南昌市2017届高考第二次模拟冲刺数学理科试题(五)含答案

2017届高三 数学（理）试卷 （ 5） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 U R，集合 | ( 5 ) 0 A x x x ， | 3 B x y x ，则 B = A (0,3） B (0,5) C (0,3 D 017复平面内对应的点关于实轴对称，则复数 A. 25B. 25C. 22. 已知在平面直角坐标系 ， A(1,2) ， B( , 1) ，若 B ，则 | 2 3 |O A O B A 52B 3 C 65 D 65 4某大学为了了解大一新生对舞蹈社团的关注程度，在大一年级的学生中，随机抽取了 30名学生进行一次调查，列出了如下 22 列联表： 希望参加舞蹈社团 不想参加舞蹈社团 合计 男 4 8 12 女 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说大一年级学生参加舞蹈社团与性别有关的把握为 A 1% B 95% C 99% D 附：参考公式和临界值表 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d (其中 n=a+b+c+. 2()P K k k 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 输入的值为 ，每次输入 的值均为 ， 输出的值为 ，则输入 的值为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 283 B 8 C 83D 837. 已知 抛物线 2 4上一点 P( 4， 4)，直线 ( 4) 5y k x 交抛物线于点 ，设直线 ,的斜率分别为 21,则 12|的最小值为 B ， 2， ，则 A. 455B. 255C. 5 D. 25 9已知实数 x， ,0,0, 若 z ax y的最大值是 2，则实数 a A 1 B 1 C 3 D 2 10将函数 ( ) s i n ( ) c o s ( )f x x x 的图象向右平移3个单位长度，得到相应函数的图象关于点 ( ,0)6对称，则 的值不可能是 A3B6C3D 2311已知双曲线 ： )0,0(12222 c，直线 :l y kx 若 3k ，则 的左、右两支各有一个交点；若 15k ，则 的右支有两个不同的交点，则 的离心率的取值范围为 A (1,2) B (1,4) C (2,4) D (4,16) 12已知函数 21( ) e ( 0) )( x 在区间（ 0， 1）上有且 只有一个极值点，则实数 A ( ,0) B (0, ) C ( , D ( ) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分 ，共 20分 13 为了调查观众对央视某节目的关注度，现从某社区随机抽取 20 名青年人进行调查，再从中 挑选 4 名做进一步调查，则 20 名青年人中的小张、小李至少有 1人被选中，而小汤没有被选 中做进 一步调查的不同选法为 .（用数字作答） 14在平面直角坐标系 为直线 y 3x 1的倾斜角，则 c o s ( 3 2 ) t a n ( 2 ) 的值是 . 15已知正三棱柱 1 1 1 B C ，13A，则该正三棱柱的外接球的表面积与其内切球的表面积比为 16 已知函数 32| l o g |, 0 3() 1 1 0 8 , 333x x x ，若方程 ()f x m 有四个不同的实根1 2 3 4, , ,x x x x ，满足 1 2 3 4x x x x ，则 3412( 3)( 3)的取值范围为 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 12分） 已知数列 首项为 2，且点*3, )( )2在一指数函数的图象上 . （ I）求数列 通项公式； （ 数列 前 )1(3 b，求数列 18. （本小题满分 12分） 某大学的学生随机调查了 20到 70 岁之间的 600 位上网购物者的年龄情况，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） . （ I）求频率分布直方图中实数 m 的值及样本中年龄在 40,60) 内的人数； （ 将年龄在 30,40) 内的人群定义为 “ 高消费人群 ” ，年龄在 60,70) 内的人群定义为 “ 低消费人群 ” ，其他年龄段的人群定义为 “ 中消费人群 ” ， 现采用分层抽样的方法 从参与调查的上网购物者中 “ 高消费人群 ” 及 “ 低消费人群 ” 共随机抽取 7人，再从这 7人中任选 2人，设这 2 人来自 “ 高消费人群 ” 的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 19. （本小题满分 12分） 如图所示，在多面体 ， 为边长为 2的正方形， 等腰直角三角形， C ，且平面 平面 平面 平面 （ I）求证：平面 平面 （ 平面 平面 