极限计算中常见错误剖析 毕业论文.doc

毕 业 (设 计 )论 文 题 目 极限计算中常见错误剖析 学生姓名 专业班级 r 计算 092 班 所在院系 理 学 院 指导教师 职 称 教授 所在单位 理 学 院 教研室主任 完成日期 2014 年 6 月 10 日 摘 要 极限的计算是微积分的基本运算，也是学习后继知识的基本工具，掌握好极限计 算是学好微分课程的基础。实际上，运算能力是运算技巧与逻辑思维的结合，计算过 程是运用所学知识解决问题的过程。在计算的过程中不只是注意计算结果的准确性， 更看重的计算方法的合理性。在学习了有关极限的基本概念，基本法则（原则） ，基本 题型方法的基础上进行极限计算，重要的是极限类型的判断和解题方法的确定，而运 算技能主要涉及初等代数运算（如因式分解，有理化，幂的运算.）和导数运算。学 生在做极限运算时,由于对极限的基本概念、基本原理理解的不够清晰、准确,基本技 能和方法掌握的不够熟练,运算中不可避免地会出现这样或那样的错误,如:审题错误, 运算错误,论证错误,方法错误,表述不规范和解题步骤不完备等。因此本文针对学生出 现的普遍错误进行归纳、整理,辨明错误的类型,分析出错原因,指导学生走出误区,使 学生对知识的理解、掌握达到一个较高层次。 关键字： 极限 极限的算法 极限算法中常见错误 abstract limit is calculated basic operations of calculus , but also to learn the basic tools successor knowledge is the basis for calculating the limit master courses to learn differential . in fact, the computing power is a combination of computational skills and logical thinking, the calculation process is to apply the knowledge to solve problems in the process . not just pay attention to the accuracy of the calculation results in the calculation process , the reasonableness of the calculation method is more valued. in learning about the limits of the basic concepts , basic rules ( principles ) , based on the basic questions and methods of calculating the limits on conduct , it is important to determine the limits of the type of judgment and problem-solving methods, and arithmetic skills, mainly related to elementary algebra ( such as factoring , there are physical and chemical, power computing . ) and derivative operations. students do limit calculation , due to the basic concepts of limits , inadequate understanding of the basic principles of clear, accurate way to master basic skills and not enough skilled operators will inevitably arise in this or that error , such as: moderation error , operational errors, argumentation errors, wrong way , expressed irregularities and problem-solving steps , such as incomplete . therefore, students should be for the common errors that appear induction, consolidation , identify the type of error , error cause analysis , to guide students out of misunderstanding , so that students of knowledge to understand and master to reach a higher level . key words： limit limit algorithm algorithm common errors 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 目 录 一 极限的概念及定义 .1 二 极限中常见的错误 .3 2.1 运用两边夹法及其常见错误 3 2.2 四则运算法及其常见错误 5 2.3 变量替换及其常见错误 6 2.4 分段函数的极限及其常见错误 8 2.5 利用幂级数求极限及其常见错误 9 2.6 利用泰勒公式求极限及其常见错误 .10 2.7 利用微分中值定理求极限及其常见错误 .11 2.8 定义求极限及其常见错误 .12 2.9 利用洛必达法则求极限及其常见错误 .13 谢 辞 .17 参考文献 .18 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 1 一 极限的概念及定义 各种类型的极限基本上可以统一表示为函数极限 。