(12(x)=)(1 ， 0)上是减函数。 【证明】 设120，则120 ， ()0, ) 上是增函数， 12( ) ( )f x f x ， () ， 11( ) ( )f x f x ，22( ) ( )f x f x ， 12( ) ( )f x f x ，12( ) ( )f x f x， () ,0 上也是增函数 说明：一般情况下，若要证 () 上单调，就在区间 A 上设12 二 利用函数奇偶性求函数解析式 ： 例 2： 已知 () 的奇函数，当x0 时， f(x)=x|x 2|，求 满足表达式 f(x)=x|x 2| 所以 f( x)= x| x 2|= x|x+2| 又 f(x)是奇函数，有 f( x)= f(x) 所以 f(x)= x|x+2| 所以 f(x)=x|x+2| 故当 求实数 解：因为 f(m 1)+f(2m 1)0 所以 f(m 1) f(2m 1) 因为 f(x)在 ( 2， 2)上奇函数且为减函数 所以 f(m 1)f(1 2m) 所以 2 1 22 1 2 21 1 2 所以21f(a+1) D 与 a 的取值无关 2. 定义在 1,1 上的奇函数听课随笔 2 1x n x ， 则 常 数 m ， n ； 3. 函数 f x( ) 是定义在 ( )1 1， 上的奇函数，且为增函数，若 f a f a( ) ( )1 1 02 ，求实数 a 的范围。 解 ： f x( ) 定义域是 ( )1 1， 1 1 11 1 12 22 0 0 2 aa 0 2a 又 f a f a( ) ( )1 1 02 f a f a( ) ( )1 1 2 是奇函数 f a f a f a( ) ( ) ( )1 1 12 2 在 ( )1 1， 上是增函数 1 12a a 即 a 0 解之得 2 1a 0 20 1 a 的取值范围是 0 1 a 思维点拔： 一、 函数奇偶性与函数单调性关系 若函数 ()y f x 是偶函数，则该函数在关于对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数 ()y f x 是奇函数，则该函数在关于对称区间上的点调性是相同的 追踪训练 1 已知 ()y f x 是偶函数，其图 象与 x 轴共有四个交点，则方程 ( ) 0的所有实数解的和是 （ C） ()A 4 ()B 2 ()C 0 ()D 不能确定 2. 定义在 ( ， +)上的函数满足 f( x)=f(x)且f(x)在 (0， +)上，则不等式 f(a)b C.|a|b0 3. f x( ) 是奇函数，它在区间 （其中0 ）上 为增函数 ，则它在区间 ，上（ D） A. 是减函数且有最大值 f m( ) B. 是减函数且 有最小值 f m( ) C. 是增函数且有最 小 值 f m( ) D. 是增函数且有最大 值 f m( ) 4 已知函数 x5+，且 f( 5)= 15，则 f(5)= 31 5 定义在实数集上的函数 f(x)，对任意x y R， ，有f x y f x y f x f y( ) ( ) ( ) ( ) 2且f ( )0 0 。 （ 1）求 证 f( )0 1 ； （ 2）求证： y f x ( ) 是偶函数。 解（ 1）令 x y 0 ，则有 2 0 2 0 2f f( ) ( ) f f( ) ( )0 0 0 1 ， （ 2）令 x0 ，则有f y f y f f y f y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 f y f y( ) ( )这说明 f x( ) 是偶函数 【 师生互动 】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第十二课时 函数的单调性和奇偶性 【学习导航】 学习要求 ： 1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。 2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。 3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。 【精典范例】 一、利用函数单调性求函数最值 例 1、已知函数 y=f(x)对任意 x,yR 均为 f(x)+f(y)=f(x+y)，且当 x0时， f(x)0， 所以 f( f(f(f( f( 因为 又因为 x0时 f(x)0时的情况，从而使问题简单化。 解：因为函数 f(x)在 2,2上是偶函数，则由 f(1 m)f(m)可得 f(|1 m|)f(|m|). 又 x 0时， f(x)是单调减函数， 所以|1|,2|,2|1| 解之得： 1 m21. 追踪训练 1、函数 f(x)= 12 的值域是( ) A.21， + ) B.( ，21C.