成锐二面角的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知点 (2,3) 在椭圆 22 1 ( 0 )xy 上，设 ,别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点 C 到直线 距离为 477 b （ I）求椭圆 C 的方程； （ 设 1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( )M x y N x y x x为椭圆上的两点，且满足221 2 1 222a x x b y O N ，求证： 的面积为定值，并求出这个定值 21. （本小题满分 12分） 已知函数 f(x) x a R)的图象过点（ 1， 1） . （ I）求函数 ()()2x的单调区间； （ 函数 2e ( 1)xh x x x ， 2F x x x x ，证明：函数 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22. (本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 1(3， 1)为圆心， 5 为半径的圆以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 s in c o s 1 . （ 1）求曲线 2的直角坐标方程； （ 2）直线 1相交于 A， 23. （本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 3 |h x x （ 1）若 ( ) | 2 |h x x n 对任意的 x 0恒成立，求实数 n 的最小值； （ 2）若函数 3 5 , 0 3 ,()2 , 3 ，求函数 ( ) ( ) ( )g x f x h x的值域 2017届高三 数学（理） 参评 试卷 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 【 答案 】 C 【 解析 】 由 ( 5) 0 得， 50或 ，则 C = | 0 5 U A x x x|x3 ，故 B =x|0 x3 故选 C. 2. 【 答案 】 A 【 解析 】 因为 2017 i 2 2 i2 i 2 i 2 i 5 5 ，又复数 z 与 2017应的点关于实轴对称，所以复数 12 ，所以复数 5，故选 A. 3. 【 答案 】 C 【 解析 】 , (1 , 2 ) ( , 1 ) 0 , 2 0O A O B ，得 2 ， (2, 1)， 2 3 ( 2 , 4 ) ( 6 , 3 ) ( 8 , 1 )O A O B ， 2| 2 3 | 8 1 6 5O A O B ，故选 C. 4 【 答案 】 C 【 解析 】 假 设 参 加 舞 蹈 社 团 与 性 别 无 关 ， 则 2K 的 观 测 值23 0 ( 4 2 1 6 8 ) 1 0 6 . 6 3 51 2 1 8 2 0 1 0k ，所以有 99% 的把握认为参加舞蹈社团与性别有关，故选 C 5 【 答案 】 C 【 解析 】 由程序框图，得 ； ，结束循环，即输入 . 6. 【 答案 】 D 【 解析 】 由三视图可知，该几何体是一个正方体（棱长为 2）挖去一个半圆锥（高为 2，半径为 1）组合而成的简单组合体，所以其体积为 32112 1 2 = 82 3 3 ，故选 D 7. 【 答案 】 D 【 解析 】 设点 ),(),( 2211 联立方程得2( 4 ) 5 ,4,y k 消去 y ，得0201642 由根与系数的关系，得 2016,4 2121 又44,44222111 所以2212121 2 1 21 2 1 24444 144| | | | | | | |4 4 4 4 4k x xx x x x 2121)(41 )2016(41641 2 1)2(54 22 所以 12|的最小值为1. 故选 D. 8. 【 答案 】 A 【 解析 】 因为 面积为 4，所以 1 s 2 B C A B B ，所以 1 2 s 24 ，解得42由余弦定理可得 22 22 ( 4 2 ) 2 2 4 2 2 52 ，设 上的高为 h ，则 1 42 AC h，即 1 2 5 42 h，得 455h故选 A. 9 【 答 案 】 C 【解析】 不等式组表示的平面区域是以点（ 0， 0）、（ 0， 1）和 11,22（ ）为顶点的三角形（包括边界），当 a=0时， 0,1 ，最大值不是 2，舍去；当 a0 时， z ax y即 y ax z ，当 1a，即 a 1时，经过点 11,22（ ）， 1222a ，解得 a= 3；当 1a，即a 0或 1 a 0时，经过点 (0， 1)时， ，不符合题意 .故 a= 3. 