根据自变量 的目标axf)(lim0 x 值 与函数 的目标值 的不同含义，以及它们相应邻域的意义，就可以得到不同0x)(xfa 形式极限的意义。例如，当 的自变量 只取正整数 ， 为 时，就是数列 ，)(xfxn0xnu 的极限 ；当 的自变量 从点 左方趋于 （或右方趋于 ）)(xfununlim0 0x 时，就是函数 的左极限 （或右极限 ）)(f axfxfx)(lim)0(0 afxfx)(lim)(00 ；当 时，极限 表示 在 时为无穷小；当 为 时，0a)li0x 0a 表示 在 时为无穷大，它是极限 不存在的一种形式。其)(li0xf(f0 )(li0xf 他各种形式所表示的极限也是容易理解的。 一般来说，极限 的定义蕴涵着自变量 落在点 的充分小邻域内时，函axf)(lim0 0 数 的值落在 的充分小邻域内。为此，各种邻域的概念及其表达式是至关重要的，)(xf 它有利于理解极限的分析语言描述的精神实质。 函数 在 时的极限 的分析定义是：对于任意给定的 ，总存)(f0xxf)(li0 0 在 ，当 时，恒有 。极限 的分析定义是：存aaxf)(lim0 在某个 ，对任意的 ，总存在点 满足 时，使 。1x11)(f 由极限的定义知，因极限 是研究自变量趋 向于 的过程中函数 的变)(lim0fxx0x 化趋势，故极限 是否存在以及存在时其极限值是多少，可以与函数 在点)(li0fx )(f 处的函数值 以及距离较远的点 的函数值无关，而只与点 的邻域内函数有0x 0x0x 关。于是既使极限 不存在，函数 在点 处也可以有定义；同样，即使极)(li0fx)(f0x 限 存在，热函数 在点 也可以没有定义。)(lim0xf0x 利用分析语言已证得如下几个基本极限： ； ； ；1sinl0xexx 10)(lim1,0limqx ； ； ；,liqn ,lianlin 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 2 ； ； 。0!1limn 为 常 数an,0!lim0!limn 关于极限的分析语言定义，有如下两个问题： 第一个问题是用分析语言直接证明某个极限 。它是对任意给定的 ，axf)(li0 0 由 去确定与 有关的 ，使得自变量 与定点 的距离 ，axf)(0xx 。此时的 是相对给定的。为了确定 ，就需要设法从 中分解0 0xaf)( 出因子 ，让其余的因子是一个关于 的有界量。既设法将不等式 转x x 化为不等式 。从而由此找到 。注意，这里的 是与任意给定的)(0)( 有关，而与 无关的，故所找到的 也是与 有关，而与 无关。0 x 对于用分析语言证明极限 的问题，只需要考虑到无穷大邻域的表达形式就axf)(lim0 明白现在应该考虑 和 两个不等式。这时，为了确定 ，就需要xx x 设法从 中分解出因子 ，并转化为不等式 ，从而由此找到只与 有af)(x1)(x 关而与 无关的 。这样找到 的能使得对任意给定的 ，当时 恒有x0x ，即 。同理，可以用分析语言证明其他各种类型的极限。这f)(xf)(lim0 一项工作要着重注意如下两点：首先，在证明过程中分析语言表达要准确。其次，因 为我们只关心与 有关的 （或 ）的存在，只要找到符合定义要求的 （或 ）就xx 可以了，不一定要找最大的 （或最小的 ） ，所以在分析语言证明过程中，可0 以适当放大绝对值 ，使放大后的式子小于 ，既能较方便地求得 （或axf)( 0 ） 。0x 在证明过程中绝对值 的适当放大，可以通过利用 的特性来实现。例如，f)( 0x 当 时，依照邻域的概念可以不妨假设 ；如果考虑 ，则可以不妨0x10x 假设 大于某个有限的给定正数。这是一种有条件放大技巧。 第二个问题是：由已知某个极限存在，利用分析语言去证明另一个极限存在的命题。 根据极限的分析语言定义，由已知的 便有：对任意给定的 ，当然对axf)(lim0 0 某一个特定的 ，总存在 ，当 时，恒有 。这里的000axf)( 是已经找到的正数。然后利用这个 ，以及有关不等式去分析证明待证的有关极限0 0 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 3 的命题，此时要找的 不仅与 有关，而且还与已经找到的 有关。随着近代微积分0 的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作 出了具有代表性的工作。