高中数学《等比数列的前n项和》教案（打包7套） 新人教A版必修5
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高中数学《等比数列的前n项和》教案（打包7套） 新人教A版必修5,高中数学,等比数列,以及,教案,打包,新人,必修
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用心 爱心 专心 1 比数列的前 n 项和 2 教学目标 1进一步掌握等比数列的前 n 项和公式。 2会用等比数列的前 n 项和公式及通项公式解决求基本元素,1的有关问题。 教学重点： 等比数列的通项公式及前 n 项和公式的灵活应用。 教学难点 灵活应用公式解决有关问题 . 教学方法： 启发引导式教学法 教学过程 I设置情境 1等比数列的通项公式是 。 2等比数列的前 n 项和公式的两种形式分别是 和 。 索与研究 例 1在等比数列 知 510 S， 1520 S，求 30S 。 例 2设等比数列 n 项和 aS 3，求常数 a 的值。 例 3已知等比数列 691 a，91644781公比q 与项数 n 。 例 4设等比数列的首项为 )0( 公比为 )0( 前 n 项和为 80，其中最大的一项为 54，又它的前 和为 6560，求 a 和 q 。 例 5求 nn 22 例 6求数列 1， 1 3， 1 3 9， 11 3 9 3 n ，的前 n 项和。 三小结 四作业 等比数列 0 3 0 140 ， 3 0 1 013，求 20S 2在等比数列 1 4,a 5q ，求使 725 最小的 n 的值。 用心 爱心 专心 2 B 3求和： )1()1(221,1,0)(1( 【探究】设数列 1,a a a 3 2 1, , ,a a a 是首项为 1，公比为 13的等比数列，求： （ 1） （ 2） n 项和 用心 爱心 专心 1 列的前 n 项 和（一） 教学目标 （一） 知识与技能目标 等比数列前 （二） 过程与能力目标 等比数列前 会用等比数列的前 （三） 情感与态度目标 提高学生的推理能力； 培养学生应用意识 教学重点 等比数列前 导及应用 教学难点 灵活应用等差数列前 教学过程 一、复习引入： 1等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式 : )0(111 )0(11 等比数列 q（ q 0） 0 4性质 ：若 m+n=p+q，二、讲解新课： （一）提出问题 ：关于国际相棋起源问题 例如： 怎样 求数列 1， 2， 4， 262， 263的各项和 ？ 即求以 1为首项， 2为公比的等比数列的前 64 项的和，可表示为： 636264 228421 S 2 646364 2216842 S 由 可得： 12 6464 位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法 （二）怎样求等比数列前 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 , 321 它的前 nS 321由 11321 得 nn 1)1( 当 1q 时，1)1(1 或11 用心 爱心 专心 2 当 q=1时，1公式的推导方法二： 由 定义， 12312 由 等比的性质， 112132 即 1 1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式 公式的推导方法三： nS 321 )( 13211 11 )(1 nn 1)1( （结论同上） “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决 （三）等比数列的前 n 项和公式： 当 1q 时， 1 )1(1 或 q 11 当 q=1时， 1 思考： 什么时候用公式（ 1）、什么时候用公式（ 2）？ （当已知 q, n 时用公式；当已知 q, 公式 .） 三、例题讲解 例 1：求 下列 等比数列前 8项的和 （ 1）21，41，81， （ 2） 0,2 4 31,27 91 解：由 1， ,8,212141 8 S 例 2： 某商场第一年销售计算机 5000台，如果平均每年的售价比上一年增加 10，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到 30000台 （保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列 其中 000, ,3 0 0 0 0,01 000 n 整理得 n 两边取对数 ,得 用计算器算得 5n (年 ). 