北师大版小学数学第十一册各单元分析

第一单元 圆 一、单元教学目标 1.结合生活实际，通过观察、排队等活动认识圆及圆的对称性，认识半径、 直径，理解同一圆中半径和直径的关系，体会圆的特征及圆心和半径的作用， 会用圆规画圆。 2.结合具体情境，通过动手拼摆等活动，探索并掌握圆的周长和面积的计 算方法，体会“化曲为直”的思想。 3.结合欣赏与绘制图案的过程，体会圆在图案设计中的应用，能用圆规设 计简单的图案，感受图案的美，发展想象力和创造力。 4.通过观察、操作、想象、图案设计等活动，发展空间观念。 5.结合具体情境，体验数学与日常生活的密切联系，能用圆的知识来解释 生活中的简单现象，解决一些简单的实际问题。 6.结合圆周率发展历史的阅读，体会人类对数学知识的不断探索过程，感 受数学文化的魅力，激发民族自豪感，形成热爱数学的积极情感。 二、教材分析 学生在第一学段已经直观地认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图 形以及它们的周长、面积计算，在此基础上本单元进一步学习了圆的知识。本 单元学习的内容主要有：圆的认识，圆的周长，圆的面积等。本单元主要通过 六个活动引导学生展开学习：圆的认识（一） 、圆的认识（二） 、欣赏与设计、 圆的周长、圆周率的历史、圆的面积。本单元教材编写力图体现以下特点。 1.结合具体情境，通过丰富多彩的活动促进学生对圆的特征和圆的对称性 的认识。 圆是定点的距离等于定长的点的集合，这是圆的本质特征。考虑到小学生 的认知水平，教材并没有给出圆的本质特征的描述，但教材在“圆的认识（一） ” 中，通过“观察与思考” 、 “画一画”等活动帮助学生逐步对此加以体会，为学 生到中学阶段学习圆的定义提供了感性认识和直观经验。具体分析，教材在渗 透圆的本质特征时遵循了“借助生活经验动手操作解释生活现象”的线索。 在“观察与思考二”中，教材通过“套圈”游戏情境，引导学生思考哪一种方 式更公平，借助学生的生活经验，使学生初步感受圆的本质特征以及圆与正方 形的不同。在此基础上，教材安排了“画圆”的活动，在学生探索如何画圆以 及亲自动手画圆的过程中，体会圆的本质特征。接着，教材又安排了“画一画， 想一想”的活动，目的是在学生进一步巩固用圆规画圆的过程中，认识到同一 个圆中半径与半径、直径与直径的关系，并且感受到圆心和半径对确定圆的位 置和大小的作用。这实际上是对圆的本质特征的又一次体会。在“观察与思考 三”中，教材引导学生思考和研究“车轮为什么是圆的” ，应用所学的知识解释 生活中的一些现象，进一步在解释生活现象中体会圆的本质特征。 对称性是图形的重要特征。与其他平面图形相比，圆具有很好的对称性： 它是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；它是一个任 意旋转对称图形；圆上的所有点绕圆心旋转任意一个角度后都在圆上。 “圆的认 识（二） ”主要是使学生认识到圆的轴对称性，引导学生开展折纸活动，探索对 称性。再通过设计一个“做一做”活动，使学生对圆的旋转对称性有初步感受。 2.开展测量活动，探索圆周率的意义以及圆周长的计算方法。 教材引导学生开展测量实验活动，通过实际测量与计算，研究发现圆的周 长与直径关系，从而引出圆周率并得到圆的周长计算公式。教材先安排了测量 圆的周长的活动，引导学生根据周长的意义想办法测量圆的周长；然后，组织 学生开展实验探究活动，探究“圆的周长与什么有关，有什么关系” 。教材引导 学生分别测量出不同的圆的直径长度和圆的周长，并利用测量得到的数据计算 每个圆的周长与直径的倍数关系，把不同的圆的有关数据通过表格的形式呈现 出来，发现圆的周长总是直径的 3 倍多一点。在实验探究的基础上，教材介绍 了圆周率并得到圆周长的计算公式。 3.经历探索圆面积计算公式的过程，体会“化曲为直”的思想。 圆是学生第一次接触的曲线围成的图形，研究曲线图形的一个基本思想是 “化曲为直” 。教材力图通过不同情境，不断引导学生体会这一思想。特别地， 在探索圆面积的计算公式的过程中，教材集中体现了“化曲为直”的思想。首 先在估一估圆的面积的活动中，教材通过圆的面积与圆内接正方形和外切正方 形面积的比较，既估计了圆面积的大小范围，又再一次渗透了正多边形逼近圆 的方法。