2017年考研数学二真题及解析

( 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. （1） ）若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x 在0x 处连续，则（） (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C)0ab (D)2ab 【答案】A 【解析】 00 1 1 cos1 2 limlim,( ) 2 xx x x f x axaxa 在0x 处连续 11 . 22 bab a 选 A. （2）设二阶可导函数( )f x满足(1)( 1)1,(0)1fff 且 ( ) 0fx ，则（） 11 11 0101 1010 ( )( )0( )0 ( )( )( )( )( ) Af x dxBf x dx Cf x dxf x dxDf x dxf x dx 【答案】B 【解析】 ( )f x为偶函数时满足题设条件，此时 01 10 ( )( )f x dxf x dx ，排除 C,D. 取 2 ( )21f xx满足条件，则 11 2 11 2 ( )210 3 f x dxxdx ，选 B. （3）设数列 n x收敛，则（） ( )A当limsin0 n n x 时，lim0 n n x ( )B当lim()0 nn n xx 时，lim0 n n x ( )C当 2 lim()0 nn n xx 时，lim0 n n x ( )D当lim(sin)0 nn n xx 时，lim0 n n x 【答案】D 【解析】特值法： （A）取 n x，有limsin0,lim nn nn xx ，A 错； 取1 n x ，排除 B,C.所以选 D. （4）微分方程的特解可设为 （A） 22 (cos2sin2 ) xx AeeBxCx（B） 22 (cos2sin2 ) xx AxeeBxCx （C） 22 (cos2sin2 ) xx AexeBxCx（D） 22 (cos2sin2 ) xx AxeeBxCx 【答案】A 【解析】特征方程为： 2 1,2 48022i 222*2*2 12 ( )(1 cos2 )cos2,(cos2sin2 ), xxxxx f xexeexyAeyxeBxCx 故特解为： *22 12 (cos2sin2 ), xx yyyAexeBxCx选 C. （5）设( , )f x y具有一阶偏导数，且对任意的( , )x y，都有 ( , )( , ) 0,0 f x yf x y xy ，则 （A）(0,0)(1,1)ff（B）(0,0)(1,1)ff（C）(0,1)(1,0)ff（D）(0,1)(1,0)ff 【答案】C 【解析】 ( , )( , ) 0,0,( , ) f x yf x y f x y xy 是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)fff，故答案选 D. （6） 甲乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10 （单位： m） 处， 图中实线表示甲的速度曲线 1( ) vv t （单位：/m s） ，虚线表示乙的速度曲线 2( ) vv t，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时 ( 开始后乙追上甲的时刻记为 0 t（单位：s） ，则（） （A） 0 10t （B） 0 1520t（C） 0 25t （D） 0 25t 【答案】B 【解析】从 0 到 0 t这段时间内甲乙的位移分别为 00 12 00 (t) ,(t) , tt vdtvdt 则乙要追上甲，则 0 21 0 (t)v (t)10 t vdt ，当 0 25t 时满足，故选 C. （7）设A为三阶矩阵， 123 (,)P 为可逆矩阵，使得 1 0 1 2 P AP ，则 123 (,)A （） （A） 12 （B） 23 2（C） 23 （D） 12 2 【答案】 B 【解析】 1 12312323 000 11(,)(,)12 222 P APAPPA , 因此 B 正确。 （8）设矩阵 200210100 021 ,020 ,020 001001002 ABC ,则（） （A）,ACBC与 相似与 相似（B）,ACBC与 相似与 不相似 （C）,ACBC与 不相似与 相似（D）,ACBC与 不相似与 不相似 【答案】B 【解析】由0EA可知 A 的特征值为 2,2,1, 因为3(2)1rEA，A 可相似对角化，即 100 020 002 A 由0EB可知 B 特征值为 2,2,1. 因为3(2)2rEB，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，AC，但 B 不相似于 C. 二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. (9) 曲线 2 1arcsinyx x 的斜渐近线方程为_ 【答案】2yx 【解析】 22 limlim(1 arcsin)1,limlim arcsin2, 2 xxxx y yxx xxx yx (10) 设函数( )yy x由参数方程 sin t xte yt 确定，则 2 2 0t d y dx _ 【答案】 1 8 【解析】 ( 22 02 22 cos cos ,1 1 cos sin (1)cos11 8 1 t t tt t t t dydxdyt te dtdtdxe t d yteted ye dx dxdx e dt (11) 2 0 ln(1) (1) x dx x _ 【答案】1 【解析】 2 00 0 2 0 2 0 ln(1)1 ln(1) (1)1 ln(1)1 1(1) 1 1. (1) x dxx d xx x dx xx dx x (12) 设函数( , )f x y具有一阶连续偏导数，且( , )(1) yy df x yye dxxy e dy，(0,0)0f，则 ( , )_f x y 【答案】 y xye 【解析】,(1),( , )( ), yyyy xy fyefxy ef x yye dx xyec y 故 ( ) yyyy y fxexyec yxexye， 因此( )0c y，即( )c yC，再由(0,0)0f，可得( , ). y f x yxye 【答案】 【解析】 （13） 11 0 tan _ y x dydx x 【答案】lncos1. 【解析】交换积分次序： 1111 0000 tantan tanlncos1 x y xx dydxdxdyxdx xx . （14）设矩阵 412 12 311 Aa 的一个特征向量为 1 1 2 ，则_a 【答案】-1 【解析】设 1 1 2 ，由题设知A，故 412111 121132 3112222 aa 故1a . 