答 :约 5年内可以使总销售量达到 30000台 . 用心 爱心 专心 3 例 3 求 数列 ,.13,412,211前 例 4：求 求数列 132 )12(,.,7,5,3,1 前 。 练习：教材第 58 面 练习第 1题 三、课堂小结： 1. 等比数列求和公式：当 q = 1时，1当 1q 时，11或1)1(1 ； 2 这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前 在应用中加深了对公式的认识 四、课外作业： 5 57 页； 2.习案作业十七 用心 爱心 专心 1 n 项和（ 二 ） 教学目标 （一） 知识与技能目标 等比数列前 （二） 过程与能力目标 综合运 用等比数列的 定义、通项公式、性质、 前 关的问题 教学重点 进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和 前 导及应用 教学难点 灵活应用 相关知识 解决有关问题 教学过程 一、复习引入： 1 等比数列求和公式： )1(1)1()1(112数学思想方法：错位相减，分类讨论，方程思想 3练习题： 求和： 1321 二、 探究 1 等比数列通项 等比数列 其中 0,1,0 练习： 若 等比数列 ， ,13 nn m . 2 0 ),(, *232 是等比数列 解： 设等比数列 项是 1a ，公比为 q, 当 q= 1且 32 , 不是等比数列 . 此时，32 =0. (例如：数列 1, 1,1, 1,是公比为 1的等比数列，46242 ) 当 q 1或 kS 321 0S 2 )(321 kk 0S 23 )(3212 kk 0用心 爱心 专心 2 32 , （ 成 等比数列 评述：注意公比 不要忽视等比数列的各项都不为 0的前提条件 练习： 等比数列中 ,10,30,则 70 . 等比数列中 ,48,60,则 63 . 3在等比数列中 ,若项数为 2n (n N *),S 偶 与 S 奇 分别为偶数项和与奇数项和 ,则 奇偶 q . 练习： 等 比数列 2其和为 奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q = 2 . 综合应用 : 例 1: 设等比数列 公比为 q,前 n,若21 , 则 . 解： 21 22 12121 例 2:等差数列 ,d=2,依次抽取 这个数列的第 1,3,32,， 3数列 求 数列 通项和前 n. 解 :由题意 2故 ,132 13 1 nn b1+ +2(1+3+32+ +3n =3三、课堂小结： 1 等比数列 其中 0,1,0 2 则 , 232 一定是等比数列 . 3在等比数列中 ,若项数为 2n (n N *),S 偶 与 S 奇 分别为偶数项和与奇数项和 ,则奇偶. 四、课外作业 ： 1阅读教材第 5960 2习案 作业十八 用心 爱心 专心 1 课 题 ： 比数列的前 n 项和（一） 教学目的： 1掌握等比数列的前 2会用等比数列的前 教学重点： 等比数列的前 教学难点： 灵活应用公式解决有关问题 授课类型： 新授课 课时安排： 1课时 教 具 ：多媒体、实物投影仪 教材分析： 本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的 推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法 教学过程 ： 一、复习引入： 首先回忆一下前两节课所学主要内容： 1等比数列 ：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 比通常用字母 q 0），即：1q（ q 0） )0( 111 1( 0 )a q a q 3 等比数列 q（ q 0） “0”是数列等比数列的必要非充分条件 4既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 5等比中项 ： G为 a与 即 G= a,b 同号） . 6性质 ：若 m+n=p+q，7判断等比数列的方法 ：定义法，中项法，通项公式法 用心 爱心 专心 2 8等比数列的增减性： 当 q1, 1a 0或 01, 1a 0 时 , 递减数列 ;当 q=1时 , 常数列 ;当 q0时 , 摆动数列 ; 二、讲解新课： 例如求数列 1， 2， 4， 262， 263的各项和 即求以 1为首项， 2为公比的等比数列的前 64 项的和，可表示为： 636264 228421 S 2 646364 2216842 S 由 可得： 12 6464 法称为 “错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前 n 项和公式： 当 1q 时，1)1(1 或11 当 q=1时，1当已知 1a , q, n 时用公式；当已知 1a , q, 公式 . 