（安徽专用）2013年高考数学总复习 （教材扣夯实双基+考点突破+典型透析）第七章课件（打包7套）
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（安徽专用）2013年高考数学总复习 （教材扣夯实双基+考点突破+典型透析）第七章课件（打包7套）,安徽,专用,年高,数学,复习,温习,教材,夯实,考点,突破,典型,透析,第七,课件,打包
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第七章 立体几何 第七章 立体几何 第 1课时 空间几何体的结构及其三视图和直观图 教材回扣夯实双基 基础梳理 1. 空间几何体的结构特征 多面体 (1)棱柱的侧棱 都 _, 上、下底面是 _的 多边形 . (2)棱锥的底面是任意多边形 , 侧面是有一个公共顶点的三角形 . (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到 , 其上、下底面 是 _多 边形 . 平行且相等 全等 相似 旋转体 (1)圆柱可以 由 _绕 其任一边所 在 直 线旋转得到 . (2)圆锥可以由直角三角 形 绕其 _所 在直线旋转得到 . (3)圆 台 可以由直角梯形 绕 _所 在直 线 或 等腰梯形绕上、下底中点连线所在直 线 旋 转得到 , 也可由平行于底面的平面截 圆 锥 得到 . (4)球可以由半圆或圆 绕 _ 所 在直线旋转得到 . 矩形 直角边 直角腰 直径 (1)三视图的名称 几何体的三视图有： _、 _、 _. (2)三视图的画法 在画三视图时 , 重叠的线只画一条 , 挡住的线要画成虚线 . 正视图 侧视图 俯视图 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 _方、 _方、_方观察几何体画出的轮廓线 . 3. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画 , 其规则是： 正前 正左 正上 (1)原图形中 直观图中 , x 轴、 y 轴的夹角为 _, z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面 _ (2)原图形中平行于坐标轴的线段 , 直观图中仍 平行 , 平行于 _, 平行于 中 _. 45 (或 135 ) 垂直 不变 减半 思考探究 空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？ 提示： 三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形 ; 直观图是从某一点观察几何体而 4. 平行投影与中心投影 平行投影的投影线是 _的 , 而中心投影的投影线交于一点 . 平行 课前热身 1. 无论怎么放置 , 其三视图完全相同的几何体是 ( ) A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球 解析：选 同一个几何体 , 放的位置不同 , 其三视图的形状会发生改变 , 但只有球 , 不论怎么放置 , 其三视图都是相同的圆 . 2. 已知如下三个图形 , 是某几何体的三视图 , 则这个几何体是 ( ) A. 六棱锥 B. 六棱柱 C. 正六棱锥 D. 正六棱柱 解析：选 D. 和是矩形 , 排除 A、 C, 比较 B、 . 3. 在 C 90 , a 3, b 4, 则以斜边 当用一个垂直于斜边的平面去截这个几何体时 , 所得截面圆的直径的最大值是 _. 解析：最大截面圆的直径为 边上高的 2 倍 , 即 2 125245. 答案： 245 图、是图表示的几何体的三视图 , 其中图是 _, 图是_, 图是 _(说出视图名称 ). 解析：由三视图的定义易知 , 是正视图 , 是侧视图 , 是俯视图 . 答案：正视图 侧视图 俯视图 考点 1 空间几何体的结构特征 考点探究讲练互动 考点突破 下列结论正确的是 ( ) A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 , 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 例 1 C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 , 则此棱锥可能是六棱锥 D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【 解析 】 如图 1所示 ,由两个结构相同的 三棱锥叠放在一起构成的几何体 , 各面都是三角形 , 但它不是棱锥 . 如图 2, 若 但旋转轴不是直角边所在直线 , 所得的几何体都不是圆锥 若六棱锥的所有棱长都相等 , 则底面多边形是正六边形 . 由几何图形知 , 若以正六边形为底面 , 侧棱长必然要大于底面边长 . 【答案】 D 【 题后感悟 】 (1)熟悉空间几何体的结构特征 , 依据条件构建几何模型 , 在条件不变的情况下 , 可变换模型中线面的位置关系或增加 线、面等基本元素 , 然后再依据题意判定 . (2)三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体 , 也是重要的几何模型 , 有些问题可用上述几何体举特例解决 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 下列命题中正确的是 ( ) A. 