泰勒公式是 18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的 英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展 开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数 ，设它在点 存在直到 阶的导数，由f0xn 这些导数构成一个 次多项式 n n nn xfxfxfxft )(!)(!2)(!1)( 00)(200000 称为函数 在点 处的泰勒多项式，若函数 在点 存在直至 阶导数，则有 ;)()(0nnoxf 即 。)()(!)(!2 000)(2000 nnxoxfxfxff 称为泰勒公式。 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差 等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有 着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积 分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在 某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 二 极限中常见的错误 2.1 运用两边夹法 及其常见错误 用迫敛性求数列 的极限 ,关键是找出两个有相同极限的数列 与 ,使nx nab ,一般可以利用 的下界确定,取为常数 ,而 通过加强 得到 ,nbxana nx 再证明 。a 计算中常见错误分析 例 1.求极限 )21(lim22 nnn (1984 年中山大学研究生人学试题) 解:令 bn222 当 时，有1 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 4 nnbn 12122 2 于是，有 bn 所以 。0limn 错误分析：再利用两边夹的时候错误的放大和缩小两边的极限。 正确解法：当 时，有1 )1(23212 nnbn )(32222 nbn 于是，有 )1()1(32nb 又 ，所以 。3)(lim)(2li2nn 23limnb 解析：再利用两边夹算法的时候经常会出现对于缩放找不准，以至于计算错误。 例 2. ）（ nn222n 11li 错解：令 an 2221 则 nnnan 222222 111 即 且ann221lim1li22nn 所以 。lim 错解分析：本题在利用夹逼定理的时候搞混了上界和下界的关系。 正确解法：令 nnan 222 11 则 111 222222 nan 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 5 即 且122nan 1limli22nn 所以 。lim 例 3. ）（n 222 错解：令 nna1 则 nan 222222 11 即 且limlin0lili2nn 所以 。0a 错解分析：本题再利用夹逼定理的时候上下限的缩放出现了错误。 正解：令 nnn2221 则 11211 22 nna 且 ，lim2)1(nn 2li1)(2n 所以 。lina 2.2 四则运算法 及其常见错误 若函数 与 在 都收敛，则函数 ， ，)(xfga)(xgf)(xf 也收敛，适用于分子，分母的极限不同时为零或不同时为 。且0)(gxf 1) ；)(lim)(li)(limxgfxf aaax 2) ；x 3) ，其中 。)(li)(lig fxfaa 0)(lia 常见错误分析 例 1.求极限 xx1lim0 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 6 错解：把 代入原式中得 。0x 01lim0xx 错解分析：不能直接应用商的极限（因为分母的极限是 0）运算法则。 正确解法： =xx1li0 )1(li0 xxx = 0()1(2lim0 x 因 为 = 12lili00 xxx 例 2.求极限 。xx3sin2lm0 错解：直接运用四则运算 分母为零不能代入运算。xx3sinl0 正确解法： = 。xxx 3sin 2l3si2l0032sinlm0xx 例 3. 求 )1(lim21xx 错解： 。0)1(li)(li2 x 分析：计算中错误的使用极限的运算法则，差的极限等于极限的差。 正确解法：应用罗比达法则。 例 4. 201)21(lim nn 错误分析它的错误是当 时括号中有无限项相加，当作有限项而用了法则。 正确解法：利用求和公式再运用极限求解。 例 5.求 )3(li 222n 错误解法： 1nn 2222 limlilimlin 。00 错解分析：无限项之和不能直接用极限运算法则。 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 7 2.3 变量替换 及其常见错误 1.常见的变量替换法的实质作变量替换求极限的一般形式如下： )(lim)(lim0 ygxfyxfaa令 这个问题实际上就是复合函数的极限问题。 常见错误分析 例 1.求 3sintalixn 错误解法：因当 时， ，所以原式0xxsin,ta 0lim3x 错误分析：分子中 是两个无穷小的差，虽然仍然是无穷小但不一定i,tn 是 0，用等价无穷小 来代替就不对了，因为 ，事实上x sin,ta 是 的高阶无穷小，因此xx321cos)1(isnta 。