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 , 321 它的前 nS 321 由 11321 得 nn 1)1( 用心 爱心 专心 3 当 1q 时，1)1(1 或11 当 q=1时，1公式的推导方法二： 有等比数列的定义， 12312 根据等比的性质，有 112132 即 1 1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用 等比定理 ，导出了公式 公式的推导方法三： nS 321 )(13211 11 )(1 nn 1)1( （结论同上） “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决 三、例题讲解 例 1 求等比数列 1， 2， 4，从第 5项到第 10 项的和 . 解：由 2 2,1 21 1521 )21(1 44 S ， 1 0 2 321 )21(1 1010 S 从第 5项到第 10 项的和为10S =1008 例 2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项 2,11 等比数列 用心 爱心 专心 4 则：一天内获知此信息的人数为： 25 252512 2112S 例 3 已知 等比数列，且nS=a，b，（ 0），求 分析：要求知 1a ， q，而已知条件为否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？ 当 1q 时 1)1(1 a n1)1( 21 1)1)(1(1 b /得 1 将代入，得 2121 n1)1( 31 1 )1(32 )1(1 3 这样处理问题很巧妙没有分别求得 1a 与 改为求 1的值，这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备？ 第式就有问题，附加了条件 q 1而对 q=1情况没有考虑 使用等比数列前 特别注意适用条件，即 q=1时，nS=n 1a ； 当 1q 时，11或1)1(1 （含字母已知 数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性） 解法 1： 设等比数列 公比为 q 用心 爱心 专心 5 若 q=1（此时数列为常数列），则nS=n 1a =a，12 2n =b， 从而有 2a=b 3 13 （或2333 13 n ） 若 q 1（即 2a b），由已知 1)1(1 a 1)1( 212 b 又 0, /得 1, 1 将代入，得 2121 n1)1( 31 1 )1(32 )1(1 3aba 解法 2： 由nS，nS，比数列（练习中证此结论）， 即 a,以 a(b)=( 从而有 a （包含了 q=1的情况） 四、练习 ： 等比数列， 其前 n 项和，数列 32 , （ 是否仍成 等比数列？ 解： 设 ,a ，公比为 q, 当 q= 1且 32 , 不是等比数列 . 此时，32 =0. 例 如 ： 数 列 1, 1,1, 1, 是公比为 1 的 等 比 数 列 ，用心 爱心 专心 6 46242 , 当 q 1或 kS 321 0S 2 )(321 kk 0S 23 )(3212 kk 0 32 , （ 成 等比数列 评述：应注意等比数列中的公比 q 的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为 0的前提条件 . 五、小结 1. 等比数列求和公式：当 q=1时，1当 1q 时，11或1)1(1 ； 2 当 q= 1且 时，32 , 不是等比数列 . 当 q 1或 32 , 仍成 等比数列 3这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前 在应用中加深了对公式的认识 六、课后作业 ： 已知数列 证7S, 14S 7S, 21S 14S 成等比数列 . 解：（ 1）当 q=1时，7S=7 1a , 14S =141a , 14S 7S =14 1a 7 1a =7 1a , 21S 14S =211a 14 1a 7S, 14S 7S, 21S 14S 为以 7 1a 为首项， 1为公比的等比数列 . 