(0,+ ) D.1,+ ) 答案： A 2、下列函数中，在区间 (， 0)上为增函数的是 ( ) +(x+1)2 x D.y=案： D 3、设 f(x)在 R 上是偶函数，在区间 ( ， 0) 上递增，且有f(2a2+a+1)f(32a+1)，求 答案： 0a3 4、已知 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，它们的定义域均为 x|x R且 x 1，若 f(x)+g(x)=11x，则f(x)=_,g(x)=_ 答案： f(x)=112x， g(x)=125、函数 f(x)=21 是定义在 ( 1，1)上的奇函数，且 f(21)=52. (1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明 f(x)在 ( 1， 1)上是增函数； (3)解不等式 f(t 1)+f(t)0； 答案： (1)f(x)=21 (2)证明略 (3)0t21 第十三课时 映射的概念 【学习导航】 知识网络 映射映射与函数的关系映射的概念对应的概念 学习要求 1、了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射。 2、通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系。 自学评价 1、对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示或文字描述来表示。 2、一般地设 A、 B 两个集合，如果按某种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作： f:A B 3、由映射的概念可以看出，映射是函 数概念的推广，特殊在函数概念中， A、 B 为两个非空数集。 【精典范例】 一、判断对应是否为映射 例 1、下列集合 M 到 P 的对应 f 是映射的是 ( ) 2， 0， 2， P= 1， 0，4,f： M 中数的平方 0， 1， P= 1， 0， 1， f:， P=Q， f:M 中数的倒数。 ， P=R+， f:M 中数的平方 【解】 ： 判定对应 f:A 键是看是否符合映射的定义，即集合 A 中的每一个元素在 B 中是否有象且唯一，若不是映射只要举一反例即可。 答案： 选择 A 二、映射概念的应用 例 2、已知集合 A=R， B=(x,y)|x,y R， f:A B 是从 A 到 B 的映射，f:x (x+1,)，求 A 中的元素 2在 中元素 (23,45)在 思维分析：将 x= 2 代入对应关系，可求出其在 B 中对应元素， (23,45)在 A 中对应的元素可通过列方程组解出。 【解】 ： 将 x= 2 代入对应关系，可求出其在 B 中的对应元素 ( 2 +1， 3). 可通过列方程组也可求出 (23,45)在 A 中对应的元素为21三、映射与函数的关系 例 3、给出下列四个对应的关系 A=N*,B=Z,f:x y=2x 3； A=1， 2， 3， 4， 5， 6， B=y|y N*,y 5， f:x y=|x 1|； A=x|x 2， B=y|y=4x+3，f:x y=x 3； A=N,B=y N*|y=2x 1， xN*， f:x y=2x 1。 上述四个对应中是函数的有 ( ) A. B. C. D. 思维分析：判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。 【解】 ： 中，对 x A，在 f 作用下，在 B 中都有唯一的 象，因此能构成映射 、 B 均为非空数集，因而能构成函数；中，当 x=1时 ,y=0 B，即集合 A 中的元素 1在集合 B 中无象，因而不能构成映射，从而也不能构成函数；中，当 x=0 时， y= 1 B，即 0 在 B 中无象，因而不能构成映射，也就不能构成函数；中的两个对应符合映射的定义，且两个集合均为非空数集，因而能构成函数。 答案： B 【选修延伸】 求映射的个数问题 例 4、已知 A=a,b,c， B= 1， 0，1,映射 f:A f(a)+f(b)=f(c)，求映射 f: A B 的个数。 思维分析：可让 A 中元素在 f 下对应 B 中的一个、两个或三个元素，并且满足 f(a)+f(b)=f(c)，需分类讨论。 【解】 ： (1)当 A 中三个元素都是对应 0 时，则 f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1 个映射。 (2)当 A 中三个元素对应 B 中两个时，满足 f(a)+f(b)=f(c)的映射有 4个，分别为 1+0=0， 0+1=0， ( 1)+0= 1,0+( 1)= 1. (3)当 A 中的三个元素对应 B 中的三个元素时，有两个映射，分别为( 1)+1=0， 1+( 1)=0. 因此满足题设条件的映射有 7 个。 追踪训练 1、下列对应是 A 到 B 上的映射的是 ( ) *,B=N*,f:x |x 3| *， B= 1,1, 2， f:x (1)x ,B=Q,f:x*， B=R， f:x x 的平方根 答案： B 2、设 f:A B 是集合 A 到 B 的映射，下列命题中是真命题的是( ) 不同元素必有不同的象 中必有原象 每一个元素 在 B 中必有象 中的原象唯一 听课随笔 答案： C 3、已知映射 f: A B,下面命题： (1)A 中的每一个元素在 B 中有且仅有一个象； (2)A 中不同的元素在 B 中的象必不相同； (3)B 中的元素在 A 中都有原象 (4)B 中的元素在 A 中可以有两个以上的原象也可以没有原象。 