北京市西城区(北区)2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

北京市西城区（北区）20122013 学年下学期高一期末考试 数学试卷 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的。 1. 在数列 中， ，且 ，则 等于（ ）na12na14a （A）8 （B）6 （C）9 （D）7 2. 将一根长为 3m 的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 （ ） （A） （B） （C） （D）14131223 3. 在ABC 中，若 ，则ABC 的形状是（ ）22abc （A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定 4. 若 ，则下列不等式中成立的是（ ）0ab （A） （B） （C） （D）3ab1ab1ab 5. 若实数 x，y 满足 则 的最小值是（ ） 10,y2zxy （A） （B）0 （C）1 （D）112 6. 执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ） （A）2 （B） 1 （C）3 （D） 2 7. 已知 100 件产品中有 5 件次品，从中任意取出 3 件产品，设 A 表示事件“3 件产品全不是次品”， B 表示事件“3 件产品全是次品 ”，C 表示事件“3 件产品中至少有 1 件次品”，则下列结论正确的是（ ） （A）B 与 C 互斥 （B）A 与 C 互斥 （C）任意两个事件均互斥 （D ）任意两个事件均不互斥 8. 口袋中装有三个编号分别为 1，2，3 的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后 放回，连续取球两次。则“两次取球中有 3 号球”的概率为（ ） （A） （B） （C） （D）59492512 9. 设 O 为坐标原点，点 A（4，3） ，B 是 x 正半轴上一点，则OAB 中 的最大值为（ ）OBA （A） （B） （C） （D）435445 10. 对于项数为 m 的数列 和 ，记 bk 为 中的最小值。给出下列na12,(1,)kam 判断： 若数列 的前 5 项是 5，5，3，3，1，则 ；nb43 若数列 是递减数列，则数列 也一定是递减数列；na 数列 可能是先减后增数列；nb 若 ，C 为常数，则 。1(,2.)kmakm(1,2.)iabm 其中，正确判断的序号是（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 11. 不等式 的解集为_。20x 12. 在ABC 中， ，则 a=_。,3,10bcA 13. 某校高一年级三个班共有学生 120 名，这三个班的男、女生人数如下表。 已知在全年级学生中随机抽取 1 人，抽到二班女生的概率是 0.2。则 x=_；现用分层抽样的 方法在全年级抽取 30 名学生，则应在三班抽取的学生人数为_。 一班 二班 三班 女生人数 20 x y 男生人数 20 20 z 14. 甲、乙两人各参加了 5 次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知 甲、乙二人得分的平均数相等，则 m=_；乙得分的方差等于_。 15. 设 是等差数列，S n 为其前 n 项的和。若 ，则 _；na53,27aS1a 当 Sn 取得最小值时，n=_。 16. 当 x1，9时，不等式 恒成立，则 k 的取值范围是_。223xkx 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 13 分） 在等比数列 中， 。na1236,12a （）求数列 的通项公式； （）设 是等差数列，且 b2 =a2，b 4=a4。求数列 的公差，并计算nb nb 的值。123410.b 18. （本小题满分 13 分） 某市某年一个月中 30 天对空气质量指数的监测数据如下： 61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 （）完成下面的频率分布表； （）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中 a 的值； （）在本月空气质量指数大于等于 91 的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空 气质量指数在区间101，111 ）内的概率。 分组 频数 频率 41，51） 2 230 51，61） 3 61，71） 4 4 71，81） 6 630 81，91） 91，101） 101，111） 2 230 19. （本小题满分 13 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，已知 c=3， 。3C （）若 sinB=2sinA，求 a，b 的值； （）求 a2+b2 的最大值。 20. （本小题满分 14 分） 已知函数 。()1)(fxax （）当 a=1 时，求 在区间1，2 上的值域；f （）若函数 在区间 上是减函数，求 a 的取值范围；(), （）解关于 x 的不等式 。()0fx 21. （本小题满分 14 分） 设数列 的前 n 项和为 Sn，且 。a1*2(),nN （）求数列 的通项公式； （）设数列 。(215)nnba （i）求数列 的前 n 项和 Tn； （ii）求 bn 的最大值。 22. （本小题满分 13 分） 对于数列 A：a 1，a 2，a 3（a iN，i=1 ，2，3） ，定义“T 变换”：T 将数列 A 变换成数列 B：b 1， b2，b 3，其中 ，且 。