用心 爱心 专心 7 当 q 1时，7S= 11,11,11 211211411471 1111 71141714 11 771 1111 1412111421 11 771 2 2714212714 )1( 1 q 1111)( 71417114217 2271421 )1( 1q 2714 = )(14217 7S, 14S 7S, 21S 14S 成等比数列 . 这一过程也可如下证明： 14S 7S = )( 14321 )( 7321 =141098 = )(73217 =77同理， 21S 14S =21171615 = 7147S, 14S 7S, 21S 14S 为等比数列 . 七、板书设计（ 略） 八、课后记 ： 用心 爱心 专心 1 课 题 ： 比 数列 的前 n 项和 （ 二 ） 教学目的： , 1 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题 决问题能力 . 教学重点： 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 教学难点： 灵活使用公式解决问题 授课类型： 新授课 课时安排： 1课时 教 具 ：多媒体、实物投影仪 教学过程 ： 一、复习引入： 首先回忆一下前几 节课所学主要内容： 1等比数列 ：如果一个数列从第二项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 比通常用字母 q 0），即：1q（ q 0） )0( 111 1( 0 )a q a q 3 等比数列 q（ q 0） “0”是数列等比数列的必要非充分条件 4既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 5等比中项 ： G为 a与 即 G= a,b 同号） . 6性质 ：若 m+n=p+q，7判断等比数列的方法 ：定义法，中项法，通项公式法 8等比数列的增减性： 当 q1, 1a 0或 01, 1a 0 时 , 递减数列 ;当 q=1时 , 心 爱心 专心 2 是常数列 ;当 q0时 , 摆动数列 ; 9等比数列 的前 当 1q 时，1)1(1 或11 当 q=1时，1当已知 1a , q, n 时用公式；当已知 1a , q, 公式 . 10 当 q= 1且 32 , 不是等比数列 . 当 q 1或 32 , 仍成 等比数列 二 、例题讲解 例 1 已知等差数列 第二项为 8，前十项的和为 185，从数列 ，依次取出第 2项、第 4项、第 8 项、第 按原来的顺 序排成一个新数列 求数列 通项公式和前项和公式 1854510811 da 解得 1a 5, d 3, 3n 2, nb3 2, (3 2 2) (3 2 2) (3 32 2) (3 2) 312 )12(2 n 2n 6 2n 6.（分组求和法） 例 2 设数列 132 4,3,2,1 0x 求此数列前 n 项的和 解：（用错项相消法） 132 4321 nn 用心 爱心 专心 3 132 132 1211 ， 当 1x 时， 111 x 11 1 x 111 1 21111 当 1x 时， 214321 n 例 3等比数列 n 项和与积分别为 ，数列前 n 项和为 S ， 求证： 2 证：当 1q 时， 1， ，1 ， 221111 ，（成立） 当 1q 时， 111 1,11 1111112111 221211121 ，（成立） 综上所述：命题成立 例 4设首项为正数的等比数列，它的前 n 项之和为 80，前 之和为 6560，用心 爱心 专心 4 且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列 解： 由题意 818212656011180112111）， n 18011 ，得： 011 从而 1q ， 前 n 项中数值最大的项应为第 n 项 11 111 5481 1 n 3,27548111 21311 此数列为 162,54,18,6,2 例 5求和：（ x+ )1()1()122 nn （其中 x 0， x 1， y 1） 分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和 . 解：当 x 0， x 1， y 1时， （ x+ )1()1()122 nn )111()( 22 nn 1(11)1(11 11三 、练习 ： 用心 爱心 专心 5 设数列 n 项之和为 2,1 21 2023 11 问：数列 等比数列 吗？ 