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高中数学 平面 向量 应用 利用 运用 举例 打包 新人 必修

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高中数学《平面向量应用举例》学案（打包4套） 新人教A版必修4,高中数学,平面,向量,应用,利用,运用,举例,打包,新人,必修

内容简介：

1 第一课时 平面几何中的向量方法 教学要求 ：理解向量加减法与向量数量积的运算法则 ;会用向量知识解决几何问题 ;能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系 . 教学重点 ：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则 . 教学难点 ：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的意义和性质 . 教学过程 ： 一、复习准备： 量的加减运算和数量积运算是怎样的 ? 若 o 为 的重心 ,则 0 水渠横断面是四边形 12 |=|,则这个四边形为等腰梯形 之间的关系 ,你会想到向量运算之间都有什么关系 ? 二、讲授新课： 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来例如，向量数量积对应着几何中的长度 平行四边行 ，设 a ， b ，则 A C A B B C a b （平移）， D B A B A D a b ，2 22|AD b （长度）向量 夹角为 讨论：（）向量运算与几何中的结论若 ，则 | | | |，且 ,类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） （） 建立平面几何与向量的联 系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 （） 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等 （） 把运算结果翻译成几何关系 出示例 1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 分析：由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积 练习：已知平行四边形 a ， b ，且 | | | |，试用向量 表示 并计算 判断 位置关系 出示例 2：如图，在 ， OA a ， OB b ， | | | |a b a b ，求证四边形 矩形 分析：要证四边形 矩形，只需证一角为直角 练习： O 的一条直径， 为圆周角，求证 90 出示例：在 ， M 是 中点，点 N 在边 ，且 2C ， 交于点 P ，如图，求 : 练习：求证平行四边形对角线互相平分 3. 小结 ：向量加减法与向量数量积的运算法则；向量加减法与向量数量积的意义和性质 . 三、巩固练习 ： 1. 已知平行四边形 在对角线 ，并且 D，求证 平行四边形 2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 在平行四边形 ，已知 ， ，对角线 ，求对角线 长 4. 作业：书 2. 2 第二课时 ： 向量在物理中的应用举例 教学 要求 ：理解向量线性运算及数量积运算，会用向量知识解决物理问题 . 教学重点 ：理解并能灵活应用向量线性运算及数量积的意义和性质 . 教学难点 ：理解并能灵活应用向量线性运算及数量积的意义和性质 . 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论 : 两个人提一个旅行包 ,夹角越大越费力 . 在单杠上做引体向上运动 ,两臂夹角越小越省力 . 2. 提问 : 类比物理元素之间的关系 ,你会想到向量运算之间有什么关系 ? 二、讲授新课： 1. 教学物理中的向量： 物理中有许多量 ,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量 . 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法 ,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则 . 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解 ,运动的叠加也用到了向量的加法 . 动量 数乘向量 . 力所做的功就是作用力 F 与物体在力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积 . 用向量研究物理问题的方法 :首先把物理问题转化成数学问题 ,即将物理量之间的关系抽象成数学模型 ,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象 . 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子 . 2 出示例 1：某人在静水中游泳 ,速度为 43km/h (1) 如果他径直游向河对岸 ,水流速度为 4km/h ,那么他实际上沿什么方向前进 ?速度大小为多少 ? (2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 ?