然后，教材把圆进行分割，再拼成一个近似平行四边形或长方形的图 形，如果分割的份数越多，拼出的图形就越接近平行四边形或长方形，由此用 平行四边形的面积公式或长方形的面积公式来推导圆面积的公式。 4.结合适当的素材体现数学的文化价值，引导学生感悟数学文化的魅力。 数学是人类的一种文化，教材注重结合适当的素材体现数学的文化价值， 引导学生感悟数学文化的魅力。同时，结合刘徽、祖冲之等数学家研究圆周率 取得的成就的介绍，激发学生的民族自豪感。教材结合欣赏与设计的内容，引 导学生感受图案美。教材还向学生介绍了螺旋线，让学生尝试画螺旋线，使学 生感受图形世界的神奇，以及图形在生活中的广泛应用。 三、教学重点和难点 重点：掌握圆的特征，能主动探究圆周率、圆的周长和圆的面积公式计算方 法，能运用圆的周长和圆的面积的计算公式解决相关的问题。 难点：探究圆周率、圆的周长和圆的面积的计算公式。 四、课时安排 内容 课时 圆的认识（一） 2 圆的认识（二） 2 欣赏与设计 1 圆的周长 2 数学阅读（圆周率的历史） 1 圆的面积 3 练习一 2 机动 1 知识背景 圆周率 圆周率是一个常数（约等于 3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。它是 一个无理数，即是一个无限不循环小数。但在日常生活中，通常都用 3.14 来代 表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取 值至小数点后约 20 位。 (pai)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没 有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用 来代表 圆周率。既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用 来表示圆周率了。但 除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出 现。 =Pai（=Pi） 古希腊欧几里德几何原本（约公元前 3 世纪初） 中提到圆周率是常数，中国古算书周髀算经（ 约公元前 2 世纪）中有“径 一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似 值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前 1700）中 取 pi=（4/3）43.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米 德，他在圆的度量（公元前 3 世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确 定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正 96 边形，得到 （3+（10/71）（3+（1/7） ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古 典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的 值。 中国数学家刘徽在注释九章算术 （263 年）时只用圆内接正多边形就求得 的近似值， 也得出精确到两位小数的 值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接 正 192 边形，得出 根号 10 （约为 3.16） 。 南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得 出精确到小数点后 7 位的 值（约 5 世纪下半叶） ，给出不足近似值 3.1415926 和过剩近似 值 3.1415927，还得到两个近似分数值，密率 355/113 和约率 227。他的辉煌成就比欧洲 至少早了 1000 年。其中的密率在西方直到 1573 才由德国人奥托得到，1625 年发表于荷兰 工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托 尼斯率。 