故选 C. 10 【 答案 】 C 【 解析 】为 )y x x ，所以 1 s 2 2 )2，将函数 1 s 2 2 )2的 图 象 向 右 平 移3个 单 位 长 度 ， 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式为1 1 2s i n 2 ( ) 2 s i n ( 2 2 )2 3 2 3y x x ，因为该函数的图象关于点 ( ,0)6 对称，可得 22 2 ,63 以 ,26k k Z， 若3 ，则 13k Z，所以 的值不可能是3，故选 C. 11 【 答案 】 C 【 解析 】 因为 22c a b，所以直线 22: y k xl k a b 由222222 1,y k k b 得，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0b a k x a k a b x a a k b k b . 因为 3k ，则 的左、右两支各有一个交点，所以方程 有两个不相等的异号实根，所以 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( 3 3 ) ( 3 4 ) 033a a b b a a bb a b a ，得 223； 因为 15k ，则 l 与 的右支有两个不同的交点，所以方程 有两个不相等的正实根，所以2 2 2222 2 2 22230 015(1 5 1 5 ) 015a a a b ，得 2215223 15，所以 2223 1 5，所以 23 1 15e ， 24e ， 所以 的 离心率的取值范围为 (2,4) 故选 C. 12 【 答案 】 D 【 解析 】 因为 21() )e( ，所以 322( 2 1 ) (e( ) 1x k x k x a x ，设 32 ( 2 1 ) ( 1 ) ( 0 )h x k x k x a x k ， 23 2 2 1 ( 0 )h x k x k x a k . 当 2 1 0a ，即 12a 时， 0 1,0 上恒成立，即函数在 1,0 上为增函数，而 0 ( 2 1) 0 ， 1 2 0，则函数 区间 1,0 上有且只有一个零点 0x ，使 0 0 ，且在 0,0x 上， 0 ，在 1,0x 上 0 故 0为函数 1,0 上唯一的极小值点； 当 2 1 0a ，即 12a时， 23 2 0h x k x k x 在 1,0 上恒成立，即函数 1,0 上为增函数，又此时 00 h ，所以 0区间 1,0 上为单调递增函数，所以 1,0 上无极值； 当 2 1 0a ，即 12a时， 32 ( 2 1 ) ( 1 )h x k x k x a x ，因为 1,0x ，所以总有 0立，即 0 成立，故函数 1,0 上为单调递增函数，所以函数 1,0 上无极值 12a，故选 D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分 13 【 答案 】 1 496 【 解析 】 可分两类 :小张、小李只有 1 人入选， 小汤没有入选，则有 132 17不同的选法；小张、小李都入选， 小汤没有入选，有 222 17 有1 3 2 22 1 7 2 1 7C C + C C = 1 4 9 6种不同的选法 . 14 【 答案 】 35【 解析 】 通解 因为角 为直线 31的倾斜角，所以 ，所以222 t a n 2 3 3t a n 2 1 t a n 1 3 4 ， 2 2 2 22 2 2 2c o s s i n 1 t a n 1 3 4c o s 2 c o s s i n 1 t a n 1 3 5 . 所以c o s ( 3 2 ) t a n ( 2 ) c o s 2 t a n 2 4 3 3()5 4 5 . 15 【 答案 】 51 【 解析 】 设正三棱柱 1 1 1 B C 的外接球与其内切球的半径分别为 ,1AA a ，则3AB a ，则 2， 222 3 5( ) ( 3 )2 3 2 2aR a a ，所以该正三棱柱的外接球的表面积与其内切球的表面积的比为2222225()452141()2a 16 【 答案 】 (0,3) 【 解析 】作出函数图象如图所示 . 由 12( ) ( )f x f x 可得， 3 1 3 2| lo g | | lo g |2，所以 3 1 3 2lo g lo g 0，解得121. 显然， (3,1)A ，又 03x时， ( ) 0，因为方程 ()f x m 有四个不同的实根，所以01m. 因为函数 21 1 0 833y x x 的对称轴为 5x ，故由 34( ) ( )f x f x 可得 3410 4 3 312( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 7 )xx x x x 2331 0 2 1 23( 5) 4x ) ( 5 ) 4g t t ，由 01m，即 21 1 00 8 133 ，解得 34x或 67x，所以 334x，故 2( ) ( 5 ) 4g t t 在 (3,4) 上单调递增，所以 (3 ) ( ) ( 4 )g g t g，即( ) (0,3). 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.【 解析 】 （ 1）设指数函数的解析式为m 0， 且 m1) ，（ 1分） 因为2a，所以点(1,3)在指数函数 所以13，得3m，所以3（ 3分） 又点*3( , )( )2在指数函数以32 ，（ 4分） 所以1*2 3 ( ) N.