解： 02311 0211 021 nn 21 2n， 比数列 2n 又： 2,1,11212211 比数列 ，但 当 2n 时成 2n ， 即： 22 11 1 小结 本节课学习了以 下内容： 熟练求和公式的应用 五 、 课后作业 ： 1、三数成等比数列，若将第三数减去 32，则成等差数列，若将该等差数列中项减去 4， 也 成等比数列，求原三数（ 2， 10， 50或938,926,92） 2、一个等比数列前 n 项的和为 ,48之和 602 （ 63） 3、 在等比数列中，已知：364 , 3 6，求 1271 n 六 、板书设计 （略） 七 、课后记： 用心 爱心 专心 1 课 题 ： 等比数列的前 n 项和第一课时 教学目的： 1掌握等比数列的前 2会用等比数列的前 教学重点： 等比数列的前 教学难点： 灵活应用公式解决有关问题 授课类型： 新授课 课时安排： 1课时 教 具 ：多媒体、实物投影仪 教材分析： 本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和 条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法 教学过程 ： 一、复习引入： 首先回忆一下前两节课所学主要内容： 1等比数列 ：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 比通常用字母 q 表示（ q 0），即：1q（ q 0） )0( 111 1( 0 )a q a q 3 等比数列 q（ q 0） “0”是数列等比数列的必要非充分条件 4既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 5等比中项 ： G 为 a 与 即 G= a,. 6性质 ：若 m+n=p+q，7判断等比数列的方法 ：定义法，中项法，通项公式法 8等比数列的增减性： 当 q1, 1a 0 或 01, 1a 0时 , 递减数列 ;当 q=1时 , 常数列 ;当 q0时 , 摆动数列 ; 二 、 讲授新课 一 :求和公式 : 用心 爱心 专心 2 1. , , a a q n 项 为 公 比 为 前 项 和12 na a 11 a q 又 211 1 1 1 (1 )a a q a q a q 在 (1)式的两边同时乘以 211 1 1 1 ( 2 ) a q a q a q a q 将上面两式相减 ,即 (1)-(2)得 : 11(1 ) a a q 接下来对 1 1 ,q 当 时 1 1 1 1nS a a a n a 2 1 ,q 当 时 1 1111n nn aq a a qS 1(1 )1 1q=1a q 1 另外： 1q 当 时 , 111111111a A =其 中三 、 例题讲解 : 例 1:求等比数列 1 1 1, , ,2 4 8的前 8项和 . 1 11: : ,22解 由 题 知881111 2 5 522 11 2 5 6 2 5 612S 例 2:已知等比数列 23 ，求首项1a。 用心 爱心 专心 3 是 等 比 数 列 得 前 n 项 和. 2a 2 3 2 11 2 3 2 4 3 5 2 33 : : 2 2 2 2 n 例 求 和 解：此式为首项为 2,公比为 4 的等比数 列的前 n+2 项的和 . 2 222 1 4 2 411 4 3 23242:2 2 4 2 211 4 3 或 者课堂练习 : 21:1 nq q q 求 和 提示 :对 :(1 ) 0 , 1 ;( 2 ) 1 , ;10 1 , ;1 q 解当 时当 时(3) 当 且 时综上 : 1 , 1 1 , 11q S 或四 、 课后小结 : 本节课重点掌握等比数列的前 1 11 ( 1 )11a a 及推导方法 :错位相减法 作业 : 习题 1,3,6,7 用心 爱心 专心 1 等比数列前 n 项和说课提纲 我将从教材分析、教学目标、教学方法、教学过程的构思与设想以及教学反思等五个方面对本节课的设计进行说明。 一、教材分析 数列是高中数学的重要内容之一，现实生活和高等数学的很多内容常用到它，同时又是对学生进行观察、分析、归纳、计算、推理等基本训练 ,提升学生数学能力的良好题材。 学生在前面已经学习了数列的概念、等差数列及其求和公式、等比数列的通项公式，这为本节内容的学习奠定了基础，而本节课的学习又为数列在各方面的应用奠定基础 基于以上认识，我认为本节课的重点为：等比数列前 。