均值不等式的 证明(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 均值不等式的证明(精选多篇) 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足 hn?gn? an?qn ?、ana1、a2 、 ?r?，当且仅当 a1?a2? ?an 时取“=” 号 仅是上述不等式的特殊情形，即 dddd 由以上简化，有一个简单结论， 中学常用 均值不等式的变形： 对实数 a,b，有 a 2 22 ?b2?2ab ， a,b?0?2ab 对实数 a,b，有 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 a?a-b?b?a-b? a2?b2? 2ab?0 对非负实数 a,b，有 对实数 a,b,c，有 a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc 对实数 a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法、拉格朗 日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅 助结论。 引理：设 a0，b0，则? a?b?an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件 a0，b0 可以弱化为 a0 ，a+b0 。 当 n=2 时易证； 假设当 n=k 时命题成立，即 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 那么当 n=k+1 时，不妨设 ak?1 是则设 a1,a2,?,ak?1 中最大者， kak?1?a1?a2?ak?1 s?a1?a2?ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不 等式法 琴生不等式：上凸函数 f?x?,x1,x2,?,xn 是函数 f?x?在区间内的 任意 n 个点， 设 f?x?lnx，f ?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明 均值不等式证明 一、 已知 x,y 为正实数，且 x+y=1 求 证 xy+1/xy17/4 1=x+y2 得 xy1/4 而 xy+1/xy2 当且仅当 xy=1/xy 时取等 也就是 xy=1 时 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 画出 xy+1/xy 图像得 01 时，单调增 而 xy1/4 xy+1/xy+1/=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用 均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么 不是用均值不等式证的 法二： 证 xy+1/xy17/4 即证 4-17xy+40 即证0 即证 xy4，xy1/4 而 x,yr+ ，x+y=1 显然 xy4 不可能成立 1=x+y2 xy1/4，得证 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 法三： 同理 0 xy+1/xy-17/4 =/4xy =/4xy 0 xy+1/xy17/4 试问怎样叫“ 利用均值不等式证 明”，是说只能用均值不等式不能穿插 别的途径?! 归纳 2，4，8，16，32.这种 2 的 k 次方的数 一般的数学归纳法是知道 n 成立 时，去证明比 n 大的时候也成立。 而反向数学归纳法是在知道 n 成 立的前提下，对比 n 小的数进行归纳， 指“平方平均 ”大于 “算术平均”大 于“几何平均 ”大于“调和平均” 我记得好像有两种几何证法，一 种三角证法，一种代数证法。 请赐教! -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 sqrt/nn 次根号n/ 证明： 1.sqrt + + )/n)/n 两边平方,即证 + + ) /n 如果你知道柯西不等式的一个变 式，直接代入就可以了： 柯西不等式变式： a1 /b1+a2 /b2+.an /bn / 当且仅当 a1/b1=a2/b2=.=an/bn 是等号成立 只要令 b1=b2=.=bn=1，代入即 可 柯西不等式 * 2./nn 次根号 琴生不等式:若 f 在定义域内是凸 函数，则 nf/n)f+f+.f 令 f=lgx 显然，lgx 在定义域内是 凸函数 nf/n)=1.sqrt/2 两边平方 a +b /4 即证 0 显然成立 2./2sqrt 移项即证-sqrt)0 显然成 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 立 此不等式中 a+b 可以表示一条直 径的两部分，/2=rsqrt 就是垂直于直径 的弦，而 r弦的一半 3.sqrt2/1/a+1/b 两边同时乘上 1/a+1/b 即证 sqrt*2 而 sqrt*=sqrt+sqrt2。 一、均值不等式 概念： 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong 本文主要介绍柯西对证明均值不 等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是 an?gn: 一些大家都知道的条件我就不写 了 x1?x2?.?xn n ? x1x2.xn 我曾经在几个重要不等式的证 明中介绍过柯西的这个方法，现在再 次提出： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 二维已证，四维时： a?b?c?d?2ab?2cd?4 八维时: ?4abcd?4efgh?8abcdefgh abcd ?4abcd 这样的步骤重复 n 次之后将会得 到 x1?x2?.?x2n 2 n ? 2 n x1x2.x2n 令 x1?x1,.,xn?xn;xn?1?xn?2?.?x2? n x1?x2?.?xn n ?a 由这个不等式有 a? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 na?a 2 nn ? 2 n x1x2xna 2?n n ?2a n 1? n2 n 即得到 x1?x2?.?xn n ? n x1x2.xn 这个归纳法的证明是柯西首次使 用的，而且极其重要，下面给出几个竞 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 赛题的例子： 例 1： n 若 0?ai?1 证明? i?1 11?ai ? n 1?n 例 2： n 若 ri?1 证明? i?1 1ri?1 ? n 1?n 这 2 个例子是在量在不同范围时 候得到的结果，方法正是运用柯西的归 纳法： 给出例 1 的证明： 当 n?2 时 11?a1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 ? 11?a2 ? ?2 设 p?a1?a2,q? ?2 ?p?2q?pq?2q?p?2q?p?2q，而这是 2 元均值不等式因此 11?a1? ? 11?a22 n ? 11?a3 ? 11?a4 ? 此过程进行下去 n ? 因此? i?1 1?ai -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 1?2 n 令 an?1?an?2?.?a2n?n?g n 有? i?1n 11?ai 11?ai ? n 11?g ? n n2?n n ? n 1? n 1?g 即? i?1 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 例 3： 已知 5n 个实数 ri,si,ti,ui,vi 都?1, 记 r?t? n 1n n ?r,s ii ? 1n n ?s i i 1n n ?t,u ii ? 1n n ?u -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 i i ,v? 1n n ?v，求证下述不等式成立： ii ? i?1 ? n 要证明这题，其实看样子很像上 面柯西的归纳使用的形式 其实由均值不等式，以及函数 f?ln 因此 e?1e?1 x x 是在 r 上单调递减 rstuv? ? ? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 n 我们要证明： n ? 证明以下引理： n ? n?2 时， ?2 ?a? ?2a?a?2a ?2a 显然成立 2?n n n 因 此? 2?n n ?，g? n ? 因此? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 所以原题目也证毕了 这种归纳法威力十分强大，用同 样方法可以证明 jensen: f?f ?f ，则四维： f?f?f?f?2f?2f?4f 一直进行 n 次有 f?f?.?f n ?f, 令 x1?x1,.,xn?xn;xn?1?xn?2?.?x2? n x1?x2?.?xn n n ?a 有 f?.?f?f