阿拉伯数学家卡西在 15 世纪初求得圆周率 17 位精确小数值，打破祖冲之保持 近千年的纪录。 德国数学家柯伦于 1596 年将 值算到 20 位小数值，后投入毕生精力， 于 1610 年算到小数后 35 位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 无穷乘积式、无穷 连分数、无穷级数等各种 值表达式纷纷出现， 值计算精度也迅速增加。1706 年英国数 学家梅钦计算 值突破 100 位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将 值计算到小 数点后 707 位，可惜他的结果从 528 位起是错的。到 1948 年英国的弗格森和美国的伦奇共 同发表了 的 808 位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。 电子计算机的出现使 值计算有了突飞猛进的发展。1949 年美国马里兰州阿 伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（ENIAC）计算 值，一下子就算到 2037 位小数，突破了千位数。1989 年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷2 型和 IBMVF 型巨型电子计算机计算出 值小数点后 4.8 亿位数，后又继续 算到小数点后 10.1 亿位数，创下最新的纪录。至今，最新纪录是法国一工 程师将圆周率算到小数点后 27000 亿位亿位。 巧记圆周率 山颠一寺一壶酒，儿乐，苦煞吾。把酒吃，酒杀儿。杀不死，乐而乐。死了算罢了，儿弃沟 吾痛儿，白 白死已够戚矣，留给山沟沟，山拐吾腰痛，吾怕儿冻久，凄事久思思。吾救儿，山洞拐，不宜留 ，四邻 乐，儿不乐，儿疼爸久久，爸乐儿不懂，“三思吧！“ ，儿悟，三思而依矣，妻懂乐其久 第二单元 百分数的应用（一） 一、单元教学目标 1在具体情境中理解“增加百分之几”或“减少百分之几”的意、义，加深对百分数 意义的理解。 2能利用百分数的有关知识以及方程解决一些实际问题，提高解决实际问题的能力， 感受百分数与日常生活的密切联系。 二、单元教材分析： 五年级下学期，学生已经学习了百分数的意义和读写，百分数和分数、小数的互 化，百分数的简单应用，运用方程解决简单的百分数问题，在此基础上，本单元进一步学 习百分数的应用。本单元学习的主要内容有：百分数的进一步应用、运用方程解决简单的 百分数问题。本单元主要是通过四个活动引导学生展开学习的。本单元教材编写力图体现 以下特点。 1.注重百分数在实际生活中的应用 本单元内容的引入与展开，都力求来源于实际生活，体现时代性。 “百分数的应用（一） ”和“百分数的应用（二） ”所涉及的情境，是我国种植杂交水稻的真实情境。教材介绍了 “杂交水稻之父”袁隆平及其研究成果，将这个小知识与问题情境结合起来，让学生真切 地体会到百分数与生活的紧密联系，激发学生学习的欲望。在“百分数的应用（三） ”中， 教材提出了“比较这个家庭支出情况的有关数据，你发现了什么” ，通过观察比较这些数据， 使学生体会到我们生活水平的逐步提高。这一课还特别让学生了解“恩格尔系数” ， “恩格 尔系数”是用来衡量一个国家和地区人民生活水平的，在国际上应用非常广泛，让学生感 受到数学知识在生活中的应用价值，拓展学生的知识面。教材在最后安排了百分数在“储 蓄”中的应用，还安排了小调查，鼓励学生走向社会、走向生活，发现百分数在生活中的 应用。 2.鼓励学生根据问题中的数量关系以及百分数的意义解决问题 在解决实际问题的学习中，本套教材非常注重使学生理解问题中蕴涵的数量关系，强 调对问题实际意义和数学意义的理解。解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识 别存在于日常生活、自然现象与其他学科中的数量关系，并把它们提炼出来，运用所 学的知识对其进行分析，然后综合应用所学的知识和技能加以解决。因此，在解决具 体问题时，教材总是鼓励学生思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系。