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分）求极限 0 3 0 lim x t x xte dt x 【答案】 2 3 【解析】 0 30 lim x t x xte dt x ，令xtu ，则有 0 00 xx tx ux u x xte dtueduuedu ( 00 33 00 22 0 31 00 22 =limlim 2 limlim 33 2 xx x uxu xx x u x xx uedueue du xx ue du xe xx 原式 （16） （本题满分 10 分）设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos ) x yf ex，求 0x dy dx ， 2 2 0x d y dx 【答案】 2 111 2 0 0 (1,1),(1,1), x x dyd y ff dxdx 【解析】 0 12121 0 0 2 22 1112212212 2 2 1112 2 0 (,cos )(0)(1,1) sin(1,1) 1(1,1) 0(1,1) ( sin )( sin )sincos (1,1)(1,1)(1,1) x x x x x xxxx x yf exyf dy f efxfff dx d y f ef exf exfxf efx dx d y fff dx 结论： 1 0 2 1112 2 0 (1,1) (1,1)(1,1)(1,1) x x dy f dx d y fff dx （17） （本题满分 10 分）求 2 1 limln 1 n n k kk nn 【答案】 1 4 【解析】 2 111 22 1 0 2 000 1 111 11 limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1) 2214 n n k kkx xx dxx dxxxdx nnx （18） （本题满分 10 分）已知函数( )y x由方程 33 3320xyxy确定，求( )y x的极值 【答案】极大值为(1)1y，极小值为( 1)0y 【解析】 两边求导得： 22 33 33 0xy yy （1） 令0y 得1x 对（1）式两边关于 x 求导得 2 2 663 3 0xy yy yy（2） 将1x 代入原题给的等式中，得 11 10 xx or yy ， 将1,1xy代入（2）得(1)10y 将1,0xy 代入（2）得( 1)20y 故1x 为极大值点，(1)1y；1x 为极小值点，( 1)0y （19） （本题满分 10 分）设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且 0 ( ) (1)0, lim0 x f x f x ，证明： ( ) 方程( )0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根； ()方程 2 ( )( )( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I）( )f x二阶导数， 0 ( ) (1)0, lim0 x f x f x 解：1）由于 0 ( ) lim0 x f x x ，根据极限的保号性得 ( 0,(0, )x 有 ( ) 0 f x x ，即( )0f x 进而 0 (0, )0xf有 又由于( )f x二阶可导，所以( )f x在0,1上必连续 那么( )f x在 ,1上连续，由( )0,(1)0ff根据零点定理得： 至少存在一点( ,1)，使( )0f，即得证 （II）由（1）可知(0)0f，(0,1),( )0f 使，令( )( )( )F xf x fx，则(0)( )0ff 由罗尔定理(0, ),( )0f 使，则(0)( )( )0FFF， 对( )F x在(0, ),( , ) 分别使用罗尔定理： 12 (0, ),( , ) 且 1212 ,(0,1), ，使得 12 ()()0FF，即 2 ( )( )( )( )0F xf x fxfx在(0,1)至少有两个不同实根。 得证。 （20） （本题满分 11 分）已知平面区域 22 ,|2,Dx yxyy计算二重积分 2 1 D xdxdy 。 【答案】 5 4 【解析】 22sin 2222 2 00 5 1122cos 4 DDDD xdxdyxdxdyx dxdydxdydrd （21） （本题满分 11 分）设( )y x是区间 3 0, 2 内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线 L:( )yy x 上任意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 0, p Y，法线与 x 轴相交于点,0 p X，若 pp XY， 求 L 上点的坐标, x y满足的方程。 【答案】 【解析】设, ( )p x y x的切线为( )( )Yy xy xXx，令0X 得( )( ) p Yy xy x x，法线 1 ( ) ( ) Yy xXx y x ,令0Y 得( )( ) p Xxy x y x。由 pp XY得( )( )yxy xxyy x，即 1( )1 yy y x xx 。 令 y u x ， 则yux， 按 照 齐 次 微 分 方 程 的 解 法 不 难 解 出 2 1 ln(1)arctanln |uuxC x , （22） （本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 123 ,A有 3 个不同的特征值，且 312 2。 ( ) 证明：( )2r A ( )若 123 ，求方程组Ax的通解。 【答案】 （I）略； （II）通解为 11 21 , 11 kkR 【解析】 （I）证明：由 312 2可得 123 20，即 123 , 线性相关， 因此， 123 0A ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 1 212 ,0 0 ( )( )2r Ar （II）由（1）( )2r A ，知3( )1r A，即0Ax 的基础解系只有 1 个解向量， 由 123 20可得 123 11 ,220 11 A ，则0Ax 的基础解系为 1 2 1 ， 又 123 ，即 123 11 ,11 11 A ，则Ax的一个特解为 1 1 1 ， ( 综上，Ax的通解为 11 21 , 11 kkR （23） （本题满分 11 分）设二次型 222 12312