实际前进的速度大小为多少 ? (分析：解决此类行船问题的关键在于水速 +船速 =船实际速度 ” ,注意到速度是一个向量 ,既有大小 ,又有方向 .) 练习：某人在无风天气行走 ,速度为 4km/h ,如果他沿正北方向行走 ,东风的风速为 4km/h ,那么他实际沿什么方向前进 ?速度大小为多少 ? 出示例 2： 如图 ,用两根分别长 5 2 10绳子将 100上 ,平衡后 m ,求 (分析：解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示 ,利用向量加法的平行四边形法则 ,将物理问题转化为数学中向量加法 ,然后由已知条件进行计算 .) 练习：用两条成 120 角的等长的绳子挂一个灯具 ,已知灯具的重量 10N,则 ,每根绳子的拉力大小是多少 ?. 3. 小结 ：物理中的向量；用向量研究物理问题的方法 . 三、巩固练习： 1. 静水中船的速度是每分钟 40m,水水流的速度是每分钟 20m,如果船沿着垂直 水流的方向到达对岸 ,那么船行进的方向与河岸的夹角为 _. 2. 甲飞机从 A 城市向北飞行了 300 3然后向东飞行 300乙飞机从 B 城市向东飞行了300然后向北飞行 300 3那么甲、乙两飞机飞行的位移相等吗 ?为什么 ? 3. 练习 : 教材 1、 2题 . 4. 作业：教材 3、 4题 . 1 面向量的综合应用（ 1） 一、知识 回顾 1、运用向量的坐标形式，以及向量运算的定义，把问题转化为三角问题来解决； 2、运用向量的坐标形式，联系解析几何的知识，研究解析几何问题； 3、向量的综合应用，常与三角，解几等联系在一起 。 二、 基本 训练 1、平面直角坐标坐标系中， 知两点 A(3， 1)， B（ 1， 3），若点 C = 若中、 R，且 + =1，则点 ） A、（ x 1） 2+（ y 2） 2=5 B、 3x+2y 11=0 C、 2x y=0 D、 x+2y 5=0 2、已积 （ 2， 0）， （ 2， 2）， （ 22则 B 夹角的范围是（ ） A、 0， 4 B、 4， 512 C、 12， 512 D、 512， 2 3、平面向量 a =（ x， y）， b =（ c =（ 1， 1）， d =（ 2， 2），若 a c =b d =1，则这样的向量 a 有（ ） A、 1个 B、 2个 C、多于 2个 D、不存在 4、已知 a +b +c =0 ， |a |=3， |b |=5， |c |=7，则 a 与 b 夹角为（ ） 1,0)e ，2 (0,1)e ，今有动点 P ，从0 ( 1, 2)P 开始沿着与向量12同的方向作匀速直线运动，速度为12|另一动点 Q ，从0( 2, 1)Q 开始沿着与向量1232同的方向作匀速直线运动，速度为12| 3 2 |设 P 、 Q 在时刻 0t 秒时分别在 0P 、0当00Q时， t 秒 a ( b (2，)，且 x 0，2若 f (x) a b 2 a b的最小值是23，求 的值 (襄樊 3 理 ) 三、例题 分析 ： 例 4,4),1,( c o s),c ( （ 1）求向量 夹角的余弦用 f(x); （ 2）求的最值 . 例 a= ( 3 x， x)， b=( x， x)，其中 0， 记函数()fx=a b，已知 )(最小正周期为 （ 1）求 ； （ 2）当 0 x 3 时 ，试求 f(x)的值域南通一 例 等差数列 ,公差 d 0，其前 n 项和为 列 1, ，n， 点列 , ,， n， （ 1）求证：1n2且 n N*)与12 （ 2）若12证： | 24 例 4（ 04湖北 ） 如图，在 ，已知 BC=a，若长为 2为中点，问 的夹角 取何值时 的值最大？并求 出这个最大值 . C 3 四、 作业 同步练习 面向量的综合应用（ 1） 1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是 (4， 2)， (5， 7)， ( 3， 4)，则第四个顶点一定不是（ ） A、 (12， 5) B、 ( 2， 9) C、 ( 4， 1) D、 (3， 7) 2、已知平面上直线 l 的方向向量 e =( 45， 35)，点 O(0,0)和 A(1, 2)在 l 上的射影分别为1，则11 e ，其中入 =（ ） A、 115 B、 115 C、 2 D、 2 3、设 1： 1 的焦点， 2：与曲线 1212| | | ） A、 14 B、 13 C、 23 D、 13 4、设 a 、 b 、 c 是平面上非零向量，且相互不共线，则 （ a b ） c （ c a ） b =0 |a b | |a | |b | （ b c ） a （ c a ） b 与 c 不垂直 （ 3a +2b ）（ 3a 2b ） = 9|a |2 4|b |2 其中真命题的序号是（ ） A、 B、 C、 D、 5、 ( ， =（ 2 2+其中 0， 2 ， 则 |的最大值为 6、已知 O、 A、 B、 C 是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入 1、入 2、入 3，使入 1 2入 3O ，则对于三个角： 这三个角都是锐角；这三个角都是钝角； 这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角； 这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。 