21)cosin(lmili 2030 xn 例 2.求极限 1 sili2x 错误解法：当 时，原式为 型故极限为 0。0sinlmx 0 错解分析：对极限形式的判断错误导致用错方法。 正确解法：当 时 ， 。xx1sin 212lim12 sinli xxx 例 3.求极限 2ilmx 错误解法：当 所以原式 。012 01sinl2xx 错误分析：变量替换时极限判断错误 。mx 正确解法：当 时 且 所以x2xsi22 。1lim12sinl xx 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 8 例 4.求极限 )cos1(lim0xx 错误解法：当 时 所以原式= 。0sli0x 0)cos1(lim0xx 错误分析：本题再利用变量替换的时候没有考虑到分母也为 0 的情况所以出现错误。 正确解法：由题可得 )()21cosxx)cos(lim21li)cos1(lim2000 xxx 又 所以原式= 。)(2csx 21)cos1(2li 20xx 例 5.求极限 32 cos01limxex 错误解法：直接带入运算没有考虑结果中分母为 的情况， 。001lim320xx 错解分析：对于替换的变量把握不准确。 正确解法：原式 = = =32 cos1cos0)(limxex 2031)cos(limxex 。2li3cos1li3020x exe 2.4 分段函数的极限及其常见错误 求分段函数的极限当函数含有绝对值符号时，就有可能是有分情况讨论的了，当 趋x 近无穷时候存在 的 次方的时候，就要分情况讨论为 的 次方的函数正负无穷的结ex ex 果是不一样的。 常见错误分析 例 1.证明狄利克雷函数 在定义域 上每一点都不存在极限。qrxxd/,01)( 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 9 错误证法： ， ， ，存在有理数 ：使得rbx,0 )0(10bx ，所以在定义域上每一点都不存在极限。1)(xd 错误分析：对于函数极限定义错误理解和函数应用范围的错误应用。 正确证明： 若 ， ， ，存在有理数 ： bx,01)0(0bx ， ，若 ， ， 存在无理数0x)(1,0 ，有 ，于是，任意实数 都不是狄利克雷函数 在0xd )(xd 是 上任意一点，所以地雷克雷函数 在 上每一点都不存在极限。0xr)(xdr 例 2.设 讨论 在点 处的极限是否存在。 0,1,)(xf )(xf0 错误解法：当 时，带入上式可得 极限存在。1)(xf 错误分析：所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从0)(lim0xf 极限存在的充要条件入手。 解：因为 1)(lim)(li00xfx lilifxx )(li)(li00ffxx 所以 不存在。lim0fx 2.5 利用幂级数求极限及其常见错误 利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的麦克劳林展开式，常能求得一些特 殊形式的数列极限。 常见错误分析 例 1.求 。)!2sin(lme 错误解法：由于 所以当 时)1,0(iln nnen)!2si(lm 错解分许：在求幂级数时对极限判断错误。 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 10 正确解法：因为 )!1!21(!nne + ，)!(! 21n 记 ， ，!1nsn r 则 。nrse! 易知 ，211rnn 即 ，rn 故 。1limn 因此 原式 )2sin(l)!(2silnn rr 。linni 例 2. 证明不等式 ， 。2 xxe)( 常见错误：幂级数的展开方法错误。 正解解法：证明因为 !0nxe !)1(0nxex ),( 而 )!2(0 nx)!2(02nxex 由于 所以就可以得到 。!)( 2n2xxe 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 11 2.6 利用泰勒公式求极限及其常见错误 等价无穷小代换是求极限的重要方法，往往可以减少计算量，使问题得以简化。 但 一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘积或除的极限，而对两个无穷小量非 乘且非除的极限，以上方法不能凑效，而 taylor 公式代换是解决此类极限问题的一种 有效方法。 常见错误分析 例 1.设 。若 ，求 。,sini1xxn1si,320sinxnlim3xnsi 错误解法：直接带入 当 时xxnn1sisixnnsii3li 错误分析：对于题中给出的公式不能正确的运用和理解。 正确解法：对固定的 ，当 时， 单调趋于无穷，由 stolz 公式，有 xxnsinlimn2slixn2s1limxnn221sis nlixnn22siis0lit 221st = （ ）0limtt2si0l 426431tot 0limton 。0lit 46431to0limt 132ot 例 2.计算极限 。)2ln(lim20xxn 错误解法：泰勒公式记忆不熟，导致用错。 正确解法： 。