卫生洁具冲水时间优化设计1

摘要 本文对题目中所给的数据（如下表）进行分析，数据服从正态分布，由此 求出其期望，方差。从节能角度出发，对感应器小便器目前主要采用的两种冲 水方案进行了分析比较，列出不等式，建立相关模型，比较出方案一更好。用 MATLAB 求出了方案一的冲水时间设计参数 T 的最优值；并在问题一的基础上， 从既能保持清洁又能节约能源出发，对洁具冲水时间进行优化设计，给出了一 套既节水又卫生的冲水方案。 随机调查了 100 人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)： 时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18 人次 1 5 12 60 13 6 3 关键词：冲水 不等式 正态分布 质量守恒 存水弯 问题重述 我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的 四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大 面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源 消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源 （主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出 60%以上。 某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水 量为常数 v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采 用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续 时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒，则只放水一次，否 则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为 10 秒。 方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续 时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒，则只放水一次，否 则，为保持清洁，到 2T 时刻再开始第二次放水，持续时间也为 T。但若使用时 间超过 2T-5 秒，则到 4T 时刻再开始第三次放水，持续时间也是 T，在设计时， 为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过 2 次。 该厂家随机调查了 100 人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位： 秒)见下表： 时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18 人次 1 5 12 60 13 6 3 （1）根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？ 并为该厂家提供设计参数 T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能 达到最大限度节约水、电的目的； （2）从既能保持清洁又能节约能源出发，提出更好的设计方案，通过建立数学 模型与前面的方案进行比较。 符号说明 T 洁具设计的放水时间参数（单位秒） t 使用者使用的时间 F 每个人使用后的冲水时间 v 放水过程单位时间内流出的水量 r 每位使用者平均使用的冲水时间 c 每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数 模型假设 1、厂家随机调查 100 人次得出的男性使用洁具时间可以反映出现实情况。 2、一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系统的耗电可以忽略，只考虑 电器的耗电，因此耗电量与冲水次数和流水时间有关。 3 洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关。 4、用水量与用水时间成正比。 5、使用者每次使用的时间属于正态分布。 6、前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立。 模型的建立与求解 （一）问题一： 设上一个使用者离开与下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以 保证洁具不受下一个使用者的的影响。已知厂家随机调查了 100 人次男性从开 始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表： 时间 （秒） 12 13 14 15 16 17 18 人次 1 5 12 60 13 6 3 假设厂家随机调查 100 人次得出的男性使用洁具时间可以反映出现实情况， 即使用者使用时间 t 的取值在12，18 的范围内, 由调查数据用 MATLAB 算出使用者使用时间均值(期望)为 mean=15.09，中位数为 median =15，方差为 var= 1.0524，标准差为 std= 1.0259，峰度为 kurtosis= 4.6741，偏度系数为 skewness= 0.3272（见附件一） ； 函数经检验其均值结果如下：h = 1；sig = 0；ci =14.8864 15.2936； h = 1，sig = 0 代表不拒绝零假设，ci =14.8864 15.2936 说明期望在 14.8864 到 15.2936 之间的概率为 95%，15.09 完全在其中（见附录二） 。 根据偏度和峰度系数定义性质： 偏度大于 0 为正偏（平均值在正态分布峰值的右边） ，小于 0 为负偏（平均 值在正态分布峰值的左边） ，0 则表示分布是对称的。 峰度大于 0 表示数据 的分布比正态分布更为集中，小于 0 则更为分散 。 题中峰度为 4.67410,且偏度为 0 sg x=sg; t=mean(x),median(x),var(x),std(x),kurtosis(x),skewness(x) hist(sg,7) t = 15.0900 15.0000 1.0524 1.0259 4.6741 0.3272 x=normrnd(15.09,1.0259,100,1); normplot(x) （二）clear x=12 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 18 18 18; h,sig,ci=ttest(x,0.95) h = 1 sig = 0 ci =14.8864 15.2936 （三）sg=12 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 18 18 18; sg; x=sg; t=mean(x),median(x),var(x),std(