其中可以成立的说法的序号是 （写上你认为正确的所有答案） 7、 （ 05 上海卷）直角坐标平面 ，若定点 )2,1(A 与动点 ),( 足 4 则 4 点 _。 8、 （ 05 江西卷）已知向量 )() ) ,42t a n(),42s () ) ,42t a n(,2c 令. 是否存在实数 ?)()(0)()(,0 的导函数是其中使 若存在，则求出不存在，则证明之 . 9、设 a =(1+ ， b =(1 ， c =(1， 0)， (0, )， ( ,2 ), a 与 c 夹角为 1， b 与 c 的夹角为 2，且 1 2= 6，求 4 的值。 10、已知 ，且 1，以 线 右侧）建立直角坐标系。 （ 1）若 S= 12， | =2，求向量 在的直线方程； （ 2）设 |=c，（ c 2）， S= 34 c，若以 ，求当 |得最小值时椭圆的方程。 11、 （ 04 年福建卷 7） 设函数 ()f x a b ，其中向量 (2 1)，( c o s , 3 s )b x x ， . （）若 ( ) 1 3 且 , 33x ，求 x ； （）若函数 2的图象按向量 ( , ) (| | )2c m n m 平移后得到函数 ()y f x 的图象，求实数 , 答案 基本训练 ： 1. D 2. C 3. A 4 3 5. 2 6解： a b c o o o s |a+b| |c o s|22c o 1s i s i n)21c o c o s 22 5 20 ，x x 0，因此 | a b | 2 x f (x) a b 2 a b即 22 21)(co 20 ，x 0 x 1 若 0，则当且仅当 x 0时， f (x)取得最小值 1，这与已知矛盾； 若 0 1，则当且仅当 x 时， f (x)取得最小值 221 ， 由已知得2321 2 ，解得：21若 1，则当且仅当 x 1时， f (x)取得最小值 41 ， 由已知得2341 ，解得：85，这与 1 相矛盾 综上所述，21为所求 三、例题 分析 ： 例 1） c o s| 4,4c o o ,c o o o sc o o sc o |c o 2） )(1 2)(,1,2 2,co s 2 则则0,0,322ar c c o s,40,322ar c c o s,0,1c o 2()(,1)1()(1,22)(,122)(,0)(,)1,22()1()1)(1(2)(m i nm a xm i nm a xm i nm a 时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又.(1) ()3 x x = 32x 12 (1+x) 6 x+6 )+ 12 0， T= =22 ， =1 （ 2）由（ 1），得 ()fx=x+6 ) + 12 , 0 x 3 , 6 2x+6 56 ()1， 32 例 3. 等差数列 d （ 1） (d )， (1， ( n2且 n N*) 与 （ 2） (1， d) |= 1+ 而 |= 1+ = 2+ 1 = = 1 18 | 24 例 4本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分 12 分 . )()(,解法一 .c o 222222)(0,1c o s 其最大值为最大时方向相同与即故当 7 直角顶点 直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系 . .)()()()(),(),(),().,(),(.|,2|),0(),0,(),0,0(,|22 )(0,1c o s.c o s.c o s.|c o 四、 作业 1 4、 5、 2 3 6、 7、 x+2 8、 解： )42t a n()42t a n()42s c o o i a a a a c o i c o )(:,0)()( 即令 x )(,02,2 所以存在实数可得 2x 时， ( ) ( ) 0f x f x 9、 a = 22( 1= 2 b = 22（ 2 = 2 2 又 1 2 = 6 = - 3 = 12 10、（ 1）设 Q( |= 2 F(2， 0) 8 (2， 0)， ( 1 得 52 而 S = 12 |= 12 12 Q（ 52， 12） 在直线方程为 y = y = （ 2）设 Q（ |= c F（ c， O） （ 1 得 c + 1c 又 S = 12 c |= 34C 32 Q（ c + 1c， 32） 由函数 f(x) = x + 单调性，知 g(c)在 2， +）上递增 c) = g(2) = 52 ，此时 c=2， |最小值 Q（ 52， 32） 设出椭圆方程后可得椭圆方程为 1 11、4x , ,112 1 平面几何中的向量方法 学习目标： 会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题 培养和发展运算能力和解决实际问题的能力 体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力 教学重点 ：平面几何中的向量方法 教学难点 ： 平面几何中的向量方法 教学方法 ： 讨论式 教具准备 ： 多媒体投影 教学过程 ： （）新课引入： 师： 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性 运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题 本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用 （ ）讲授新课： 例 1证明 ：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 已知：平行四边形 求证： 2 2 2 2 2 2A C B D A B B C C D D A 分析： 用向量方法解决涉及 长度 、夹角 的问题时，我们常常要考虑向量的数量积注意到 A C A B A D， D B A B A D，我们计算 2| 证明 ： 不妨设 a， b，则 a+b， 2|a|2，2|b|2 2|A C A C A C ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理 2|a|2b+|b|2 +得 2| 2|2(|a|2+|b|2)=2( 2| 2| 所以， 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 师：你能用几何方法解决这个问题吗？ 2 生： （探索、研究得出本例的几何证法如右图）略 师 ： 由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性， 他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从 而降低了思考问题的难度 . 用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤， 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系 例 2，如图，平行四边形 ，点 E、 F 分别是 C 边的中点， 别与 于 R、 T 两点，你能发现间的关系吗？ 分析：由于 R、 T 是对角线 两点，所以要判断 T、 间的关系，只需要分别判断 间的关系即可 解： 设 a， b，则 a+b 线 存在实数 m，使得 m(a+b) 又 线 存在实数 n，使得 n(12b- a) 由 A R A B B R= 得 m(a+b)= a+ n(12b- a) 整理得 ( 1) a 1()2mnb 0 由于向量 a、 b 不共线，所以有 10102 ，解得1323 所以 13C 同理 13C 3 于是 13C 所以 说明：本例通过向量 之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法 例 3 已知 条高线 证： 于一点 分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题 解： 如图，以 在直线为 x 轴，过点 A 垂直于 直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 设 A、 B、 C 三点的坐标分别为 (0, )( ,0) ( ,0)且 于点 ( , )H x y ，则 ( , )B H x b y ， ( , )C H x c y ， ( , )A C c a， ( , )A B b a C ， B ， ( ) 0( ) 0c x b a yb x c a y ，解得 0x 所以，点 H 在 y 轴上，即点 H 在 ， 于一点 （）课后练习：课本125习题 组 （）课时小结 : 几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算” 等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线的相应结果如果把代数方法简单地表述为 形到数 数的运算 数到形 ， 则向量方法可以简单的表述为 形到向量 向量的运算 向量和数到形 （）课后作业： 课本125习题 组 预习课本124P125P，思考下列问题： 怎样把物理问题转化为数学 问题？ 4 如何用数学模型来解释相应的物理现象 ？ 板书设计： 平面 几何中的向量方法 例 用向量法解平面几何 例 2 小结 问题的“三步曲” 预习提纲 教学后记 : 向量在物理中的 应 用 举 例 学习 目 标 ： 学 会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算 培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力 体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性 教学 重点 ：向量在物理中的应用 教学难 点 ： 向量在物理中的应用 教学 方法 ： 讨论式 教 具准 备 ： 用几何画板演示例 3、例 4 教学过 程 ： （）新课引入： 师： 向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象 本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用 （ ）讲授新课： 例 3在日常生活中，你是否有这样的经 验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？ 