假命题的个数是 ( ) 案： B 4、已知映射 f: A B，其中集合A= 3， 2， 1， 1， 2， 3， 4，集合 B 中元素都是 A 中的元素在映射 f 下的象，且对任意 a A，在B 中和它 对应的元素是 |a|，则集合B 中的元素的个数是 ( ) 案： A 5、若 f:y=3x+1 是从集合 A=1,2,3,k到集合 B=4,7,a4,a的一个映射，该映射满足 B 中任何一个元素均有原象，求自然数 a、 k 及集合 A、B. 答案： a=2, k=5, A=1,2,3,5 B=4,7,10,16 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 第十四课时 分数指数幂（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 理解 2 掌握 n 次根式的性质 ,并能运用它进行化简，求值 ； 3提高观察、抽象的能力 自学评价 1 如果 2，则 x 称为 a 的 平方根 ； 如果 3，则 x 称为 a 的 立方根 2. 如果 *( 1 , )nx a n n N ，则 x 称为 n 次实数方根 ； 0 的 n 次实数方根等于 0 3. 若 n 是奇数，则 a 的 n 次 实数 方根 记作 若 0a 则 正 数，若则 负 数 ； 若 n 是偶数，且 0a ，则 a 的 n 次 实数 方根 为 ； 负数没有 n 次实数方根 4. 式子 1,n n N 叫 根式 ， n 叫 根指数 ， a 叫 被开方数 ； nn a a 5. 若 n 是奇数，则 n a ； 若 n 是偶数，则 n |a 【 精典范例 】 例 1： 求下列各式的值： （ 1） 2( 5) （ 2） 33( 2) （ 3） 44 ( 2) （ 4） 23 【 解 】 （ 1） 2( 5) 5 （ 2） 33( 2 ) 2 （ 3） 4444 ( 2 ) 2 2 （ 4） 23 | 3 | 3 点评 : 正确的领 会求 n 值的公式 是求根式值的关键 。 例 2： 设 30 所以原式 =|x 1|+|x+3| 当 1 x3时，原式 =2x+2 当 3x1时，原式 =1 x+x+3=4 综上所述原式 =1x，x 例 3 计算： 625625 解： 原式 = 22 )23()23( = 2323 =2 3 追踪训练一 1. 27 的平方根与立方根分别是 （ B ） （ A ） 3 3,3 （ B ） 3 3,3 （ C ） 3 3, 3 （ D ） 3 3, 3 根式 根式定义 根式的性质 根式与方程关系 根式的运算 2. 求值： 54925 解：5 9 4 5242 5 224（） 452622525 215415 2 ）（ 。 3. 化简 0,07 78 88 8 式 | | | | 3b a b a b b 【 选修延伸 】 一、 根式 与 方程 例 4:解下列方程（ 1） 32 16x ； （ 2） 422 2 4 0 分析： 对原 方程因式分解。 【 解 】 （ 1） 原 方程可化为 3 8x ， 3 82x ， 原 方程的根为 2x 。 （ 2） 原 方程可化为 22( 4 ) ( 6 ) 0 ， 2 40x ， 2 60x ， 2 6x ， 6x ， 原 方程的根为 6x 。 点评 :通过因式分解把 原 方程转化为 二项方程，再利用根式意义求解。 思维点拔： （ 1）求根式的值时要注意使根式有意义的被开方数的取值范围；（ 2）求形如 n 根式的值时要分清 n 的奇偶性 追踪训练 二 1 221 1x 成立的条件是（ ()D ） ()A 2 01 ()B 1x ()C 1x ()D 2x 2 在 24 ( 4) n ； 214 ( 4) n ； 5 4a ；54a （ ,式中 ，有意义的是（ ()B ） ()A ()B ()C ()D 3 若 35，则 222 5 3 0 9y x y x 53 学生质疑 教师释疑 第十五课时 分数指数幂（2）根式分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂性质运用分数指数幂与方程【学习导航】 知识网络 学习要求 1能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；2熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简 3会对根式、分数指数幂进行互化；4培养学生用联系观点看问题 自学评价1正数的分数指数幂的意义：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义2分数指数幂的运算性质：即 ， ， 3. 有理数指数幂的运算性质对 无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 的正分数指数幂等于 .