例如，在 “百分数的应用（一） ”的内容中，教材通过男孩提出“增产百分之几”是什么意思， 引导学生分析数量关系，再一次体会百分数的意义。需要注意的是，在本单元教学时， 教师要鼓励学生根据实际问题中的数量关系和百分数的意义解决问题，而不是依靠记 忆题型和套用方法来解决问题。 三、教学重点和难点： 教学重点：能运用所学知识解决有关百分数的实际问题。 教学难点：运用方程解决简单的百分数问题。 四、教学进度安排。 内容 课时 百分数的应用（一） 2 百分数的应用（二） 2 百分数的应用（三） 2 百分数的应用（四） 2 练习二 机动 3 第三单元单元分析 单元教学目标 1.通过观察、操作、想象，经历一个简单图形经过平移或旋转制作复杂图形的 过程，体验图形的变换，发展空间观念。 2.借助方格纸上的操作和分析，有条理地表达图形的平移或旋转的变换过程。 学习图形变换的主要目的是引导学生从运动变化的角度去探索和认识空间与图 形，发展学生的空间观念。三年级时，学生已经结合实例初步感知了生活中的 平移、旋转和轴对称现象，认识了轴对称图形，能在方格纸上画出简单图形的 轴对称图形，能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向或竖直方向平移后的 图形；四年级时，结合实例观察，学生了解了一个简单图形经过旋转制作复杂 图形的过程，能在方格纸上将简单图形旋转 90。本单元学习的图形变换内容 是在上述基础上的进一步发展，是平移、旋转和轴对称知识的综合运用。通过 具体实例的展示，使学生知道一个简单图形经过旋转、平移或轴对称，能形成 一个较复杂的图形，并能运用图形的变换在方格上设计图案。本单元主要通过 两个活动引导学生展开学习：图形的变换、图案设计。 本单元教材编写力图体现以下特点。 1.结合观察、操作、想象，体会图形变换的过程 教材呈现了多个由简单图形经过平移、旋转或轴对称形成复杂图形的情境，鼓 励学生通过观察、操作、想象，分析图形变换的过程，并运用语言进行表达。 同时，每一个情境中，图形变换的方式和步骤是多样的，通过交流，学生将加 深对平移、旋转、轴对称现象的理解，体验变换过程的多样性。在教材呈现上， 鼓励学生将观察、操作与想象相结合，发展学生的空间观念。在此基础上，教 材进一步鼓励学生能灵活运用平移、旋转和轴对称在方格纸上设计图案。 已学过的相关内容三年级下册 认识轴对称、平移和旋转现象四年级上册 图形的变换 本单元的主要内容 图形的变换 图案设计 数学欣赏 2.结合欣赏和设计美丽的图案，体会图形的美和图形世界的神奇 生活中有各种美丽的图案，选择一部分有趣的图案供学生欣赏，对培养学生的 审美意识、认识数学的美是很有帮助的。教材中专门安排了图案设计与数学欣 赏的活动，主要目的是引导学生欣赏图案，并引导学生尝试绘制美丽的图案。 教材安排了“任意一个简单的图形，当它围绕一点进行旋转，并把每次旋转后 的图形沿轮廓画下来，那么就会形成一个美丽的图案”的活动，引导学生绘制 美丽的图案，体会图形世界的神奇。 课时安排建议：本单元建议教学课时数 4 课时。 评价建议 本单元知识技能的评价主要围绕以下两点： 一是要能有条理地表达一个简单图形经平移、旋转或作轴对称图形的过程； 二是能灵活运用平移、旋转和轴对称在方格纸上设计图案。评价时，应注意选 择的基本图形不要太复杂，变换过程应在方格纸上进行。 另外，变换的过程往往不唯一，学生的答案合理都应肯定。除了书面评价外， 也应设计一些学生动手操作的内容，如事先请学生准备一个简单的图形，然后 用自己准备的图形进行变换，并用自己的语言表述变换的过程。思考与讨论 1.如何实现操作、思考和语言表达相结合，发展学生的空间观念？ 2.上面的活动对学生空间观念的要求比较高，部分学生会有困难，你有什 么办法突破难点？ 图形的变换教材分析与教学建议 在以前的学习中，学生已经结合实例了解了生活中的平移、旋转和轴对称现象， 并经历了一个简单图形经过旋转制作复杂图形的过程。本内容是平移、旋转和 轴对称知识的综合运用，有利于学生进一步认识图形的变换，发展他们的空间 观念。 本活动呈现的是一个综合性的问题，主要是让学生通过对方格纸上图形的 变换过程的观察与交流，进一步认识平移和旋转。教材安排了四个变化过程， 让学生通过观察，尝试用语言描述每一次变化中每一个图形的变换过程。