高中数学第三章3.4基本不等式新人教A版必修5
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高中数学
第三
基本
不等式
新人
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高中数学第三章3.4基本不等式新人教A版必修5,高中数学,第三,基本,不等式,新人,必修
- 内容简介：
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2002年在北京举行的第 24届国际数学家大会会标 思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 2： t t t 们的面积是 S= 问 1： 在正方形 设 AF=a,BF=b,则正方形的面积为 S= ， 问 3： 有什么样的关系？ 22a b a b从图形中易得， s s,即 问题 1： 那么它们有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=方形 时有 22 =2a b a ba=b 形的角度 数的角度 当 a=a2+2(a b)2=0 结论： 一般地，对于任意实数 a、 b，我们有 当且仅当 a=号成立 22 2a b a b 此不等式称为 重要不等式 问题 2： 当 a,式还成立吗？ 类 比 联 想 推 理 论 证 （特别的）如果 也可写成 ,a b a 代 替 、 可 得a b a b 2a 0 ,b 0 , (, )002b a b 当且仅当 a=b 时 “ ” 号成立 此不等式称为 基本不等式 2算术平均数 几何平均数 (1)两个正数的 算术平均数 不小于 它们的 几何平 均数 . (2)两个正数的 等差中项 不小于 它们的 等比中项 . a b o A B P Q 对基本不等式的 几何意义 作进一步探究 : 如图 ,AQ=a,BQ=b,过点 Q，连 P, 则 _,半径_ 问题： 请比较半弦长 几何意义： 圆的半径不小于圆内半弦长 例 1： （ 1） 用篱笆围成一个面积为 100 问这个矩形的长 、 宽各为多少时 ， 所用篱笆最短 。 最短的篱笆是多少 ？ 解：设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m， 则 00，篱笆的长为 2（ x+y） m. 22 1 0 0 , 2 ( ) 4 0等号当且仅当 x=时 x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为 10用的篱笆最短，最短的篱笆是 40m. 结论 1： 两个正变量 积为定值 ，则 和有最小值 ，当且仅当两值相等时取最值。 （ 2）用一段长为 36这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m， 则 2（ x + y ） = 36 , x + y = 18 矩形菜园的面积为 =18/2=9 得 81 当且仅当 x=y,即 x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为 9园面积最大，最大面积是 81论 2： 两个正变量 和为定值 ，则 积有最大值 ，当且仅当两值相等时取最值。 应用基本不等式求最值的条件： a与 若等号成立，a与 一正 二定 三相等 积定和最小 和定积最大 例 2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池 ,其容积为 4800为 50元 ,池壁每平方米的造价为 120元 ,怎样设计水池能使总造价最低 ?最低总造价是多少 ? 分析 :水池呈长方体形 ,它的高是 3m,底面的长与宽没有确定 水池的总造价也就确定了 解 :设底面的长为 为 池总造价为 根据题意 ,有 : 由容积为 4800得 :3800 因此 600 由基本不等式与不等式的性质 ,可得 即 当 x=y,即 x=y=40时 ,等号成立 所以 ,将水池的地面设计成边长为 40最低总造价为 297600元 . 4800z 1 5 0 1 2 0 ( 2 3 x 2 3 y )32 4 0 0 0 0 7 2 0 ( x y ) 2 4 0 0 0 0 7 2 0 ( x y ) 2 4 0 0 0 0 7 2 0 2 x y z 2 4 0 0 0 0 7 2 0 2 1 6 0 0 z 2 9 7 6 0 0的是 ( ) (A)y=x+4x (B)y=1，且 m=),n=a+1), p=a)则 m,n, ) 3.若 , 且 a+b=3,则 2a+2 ) Cmnp 求画面面积为 4840面的宽与高的比为 a(a 0 , b 0 )2 0， 0，若 是 与 的等比中项，则 a b3 a3 b3 得最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（ 2009年天津理 6） B a 2.（ 2009山东理 12T)设 满足约束条件 若目标函数 ,0,0,02,063 （ 0， 0） 的最大值为 12，则 的最小值为（ ） b 2 A. B. C. D. 4 62538311略解 ： x y 0 2 02 (4,6) 4 6 z 4 a 6
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