【精典范例】例1：求值（1） ，（2）（3）， （4） 【解】（1）（2）（3）（4）点评:解题的关键是利用分数指数幂的运算性质例2：用分数指数幂表示下列各式：（1） ；（2） ；（3） 分析：先将根式写成分数指数幂的形式，然后进行运算【解】（1） （2）（3）点评:利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式的形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂例3：已知a+a1=3，求下列各式的值：（1）-；（2）-解：(1)因为(-)2=a12+a1=32=1所以-=1(2) -= (-)(a+1+a1)= 4【解】（1）.（2）=.点评:要学会从整体上寻求已知条件与结论的联系；指数的概念推广后，初中所学的乘法公式和因式分解的变形技巧同样适用.追踪训练一1. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）(1)(xy2)(2)解：(1)原式=(2)原式=a1a1=a22. 已知，求的值.解：，又，又，原式.3. 已知，求的值.解：，.【选修延伸】一、分数指数幂与方程 例4: 利用指数的运算法则，解下列方程：(1)43x+2=25681x(2)2x+262x18=0解：(1)因为43x+2=25681x所以26x+4=28233x所以6x+4=113x所以x=(2)因为2x+262x18=0所以42x32x8=0所以2x=8所以x=3分析：利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.【解】（1）原方程可化为：，原方程的解为.（2）原方程可化为：，原方程的解为.点评:将指数方程转化为一元一次或一元二次方程是解题的关键.思维点拔：（1）根式与分数指数幂运算要灵活地互化；（2）一般地在化简过程中，先将根式化为分数指数幂，然后利用同底运算性质进行运算.追踪训练二1化简：解：2（）3设a1，b0，ab+ab=2，则abab（）或学生质疑教师释疑 第十六课时 指数函数（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 理解指数函数的概念； 掌握指数函数的图象、性质； 2 初步了解函数图象之间最基本的初等变换。 3 能运 用 指数函数的性质比较两个指数值的大小 4提高观察、运用 能力 自学评价 1 形如 ( 0 , 0 )xy a a a 的 函数叫做指数函数，其中自变量是 x ，函数定义域是 R ， 值域是 (0, ) 2. 下列函数是为指数函数有 2 8 (2 1) （ 12a 且 1a ） ( 4) 12 25 10 0 , 0 )xy a a a 恒经过点 (0,1) a 时，函数 单调性 为 在 R 上是增函数 ； 当 01a时，函数 单调性是 在 R 上是减函数 【 精典范例 】 例 1： 比较大小： （ 1） ,（ 2） , ；（ 3） , 分析： 利用指数函数的单调性 【 解 】 （ 1）考虑指数函数 ( ) ， ， ( ) 在 R 上是增函数， （ 2） 考虑指数函数 ( ) ， ， ( ) 在 R 上是 减 函数， 1 5 0 （ 3） ( ) 在 R 上是增函数， ( ) R 上是减函数， 0 1 ， 1 0 点评 :当底数相同的两个幂比较大小时 ，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较 例 2： （ 1）已知 ，求实数 x 的取值范围；（ 2）5x ，求实数 x 的取值范围 . 分析： 利用指数函数的单调性 . 【 解 】 （ 1） ( ) 3在 R 上是增函数， 由 得 ，即 实数 x 的取值范围 是指数函数 定义 图象 性质 比较大小 不等式的解 复合函数的性质 ) . （ 2） ( ) 0 5在 R 上是减函数， 又 2212 5 ( ) 0 ， 由 得 2x ，即 实数 x 的取值范围 是 ( 2, ) . 点评 :通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法 . 例 3： 设 a 是实数， 2( ) ( )21xf x a x R ， （ 1）求 a 的值，使函数 ()（ 2）试证明：对于任意 , ( )a f x 在 R 为增函数； 分析 ： 此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。 （ 1） 2 2 2()2 1 1 2x a a ， 由 ()， ( ) ( ) 0f x f x 即 2 (1 2 )2012 ， 1a . （ 2）证明：设 1 2 1 2,x x R x x，则 12( ) ( )f x f x1222( ) ( )2 1 2 1 21222 1 2 112122 ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 1 )， 由于指数函数 2在 R 上是增函数，且12， 所以 1222即 122 2 0， 又由 20x ，得 12 1 0x ， 22 1 0x ， 所以， 12( ) ( ) 0f x f x即12( ) ( )f x f x 因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数， () 为增函数 . 