由于公式的推导方法学生不易想出，所以本节课的难点为：等比数列前 破难点的关键在于创设合适的教学情境将学生的思维引导到最近的发现区。 二、教学目标 依据教材、教学大纲和学生实际，我确立了如下教学目标： 1、知识与技能目标：（ 1）使学生掌握并能灵活运用等比数列前 n 项和公式，掌握该公式的推导方法 乘公比错位相减法。 （ 2）渗透分类讨论等数学思想，提高学生的数学素养。 2、过程与方法目标：在公式及其推导方法的探究过程中培养学生的观察、猜想、分析、综合的思维能力，使学生掌握研究问题的科学方 法。 3、情感与态度目标：创设轻松愉快的教学氛围，让学生在自主探究、合作交流过程中收获知识，提升能力，获得学习成功的愉悦和快乐，并关注其个性品质；通过对公式的推导和对公比 一步形成学生勇于探索、严谨治学的科学态度。 三、教学方法 教学过程是教与学以及师生合作、生生合作的多边活动过程，教学方法对 教学目的的实现和学生素质的提高具有非常重要的意义。 （ 1） 教法 建构主义认为，知识不能由教师简单地传递给学生而只能由学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构，因此本节课我主要采用“引导发现法”来突出重点，突破难 点。 过程如下： 第一步，讲述数学故事并设置问题，激发学生的学习兴趣。 第二步，解决故事中提出的问题。“无意中”求出麦粒数这个等比数列前 64项的和。引导学生反思求和过程，根据求和过程大胆猜想等比数列求和的方法。 用心 爱心 专心 2 第三步，通过特殊数列验证改进猜想。并严格证明猜想，得出等比数列求和公式及其推导方法。 第四步，通过例题和练习，巩固所学内容。 这样设计将有利于调动学生思维的积极性，将学生的学习过程转化为学生的自主探索过程，使学生真正成为课堂的主人，参与到整个教学活动的全过程中。采用“引导发现法”，通过教师精心设计教 学情境和一系列活动，让学生亲身体验知识发生、发展的过程，特别有利于培养学生的探索精神和创新意识，发展他们的研究能力和实践能力。 （ 2）学法 我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视对学法的指导。 教师只有教给学生治学之道，求是之法，才能让学生把握学习的灵魂。 本节课学生将经历观察、猜想、分析、证明、练习及巩固过程。 通过本节学习使学生认识到学习的过程就是通过发现问题、研究问题、解决问题进一步扩充自己的认知结构的过程。逐步掌握认真观察、动脑思考，大胆猜想，严格证明 这一探索、研究问题的重要方法。 总之，本节教学方法设计是给学生提供眼耳脑口手五官并用的机会，优化教学过程，把学习主动权交给学生，真正让学生成为教学活动的主体。 同时还使用演示课件、投影等手段扩大课堂容量、激发学生兴趣。 四、教学过程 依据辩证唯物主义认识论，教育心理学规律，根据教材分析和学生实际，本着提高学生探究能力，发展学生的创新意识和实践能力的目的，我把本节课的课堂结构分为以下四环节。 1、创设情境，引入课题 本环节分为两个层次： （ 1）复习等比数列定义和通项公式，并通过定义q，得出 = 启发学生得出无穷等比数列的某一项乘以公比 q 所得结果仍然是这个数列中的项，并且是这一项的后一项，有穷数列的最后一项除外。 本层次主要是为扫除因旧知识不清而出现的障碍，为后面突破难点做好铺垫。 （ 2）讲述教学故事设置问题，创设情境。 师生一块回忆本章引言中关于国际象棋的传说：国际象棋起源于古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第 1个格子里放上 1颗麦粒，在第 2个格子里放上 2 颗麦粒，在第 3个格子里放上 4颗麦粒，在第 4个格子里放上 8颗麦用心 爱心 专心 3 粒，依次类推，每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64个格子。国王觉得这并不是很难办的事，就欣然同意了他的要求。可国王错了，皇家总管用了整整三天的时间才算出麦粒数是 18446744073709551615。这些麦粒的总质量超过了 7000亿吨。 7000亿吨是一个多么庞大的数字，学生们可能想象不到，可以给学提供一个参照物：我们国家在 2003年的粮食总产量不足 5亿吨，照我们国家现在的生产力水平 7000 亿吨大约是 1400多年的粮食总产量，何况古代印度的生产力水平呢？ 国王犯这样的错，主 要是因为缺乏数学知识，那么，我们怎样迅速计算出麦粒总数呢？ 因为在上一节等比数列的概念中，学生已经知道麦粒数构成了一个等比数列，此时提出等比数列怎样求和水到渠成。 