由展开公式 4）可得)21l()l(21ll xx 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 12 33 )2(12)(122ln xxxx 3o 于是， 12)(12(lim)2ln31(lim3020 xxxx 正确运用泰勒公式是解题的关键。 2.7 利用微分中值定理求极限及其常见错误 lagrange 定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体 性质，其应用十分广泛，下面我们来看一下 lagrange 定理在求极限中的应用。 常见错误分析 例 1.求 。nlim)0(,1arctn(rt2 a 错误解法： 时 所以原式的极限为 。rt(li n 0 错误分析：对于极限判断过程出现错误。 正确解法：设 ，在 上用拉格朗日中值定理，得 )arct()(xfna,1 （其中 ）,)(12nffna1 故当 时， ， 0 可知原式= = 。nlim)1(2naa 例 2.证明极限 0siil pcdxnxn 错误解法：对等式左边进行积分计算然后和右边进行比较。 错误分析：微分中值定理运用错误，变量替换的时候出现错误。 真确解法：令 ， 显然函数 和 在区间 上满 xfsi)(1)(g)(xfg)0(,pn 足定积分中值定理条件，则,在 上至少存在一点 ，使pn, nc 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 13 当 时，从而有)0(sinipccdxpn npdxnsilm0sinlcc 2.8 定义求极限 及其常见错误 常见错误分析 例 1.设 。求 。,1arnalim 错误解法：当 时 。n0 错误分析：对于极限的判断依据不充分导致错误。 正确解法: 时,有 (由二项展开式得) 2 2(1)1()nnaaa 要使 ,只需 ,即若取 ,2(1)na2()2()2(1)na 则当 时,就有 .所以 数列 , , 是n2(1)nalim0nanr 无穷小数列。 例 2.已知 ，求,.)(,211 nxxn nxli 错误解法：有题中给出的 可知， 形如 所以nn21 22 的极限为 。nx2 错误分析：对于定义的理解不透彻，在化形的时候出现错误。 正确解法：易证：数列 单调递增，且有界 ，由准则 1 极限 存在，nx)20(nxnxlim 设 。对已知的递推公式 两边求极限，得： ，解得：axnlimn21 a2 或 （不合题意，舍去）21 所以 。lin 例 3. )121(li 22 nnn 错误解法：当 时 01lim)1(lim222 nn 错解分析：对定义的理解不够缩放时忽略条件。 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 14 正确解法：易见： 11212222 nnn 因为 ，1lim2n1lim2n 所以由准则 2 得： 。1)(li 222 nn 2.9 利用洛必达法则求极限及其常见错误 若函数 满足：gf与 （i） )(0lim)(li00 xgfxx （ii）在点 的某空心邻域 内两者都可导，且0xu0)(xg （iii） （ 可为实数，也可为 ）axgfx)(li0 或 则 ffxx)(lim)(li00 在使用洛必达法则时，应特别注意以下几点问题： （1）洛必达法则在求极限的时候要求函数存在导数，且导数商的极限存在。 （2）洛必达法则可以连续使用，但是每次必须检验是否属于“ ”型或者“ ”型未0 定式。如果不是，就不能使用洛必达法则。 （3）在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限 符号内取出。 （4）不是任何未定式的极限都可以用洛必达法则求出极限,也就是说洛必达法则有时 失效。 常见错误分析 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 15 例 1.求 )1ln(2im0xex 错误解法：当 时代入可得 。0)1ln(2im0xex 错误分析：利用洛必达法则时没有检查其类型。 正确解法:利用 )()1ln(2 则得 = =)l(im20xex2 10lixexxex2)1(li0 = =)(lim 1-0x 例 2.求 xxsinlim 错误解法： = 不存在。(sin)lilim(1cos)xx 错解分析：所求极限不符合法则条件，即导数商的极限不存在，此时洛必达法则失 效。 正确解法： = 。 sinlimxsinsinl(1)l1xx 例 3. 12 colix 错误解法：直接代入 得 。x012 coslix 错误分析：没有考虑分母的情况，应当应用洛必达法则。 正确解法：原式= 。21 sin2limx 例 4. 30sinlix 错误解法：直接代入 得 。0x0sinli3x 错误分析：没有考虑分母的情况，应当运用洛必达法则。 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 16 正确解法：原式= = 。 （连续用洛比达法则，最后用重要极203cos1limxx61inl0x 限） 。 例 5. xxsincli20 错误解法：把 代入 可得 。xxsincolim200sincolim20xx 错误分析：对于洛必达法则的理解有误。 正确解法； 31sinlm3