有两个面平行 , 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行 , 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有一个面是多边形 , 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点 图 1 图 2 【 解析 】 如图 1, 面 面 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行 , 故不是棱柱 . A、 棱锥是有一个面是多边形 , 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 , 即必须有一个公共顶点的几何体 . 如图 2, 每个面都是三角形但形成的几何体不是棱锥 . 棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到 , 其各侧棱的延长线必交于一点 , 故 【 答案 】 D 变式训练 1. 下列命题中 , 正确的是 ( ) A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C. 侧面都是矩形的四棱柱是长方体 D. 底面为正多边形 , 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 解析：选 故 A, 故也不正确 . 例 2 考点 2 几何体的三视图 (2011高考江西卷 )将长方体截去一个四棱锥 , 得到的几何体如图所示 , 则该几何体的侧视图为 ( ) 【 解析 】 如图所示 , 点 1, 点 , 点 , 故选 D. 【 答案 】 D 【 题后感悟 】 画三视图时 , 应牢记其要求的“ 长对正、高平齐、宽相等 ” , 注意虚、实线的区别 , 同时应熟悉一些常见几何体的三视图 . 解决由三视图想象几何体 , 进而进行有关计算的题目 , 关键是准确把握三视图和几何体之间的关系 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 如图 , 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 , 且体积为12, 则该几何体的俯视图可以是 ( ) 【解析】 若该几何体的俯视图是选项 A , 则该几何体的体积为 1 , 不满足题意 ; 若该几何体的俯视图是选项 B , 则该几何体的体积为4, 不满足题意 ; 若该几何体的 俯视图是选项 C , 则该几何体的体积为12, 满足题意 ; 若该几何体的俯视图是选项 D , 则该几何体的体积为4, 不满足题意 . 故选 C. 【答案】 C 例 3 考点 3 几何体的直观图 已知平面 BC是边长为 求原 【解】 如图所示 , A B C 是边长为 作 C D A B 交 y 轴于点 D , 则 D 到 x 轴的距离为32a , D A B 4 5 , A D 62a , 由斜二测画法的法则知 , 在 , A B a , 上的高是 A D 的二倍 , 即为 6 a , S 12a 6 a 62 【 题后感悟 】 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置 , 因为多边形顶点的位置一旦确定 , 依次连接这些顶点就可画出相应的多边形 , 因此平面多边形的直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法 . 互动探究 2. 若将本例中 ABC是边长为 求直观图 ABC的面积 . 解：如图所示的实物图和直观图 . 由图可知 , A B a , O C 1234a , 在图中作 C D A B 于 D , 则C D 22O C 68a . S A B C 12A B C D 12 a 68a616 例 备选例题 (教师用书独具 ) 建立坐标系如图 , 每组中的两个正三角形 ( ) 【 解析 】 由斜二测画法的规则知 , 【 答案 】 C 方法感悟 方法技巧 1. 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转形成的 , 一定要弄清圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的 , 从而掌握旋转体中各元素的关系 , 也就掌握了它们各自的性质 . 2. 圆锥的母线 l、高 组成一个直角三角形 . 圆锥的有关计算一般归结为解这个直角三角形 , 特别是关系式 3. 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体 , 画出的空间几何体的图形 . 正视图是物体前后方向投影所得到的投影图 , 它反映的是物体的高度和长度 . 侧视图是物体左右方向投影所得到的投影图 , 它反映的是物体的高度和宽度 . 俯视图是物体上下方向投影所得到的投影图 , 它反映的是物体的长度和宽度 . 失误防范 1. 准确理解几何体的定义是认识空间几何体结构特征的基础 , 要能区分各种几何体的不同结构特征 . 2. 在画空间几何体的直观图时 , 应注意几何体中的一些线段长度与直观图中对应线段的长度是不同的 . 命题预测 从近几年的高考试题来看 , 几何体的三视图是高考的热点 , 题型多为选择题、填空题 , 难度中、低档 . 主要考查几何体的三视图 , 以及由三视图构成的几何体 , 在考查三视图的同时 , 又考查了学生的空间想象以及运算与推理能力 . 考向瞭望把脉高考 预测 2013年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点 , 重点考查学生读图、识图以及空间想象能力 . 例 典例透析 (2011高考浙江卷 )若某几何体的三 视图如图所示 , 则这个几何体的直观图可以是 ( ) 【 解析 】 A, 答案选 D. 【 答案 】 D 【 得分技巧 】 逐个画出 A、 B、 C、 进行对比 . 