分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型只要分析清楚 F、 G、 三者之间的关系（其中 F 为 ,就得到了问题的数学解释 解：不妨设 | 由向量加法的 平行四边形 法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到 5 | |2G 通过上面的式子我们发现，当 由 0 180 逐渐变大时，2由 0 90 逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此， |小逐渐变大，即 间的夹角 越大越费力，夹角越小越省力 （用几何画板演示） 师：请同学们结合刚才课件的演示，思考下面的问题： 为何值时， |小，最小值是多少？ |等于 |G|吗？为什么？ 生：当 0 时， |小，最小值是 12|G|， 当 120 时， |G| 例 4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 500d m，一艘船从 A 处出发到河对岸已知船的速度 |10km/h，水流的速度 |2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少 (精确到 分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使 行驶航程最短，所用时间最短考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对岸（用几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响） 解 ： |v = 2212| | | | 9 6(km/h)， 所以 ， 0 . 5 6 0 3 . 1| 96dt v ( 答： 行驶航程最短时，所用的时间是 3.1 （）课后练习：课本126习题 组 （）课时小结 : 用向量知识解决物理问题的一般思路是： 物理问题 转 化 数学问题 利 用 向量运算 得 到 物理问题的结论 力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化 到向量的数量积上来 6 （）课后作业： 课本125习题 组 板 书设计 ： 向量在物理中的应用举例 例 3 例 4 练习 小结 预习提纲 教学 后 记 : 1 平面向量的应用 一、 2009年江苏省高考说明对平面向量的要求 平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算，平面向量的坐标表示 ， 平面向量的 平行与垂直 这几个方面都是 面向量的应用是 平面向量的数量积是 二、高考命题规律 1、高考对向量的考查主要是向量的概念及其运算（坐标运算、几何运算） ， 平面向量的加 、 减法的几何意义，数量积及运算律，两个非零向量平行及垂直的充要条件； 2、常在大题中兼顾对向量的考查，主要涉及向量在三角函数、解析几何 、函数 及数列中的应用； 3、题目大都是容易题和中 等题 ， 题型多为一道填空题或一道大题 . 三、复习目标 1、通过本节课的复习， 进一步掌握向量数量积的几何 运算法则和坐标运算法则； 2、使学生正确掌握向量 的 具体 应用，并能通过解题体验平面向量应用问题的常规解法 . 四、复习重点 1、平面向量的概念 、加减法、 数量积的灵活应用； 2、平面向量的 具体 应用 . 五、复习过程 （一） 小题训练 1、（ 2006高考 题 改编）已知两点 M（ 2， 0）、 N（ 2， 0），点 面内的动点，满足 | | | |M N M P M N N P 0，则动点 P（ x， y）的轨迹方程为 . 2 8 2、若向量 a ， b 满足 2a ， 1b ， 1 ，则向量 a ， b 的夹角的大小为 . 343、已知向量 2( , 1)a x x， (1 , )b x t ，若函数 ()f x a b 在区间（ 1）上是增函数，则 . 4、（ 2009南通市期末） 在 6A， D 与 B、 ，且 22| | | |A B A D B D D C ，则 B 等于 75 （二）典型例题 例 1： （ 2008青岛市检测卷 ）已知 向量 ( c o s , s i n )a ， ( 2 s i n , c o s )b ， ( , )22 . （ 1）若 | | 3 1 ， 求 的值； （ 2） 若向量 ( 2 , s c ，求 ()a c b 的最大值 解：（ 1） 2 2 2 2| | ( 2 c o s s i n ) ( s i n c o s ) 4 - 4 s i n ( ) 4 2 34 . 3s i n ( ) ， 3( , ) , ( , ) ,2 2 4 4 4 2- - ,4 3 4 3 或 5 1 2 或 - （ 2） ( c o s 2 , 0 ) ， ( ) ( c o s 2 ) ( 2 s i n )a c b 2 ( s i n c o s ) s i n c o s 2 2 1s i n c o s s i n c o s ,2 设 ， 则 3( , ) , ( , ) ,2 2 4 4 4 2s i n ( ) ( , 1 , ( 1 , 2 42 t 2 1( ) 2 22ta c b t 211( 2 )22t ， 2 ( ) .t a c b 1所 以 当 时 ， 取 得 最 大 值 为 2 举一反三 2( 4 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , ( 3 c o s , 3 s i n ) | |2 s i n s i n 201 t a B B C 已 知(1) 若 （ ， ） ， 且 | ， 求 ；(2) 若 ， 求 的 值 ., 3 , 4 4 ,A B C B C k A C A B k 例 2 ： 已 知 中