（ 5分） （ 2）由（ 1）知，2 3 ( ) N，所以2 (1 3 ) 3113 n （ 6分） 故13(313 7分） 所以0 1 2 2 12 2 3 3 3 4 3 3 ( 1 ) 3 n n ， 所以1 2 3 13 2 2 3 3 3 4 3 3 ( 1 ) 3 n n ，（ 8分） 由 得，1 2 3 12 2 3 3 3 3 ( 1 ) 3 ， 所以13 (1 3 )2 2 2 ( 1 ) 3 1 ( 2 1 ) 313n n n ， 所以2 13)12( 12分） 18. 【 解析 】 （ 1）由频率分布直方图，可得 ( 0 . 0 2 6 0 . 0 3 0 0 . 0 1 4 0 . 0 1 2 ) 1 0 1m ， 得 . 则样本中年龄在 40,60) 内的频率为 (10 故样本中年龄在 40,60) 内的人数为 600 192.（ 5分） （ 2）由频率分布直方图可知， “ 高消费人群 ” 与 “ 低消费人群 ” 的人数比为0 0 1 0 6 0 0 50 2 1 0 6 0 0 2 ， 由分层抽样的性质知，抽出的 7人中为 “ 高消费人群 ” 的人数为 5， “ 低消费人群 ” 的人数为 2.（ 6分） 所以 X 的可能取值为 0， 1， 2. （ 7分） 025227( 0 )C 2 1 ， 1152270( 1 )C 2 1 ， 2527C 10( 2 )C 2 1 ， 所以所求的 X 0 1 2 P 121 1021 1021 （ 10分） 1 1 0 1 0 1 0( ) 0 1 22 1 2 1 2 1 7 （ 12 分） 19.【 解析 】（ 1） 平面 平面 且 C ， 平面 平面 G (2分 ) 又 为等腰直角三角形， C ， C C C ， 平面 (4分 ) 又 平面 平面 平面 (5分 ) （ 2） 平面 平面 D ， 平面 ,E D A D E D D C， 又 C ， 以 D 为原点，以 ,C 别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意，知 (2,2,0)B ， (2,0,2)F ， (0,2,0)C ， (0,0,2)E ， (1,2,1)G ， (0, 2, 2)， ( 1, 0,1) ， (0, 2, 2)， (1, 0,1) (7分 ) 设平面 法向量为 1 1 1 1( , , )x y zn ， 则 110,0, 2 0,0, 取 1x ，则 1 (1,1,1)n 为平面 一个法向量 设平面 法向量为 2 2 2 2( , , )x y zn ，则 220,0, 2 0,0,取 1x ，则 2 (1, 1, 1) n 为平面 一个法向量 . (10分 ) 1212 121 1 1 1c o s , | | | | 333 平面 平面 成锐二面角的余弦值为 13 (12分 ) 20 【 解析 】 （ 1）由题意，得直线 方程为 1，点 (0, )， 点 C 到直线 距离222 4 77，整理，得 3 2 0 (2分 ) 又点 (2,3) 在椭圆上，所以22491 联立 解得 4, 2 3 ， 所以椭圆的 C 的 方 程 为22116 12 (4分 ) （ 2 ）设直线 方程为 y kx m ， 代 入 椭 圆 方 程 ， 并 整 理 得2 2 2( 3 4 ) 8 4 4 8 0k x k m x m 2 2 2 2 2 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 1 2 ) 4 8 ( 1 2 1 6 ) 0k m k m k m ， 221 2 1 6 0 ， 221 438， 212 24 ( 1 2 )34k ， 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 4 8( ) ( ) ( ) 34y k x m k x m k x x k m x x m k (6分 ) 又1 2 1 2O M O N x x y y ， 则 由 题 意 ， 得221 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 221 6 1 21 6 1 2a x x b y y x x y yx x y y ， 整理，得 1 2 1 23 4 0x x y y，则 2 2 2224 ( 1 2 ) 3 4 83 4 03 4 3 4m m ， 整理，得 2268 （满足 0 ） |1|212 212212 4)(1 222224 8 (1 2 1 6 )1( 3 4 ) 2 2 22224 8 ( 2 ) 11 8 3|()2m m m （ 8分） 又点 O 到直线 距离21|， (10 分 ) 221 1 1 | | | 8 3 4 32 2 | | 1M O N dm k （定值） (12分 ) 21. 【 解析 】 （ 1）因为函数 2 )f x x x a x a 1， 1）， 所以 11f ，所以 a ，得 1a （ 2分） 所以 2x x x x，则 ( ) 1 1( ) l 2