如第 一次变化，可以是图 A 向右平移两格，图 B 向下平移两格，图 C 向上平移两格， 图 D 向左平移两格，这样就得到了风车图形；还可以通过旋转和平移得到风车 图形，即图 A 逆时针方向旋转 90，再向右平移两格，其他几个三角形作类似 的旋转再平移即可得到风车图形。第二次变化，可以是左上角的三角形先向下 平移两格，再向右平移两格，右上角的三角形先向下平移两格，再向左平移两 格。第三次变化，可以是最左边的三角形向右平移两格，最右边的三角形向左 平移两格，中间两个三角形分别向上平移两格。第四次变换，可以是左下角的 三角形先向上平移两格再向右平移两格，其他三个三角形作类似的平移即可。 为了学生叙述方便，教师可以引导学生将变换得来的图形标上字母。 教学时，可以按照“想一想、做一做、再想一想”的过程，鼓励学生先独 立想象，再摆一摆，并与同学进行交流，最后再回想图形的变换过程。教学时 要注意三个方面，一是图形的变换对学生的空间想象能力要求比较高，可以让 学生剪几个一样的三角形，让每个学生自己进行操作，通过操作来体验图形变 换的过程，再尝试用语言来表达变换的过程。这里一定要重视学生的操作，它 不仅仅能帮助困难学生解决问题，而且能验证想象的过程，同时操作和想象的 结合也有利于学生在头脑中建立正确的表象。二是在图形的变换中，不同的思 考角度，常常会产生不同的变换方式。每一次变化可以有不同的变换方式，如 第一次变化可以只通过平移，也可以旋转与平移结合。再如第四次变化，除了 上面提到的变换方式外，还可以这样变换：左上角的三角形绕正方形最上面的 顶点顺时针方向旋转 90，再旋转 90，再旋转 90就可以变换到最初的图 形中 B 的位置，其他几个三角形也可以类似地旋转。所以当学生出现不同的变 换方式时，教师应给予鼓励。三是要尽可能让更多的学生参与交流，说一说图 形的平移或旋转的变换过程。 本单元的很多内容和习题都是可以通过操作来完成的，因此，在课前可以 请学生准备一些小的学具，在教学的过程中让学生结合操作思考问题，并把操 作、思考和语言表达结合起来。 第四单元 比的认识 单元教学内容：生活中的比、比的化简、比的应用 。 单元教学目标： 1经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义及其与除法、分数的 关系。 2在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变的性质或分数的基 本性质化简比，并能解决一些简单的实际问题。 3能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会 比的意义，提高解决问题的能力，感受比在生活中的广泛应用。 单元教学策略： 1提供多种情境，使学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程. 2注重引导学生利用比的意义解决实际问题。 单元课时安排：10 课时 内容 课时数 生活中的比 3 比的化简 比的应用 4 练习三 3 第五单元 统计 一、单元教学目标 1.通过投球游戏、两城市降水量等实例，认识复式条形统计图和复式折线 统计图，了解复式条形统计图和复式折线统计图的特点。 2.能根据需要选择复式条形统计图、复式折线统计图有效地表示数据。 3.能读懂简单的复式统计图，能根据统计结果做出简单的判断和预测，并 与同伴进行交流。 二、单元学习内容的前后联系 已学过的相关内容 1.第一学段 数据统计的过程 统计表 象形统计图、1 格表示 1 个单位的条形统计图 平均数 2.四年级上册 1 格表示多个单位的条形统计图 折线统计图 简单的统计活动 3.五年级下册 扇形统计图 平均数、中位数、众数 三、单元教材分析 本单元是在学生经历了简单的统计活动，学习了单式统计图，了解了刻画 数据集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数）的基础上进行学习的。本单 元的主要内容有：复式条形统计图、复式折线统计图。本单元的教材编排力图 体现以下特点。 1.注重使学生经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步形成统计 观念。 根据标