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习 题 6-11 求出齐次线性微分方程组 的通解，其中a（t）分别为：（1） ；（2） ；（3）。（1）方程组的分量形式为： ，从后一式容易求出的通解为 ，其中k为任意常数，可分别取和 ，代入前一式得到两个相应的特解，和 这样就求得方程组的一个解矩阵为 又 。因此，是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为 （2）方程的分量形式为 由、可和 由观察法知，为此方程的两个特解，将其代入式可得两个相应的特解，将其代入式可得两个相应的特解：，。这样就求得方程组的一个解矩阵为 又 ，因此中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为（3）程组的分量形式为：解 +得 解 -得 解之得 由、可得 又由得 由此可求得方程组的一个解矩阵 显然，因此是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为3试证向量函数组 ， ， 在任意区间 上线性相关，则存在不全为零的三个常数 使得即 而式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与式在上恒等于零矛盾，从而得证。4试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组 与有一个相同的基解矩阵，则 证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 那么，必有 ,故可逆,设逆矩阵为,同而 证毕6设当时，非齐次线性方程组 （1）中的不恒为零。证明（1）有且至多有 n+1个线性无关解。证 设是方程组（1）的相应齐次方程组的n个线性无关的解，是（1）任意一个特解，则 是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数 使得则一定有 否则有 这与为(1)的解矛盾，因此， 假设可知故，所以（1）n+1个线性无关的解。又设 是（1）在(a,b)上的任一解，是（1）的n+1个线性无关的解， 那么， 是(1)的对应齐次方程组 （2）的解，而（2）最多有n个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数 使得 即 显然，否则，存在不全为零的常数 使得 这与线性无关矛盾，故 这说明（1）的任一解，都可由这n+1个线性无关的解的线性表出，同时也说明
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