点评 :求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题 . 追踪训练一 1 ) 在 R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ B ） （ A ） (1, ) （ B ） (0,1) （ C ） ( ,1) （ D ） ( 1,1) ( 0, 1)在区间 1,1上的最大值与最小值的差是 1，求实数 a 的值； 解：当 1a 时， 函数 在区间 1,1 上 是增函数， 111， 1a ， 152a ； 当 01a时， 函数 在区间 1,1 上 是减函数， 111， 01a， 152a ； 综上： 152a 或 152a 3. 解不等式： (1) 293 (2) 3 4 2 6 0 析：本题的本质 是利用函数的单调性求参数的范围 解： (1) 293 2233 又 3在定义域上是增函数 原不等式等价于 22 解之得 2x 原不等式的解集为 | 2 (2) 3 4 2 6 0 可 以 整 理 为3 4 2 6 4 0, 6 0， 4263即122( ) ( )33x ， 又 2()3 定义域上是减函数 ， 1x 故原不等式的解集为 | 1 【 选修延伸 】 一、 与 指数 函数 有关的 复合函数 例 4: 求函数 2 6 1 71()2 的定义域、值域 、单调区间 分析： 原函数 由函数 2 6 1 7u x x 与1()2 复合而成 ，求解时要统筹考虑 【 解 】 设 2 6 1 7u x x ，则 1()2 由于它们的定义域都是 R ，所以函数2 6 1 71()2 的定义域为 R 因为 226 1 7 ( 3 ) 8 8u x x x ， 所以 811( ) ( )22u ，又 1( ) 02 u ， 函数 2 6 1 71()2 的值域为 1(0, 256 函数 2 6 1 7u x x 在 3, ) 是增函数，而 1()2 R 上是减函数， 所以设 123 ，则 12， 从而1211( ) ( )22即 12， 函数 2 6 1 71()2 在 3, ) 是增函数， 同理：函数 2 6 1 71()2 在 ( ,3 是减函数，函数 2 6 1 71()2 的增区间 3, ) ， 减区间是 ( ,3 点评 :形如 () ( 0 , 1 )a a a 的定义域与 ()y f x 的定义域相同； 求值域时要先确定 ()根据指数函数的性质确定 () ( 0 , 1 )a a a 的值域； 当 1a 时， ()与 ()y f x 的单调性相同， 当 01a时， ()与 ()y f x 的单调性相反 思维点拔： （ 1）比较 两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（ 2）与指数函数 有关的 复合函数的 性质既要考虑到 指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质 追踪训练 二 1 求下列函数的定义域、值域： (1) 1218 (2) 11 ( )2 解：（ 1） 2 1 0x 12x原函数的定义域是 1 , 2x x R x， 令 121t x 则 0,t t R 8 ( , 0 )ty t R t 得 0, 1， 所以，原函数的值域是 0, 1y y y （ 2） 11 ( ) 02 x 0x 原函数的定义域是 0, ， 令 11 ( )2 ( 0)x则 01t ， 在 0,1 是 增 函 数 01y， 所以，原函数的值域是 0,1 学生质疑 教师释疑 第十七课时 指数函数（ 2） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 进一步掌握指数函数的图象、性质； 2初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。 3提高观察、抽象的能力 自学评价 1 已知 0, 1， 与 的图象关于 x 轴 对称； 与 的图象关于 y 轴 对称 . 2. 已知 0 , 1;a a h o ，由 的图象 向左平移 h 个单位 得到 的图象； 向右 平移 h 个单位 得到 的图象； 向上 平移 h 个单位 得到 xy a h的图象； 向下 平移 h 个单位 得到 xy a h的图象 . 【 精典范例 】 例 1： 说明下列函 数的图象与指数函数2的图象的关系，并画出它们的示意图： （ 1） 12 ； （ 2） 22 【 解 】 （ 1）比较函数 12 与 2的关系： 312y 与 22y 相等 ， 212y 与 12y 相等， 212y 与 32y 相等 ， 由此可以知道，将指数函数 2的图象向左平移 1 个单位长度，就得到函数 12 的图象。 （ 2）比较函数 22 与 2的关系： 122y 与 32y 相等， 022y 与 22y 相等， 322y 与 12y 相等 ， 由此可以知道，将指 数函数 2的图象向右平移 2个单位长度，就得到函数 22 的图象。 点评 : 一般地，当 0a 时，将函数 ()y f x 的图象向左平移 a 个单位得到 ()y f x a的图象； 当 0a 时，将函数 ()y f x 的图象向右平移|a 个单位，得到 ()y f