这种“T 变换” 记作 B=T（A） ，继续1(,)ii31ba 对数列 B 进行“T 变换”，得到数列 C：c l，c 2，c 3，依此类推，当得到的数列各项均为 0 时变换结束。 （）写出数列 A：2，6，4 经过 5 次“T 变换”后得到的数列； （）若 a1，a 2，a 3 不全相等，判断数列 A：a 1，a 2，a 3 经过不断的“T 变换”是否会结束，并说 明理由； （）设数列 A：400，2，403 经过 k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求 k 的最小值。 【试题答案】 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分， 11. 12. 13. 24 91|02x13 14. 6，8.4 15. 11，6 16. ,13 注：一题两空的试题，第一空 2 分，第二空 3 分： 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分， 17. 解：（）设等比数列 的公比为 q，na 由已知， 2 分2116,aq 两式相除，得 q=2。 4 分 所以 a1=2， 6 分 所以数列 的通项公式 。 7 分n2na （）设等差数列 的公差为 d，nb 则 9 分114,36bd 解得 11 分2 12 ()().()bbb 13 分50d 18. 解：（）如下图所示。 4 分 （）如下图所示。6 分 由己知，空气质量指数在区间71，81）的频率为 ，所以 a= 0.02。8 分630 分组 频数 频率 81， 91） 10 130 91，101 ） 3 （）设 A 表示事件“在本月空气质量指数大于等于 91 的这些天中随机选取两天，这两天中至 少有一天空气质量指数在区间101，111）内”， 由己知，质量指数在区间91，101）内的有 3 天， 记这三天分别为 a，b，c ， 质量指数在区间101，111）内的有 2 天， 记这两天分别为 d，e， 则选取的所有可能结果为： （a，b） ， （a，c ） ， （a，d） ， （a，e） ， （b，c ） ， （b，d） ， （b，e） ， （c，d） ， （c，e） ， （d，e） 。 基本事件数为 10。10 分 事件“至少有一天空气质量指数在区间101，111）内”的可能结果为： （a，d） ， （a，e ） ， （b，d） ， （ b，e） ， （c，d） ， （c，e ） ， （d，e） 。 基本事件数为 7， 12 分 所以 13 分()0.1PA 19. 解：（）因为 sin B=2sinA，由正弦定理可得 b=2a，3 分 由余弦定理 c2= a2 +b2 2abcosC， 5 分 得 9=a2 +4a2 2a 2， 7 分 解得 a2=3， 8 分 所以 9 分3,3b （）由余弦定理 c2= a2 +b2 2abcosC，得 ab=a2+b29，10 分 又 a2 +b22ab， 11 分 所以 a2+b218，当且仅当 a=b 时，等号成立。 12 分 所以 a2+b2 的最大值为 18。 13 分 20. 解：（）当 a=l 时， ，2()1fx 函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增()fx(,00, 所以， 在区间 上的最小值为 2 分12()1f 又 。(2)f 所以 在区间 上的最大值为 3 分x,(2)3f 在区间 上的值域为 4 分()f11, （）当 a=0 时， ，在区间 上是减函数，符合题意5 分()fx, 当 时，若函数 在区间 上是减函数，0a, 则 ，且 ， 7 分1 所以1a1。 10 分 当 a0 时， ，解得 11 分()xxa 当 a0 时，不等式的解集为 ;1|xa 当 a=0 时，不等式的解集为 ；|x 当1a0 时，不等式的解集为 ;1|xa或 当 a =1 时，不等式的解集为 |x 当 a1 时，不等式的解集为 1|xa或 21. 解：（）由已知，当 n=1 时， 。1 分1S 当 时， 2 分2n1nnaS 3 分12()()() 综上， 4 分1*,naN （） （i） 1(25).nnb 所以 5 分2113(9.(5)2nnT 6 分21().7()2 nnn 两式相减，得 8 分21113().25()nnnT213().()5nn115(2)n 所以 10 分1(2)nT （ii）因为 11 分11(3)(25)(72)nnnnb 令 ，得 12 分10n7 所以 ，且 ，即 最大， 13 分29.b10.b9b 又 。8933()56a 所以， 的最大值为 14 分nb2 22. 解：（）依题意，5 次变换后得到的数列依次为 4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，23 分 所以，数列 A：2，6，4 经过 5 次“T 变换”后得到的数列为 2，0，2，4 分 （）数列 A 经过不断的“T 变换”不可能结束 设数列 D：d 1，d 2，d 3，E：e 1，e 2，e 3，F：O，0，0，且 T（D）=E，T（E）=F 依题意 ，所以10,e123e 即非零常数列才能通过“T 变换” 结束。 6 分 设 （e 为非零自然数） 。123 为变换得到数列 E 的前两项，数列 D 只有四种可能11:,;Dd11:,;de111:,;:,2;deDde 而任何一种可能中，数列 E 的笫三项是 O 或 2e。 即不存在数列 D，使得其经过 “T 变换”成为非零常数列。 8 分 由得，数列 A 经过不断的“T 变换”不可能结束。 （）数列 A 经过一次“T 变换”后得到数列 B：398，401，3，其结构为 a，a+3，3。 数列 B 经过 6 次“T 变换”得到的数列分别为： 3，a，a3；a 3，3，a6：a6，a9，3;3 ，a12， a9;a15，3，a12;a18，a15，3。 所以，经过 6 次“T 变换” 后得到的数列也是形如 “a，a+3，3