继续讲述故事：现在我们假设发明者要求使用另一种放法，在第 1个格子里放 2颗麦粒，在第 2个格子里放 4颗麦粒，在第 3个格子里放 8颗麦粒依次类推，每一个格子里放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到第 64 个格子。 并设置问题：后一种放法与前一种放法相比，发明者能多得多少颗麦粒。 教师放手让学生去研究、去探索、去讨论。 学生比较容易得出： +2+4+8+16+32+64+ +262+263 S64=2+4+8+16+32+64+128+ +263+264 两式相减得 S6464就是第二种放法比第一种放法能多得 264 教师引导学生考虑每一格中两种放法对应的麦粒数的关系，进而得出两种放法对应的麦粒总数的关系。 至此，学生发现 S6464，也就是第二种放法比第一种放法多得的麦粒 数恰好为第一种放法所得麦粒总数。 为引导学生观察教师提出问题：“在 S64中有这么多项你是怎样计算出结果的。”学生发现两式中绝大多数项相同，在作差时被消去，从而为后面突破难点设置台阶。 本层次通过故事引入，可以极大地调动全体同学的积极性，使不同层次的学生都兴致勃勃地参与课堂活动。改编故事设置第二种放法，主要是因为等比数列前 生不易想出，而学生在解决故事中的问题时会在“不经意”中求出一个等比数列的和，从而回头反思求和的过程。当然这里学生的“不经意 ”是教师故意设置的教学情境。 2、自主探索、合作交流 本环节是教学过程的难点，我通过四个层次来分散难点、突出重点。 用心 爱心 专心 4 （ 1）观察分析、提出猜想 教师提出问题：“刚才我们在不经意中求出了一个数列的前 64项和，现在我们回头分析一下是怎求求和的，请大家首先观察两个等式之间有什么关系，并考虑我们求出和的过程。” 屏幕显示： +2+4+8+16+32+64+ +262+263 S64=2+4+8+16+32+64+128+ +263+264 学生经过观察、分析、讨论，将两式关系总结为两点： （） 式对应的数列是式的对应数列的各项乘以 2后得到的。 （）式与式绝大多数项相同，在相减时被消去。 教师设置问题：“据此分析，请同学们大胆猜想，求一个等比数列前 n 项和可以怎样进行？” 让学生畅所欲言，大胆发表自己的看法。如果学生回答确有困难，教师可对照上面的解法给予适当提示。根据以往授课经验，多数学生认为可以将 后再与 （ 2）验证猜想，改进猜想 教师指导全体学生按照多数学生的猜想进 行研究，其他同学的猜想在课后自己进行研究。 启发学生先用特殊数列验证猜想。 屏幕显示等比数列： 1， 3， 9， 27， 3 学生验证后发现不能求出 生思路受阻，教师选择适当时机点拨，引导学生观察：第二个数列对应的两个等式和第一个数列对应的两个等式之间有什么差别。 经过学生观察、讨论可以得到第二个数列的两式没有出现绝大多数相同项。 教师组织学生进一步讨论：“为什么第一个数列乘以 2 后能出现绝大多数相同项因而能求和，而第二个数列乘以 2 后不能出现绝大多数相同项因而不能求和？第一个数列乘以 2后能求和是不 是一种偶然的巧合呢？” 学生思考、分析、讨论，如果学生回答确有困难，教师可以提示：第一个数列乘以 2后能求和而第二个数列乘以 2后不能求和，是不是 2 相对于两个数列角色不一样？ 学生经过观察、分析、讨论后认定 2是第一个数列的公比，但并不是第二个数列的公比。 教师及时引导：“看来我们的猜想还需要进一步改进，那么应怎样改进呢？” 学生很快得出：应将 教师启发学生先用特殊数列验证。 学生按改进后的猜想，去求刚才的第二个等比数列 1， 3， 9， 27， 3前 心 爱心 专心 5 发现能求出 教师 提出问题：改进后的猜想能用来求这两个数列的和，那么是不是所有的等比数列都可以这样求和呢？ 学生得出肯定的结论后，教师引导学生反思：为什么乘以公比以后能求和。 如果学生回答确有困难，教师可提示学生出现绝大多数相同项作差时能消去是关键，再结合刚上课复习等比数列定义时得出的等比数列中的项乘以公比 q 所得结果为该数列中这一项的后一项，则可以断定 差时能消去。 再回头看第一个数列乘以 2，再作差能求和，表面现象是乘以 2，其本质是乘以等比数列的公比。也就是出现那么 多相同项的根本原因在于将每一项均乘以公比 穷数列最后一项除外）。 分析至此，等比数列求和的方法已浮出水面。 （ 3）证明猜想 教师继续引导：“这只是我们的分析过程，下面需要做的工作大家认为是什么？” 在学生答出证明以后，教师用屏幕显示： 设公比为 ， 的前 n
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