【 失分溯源 】 主要原因：虚、实线分不清 , 边界点在对面的投影点分不清 . 第 3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系 教材回扣夯实双基 基础梳理 1. 四个公理 公理 1：如果一条直线上的 _在一个平面内 , 那么这条直线在此平面内 . 公理 2：过 _的三点 , 有且只有一个平面 . 两点 不在一条直线上 公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点 , 那么它们 _过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线_. 2. 空间中点、线、面之间的位置关系 有且只有一条 互相平行 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 _ _ _ 交点个数 0 0 0 a b a 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交关系 图形语言 符号语言 a b A a A l 交点个数 1 1 无数个 直线与直线 直线与平面 平面与平面 独有关系 图形语言 符号语言 a、 面 直线 a 交点个数 0 无数个 3. 异面直线所成的角 设 a, 经过空间中任一点 O 作直线 a a, b b, 把 a 与 b 所成的_叫做异面直线 a与 锐角 (或直角 ) 其范围为： 0 ， 2 . 思考探究 如果两条直线没有任何公共点 , 则两条直线为异面直线 , 此说法正确吗？ 提示： 不正确 . 如果两条直线没有公共点 , 则两条直线平行或异面 . 4. 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 , 那么这两个角 _. 相等或互补 课前热身 1. 已知 A、 B、 、 表示不同的平面 , 则下列推理错误的是 ( ) A. A l, A , B l, B l B. A , A , B , B . l, A lA D. A , A l, ll A 答案： C 2. 下列命题正确的个数为 ( ) 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 , 则这两个平面重合 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：选 不正确 ; 两条平行线可以确定一个平面 , 正确 ; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 , 正确 ; 命题 中没有说清三个点是否共线 , 不正确 . 3. 在正方体 异面直线 1_. 答案： 45 4 . 已知空间四边形 , M 、 N 分别为 中点 , 则下列判断： 12( ; 12( ; 12( ; 12( . 其中正确的是_ _ _ _ _ _ _ _ . 解析：如图 , 取 中点 O , 连接 则 12 12 在 M , 12( , 正确 . 答案： 考点 1 平面的基本性质 考点探究讲练互动 考点突破 如图 , 空间四边形 E、 B、 G、 C、 且 1 2. 例 1 (1)求证： E、 F、 G、 (2)设 , 求证： P、 A、 【证明】 ( 1 ) E 、 F 分别为 中点 , 在 , 2, E 、 F 、 G 、 H 四点共面 . ( 2 ) P , P 平面 P 平面 同理 P 平面 A P 为平面 平面 A 公共点 . 又平面 平面 A P P 、 A 、 C 三点共线 . 【 题后感悟 】 (1)证明四点共面的基本思路有：一是直接证明 , 即利用公理或推论来直接证明 ; 二是先由其中不共线的三点确定一个平面 , 再证第四个点也在这个平面内即可 . (2)要证明点共线或线共点的问题 , 关键是转化为证明点在直线上 , 也就是利用公理 3, 即证点在两个平面的交线上 . 或者选择其中两点确定一直线 , 然后证明另一点也在直线上 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 如图 , 正方体 P、 Q、 B、 那 么 , 正方体的过 P、 Q、 ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【解析】 延长 别交 , 交 , 取 , 连接 连接 , 连接 , 连接则六边形 、 Q、 【 答案 】 D 变式训练 1. 如图 , 空间四边形 E、 F、 且满足 2 1, 3 1, 过 E、 F、 . (1)求 (2)求证： 解： ( 1 ) 2 , 平面 而 平面 E F 平面 E F 平面 3. 3 1. ( 2 ) 证明： 且3, 4, E F 梯形 . 令 P , 则 P 而 平面 又 P 平面 平面 平面 P 线共点 . 例 2 考点 2 空间两直线的位置关系 设 A, B, C, 在下列命题中 , 不正确的是 _. (填序号 ) 若 则 若 则 若 则 若 则 【 解析 】 对于 , 显然正确 . 对于 , 假设 由 正确得 这与题设矛盾 , 故假设不成立 , 从而结论正确 , 对于 , 如图 , 当 使二面角 A的大小变化时 , 故不正确 . 对于 , 如图 , 取 , 连接 则由题设得 根据线面垂直的判定定理得 平面 从而 【 答案 】 【 题后感悟 】 空间中直线位置关系的判定 . 主要是异面和垂直的判定 . 对于异面直线 , 可采用定理或反证法 , 对于垂直关系 , 往往利用线面垂直的性质说明 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 在正方体 连接 , 连接 , 连接 求证：直线 面 且直线 直线【证明】 已知 E 是 中点 , 在正方体中 , 有 A 平面 E 平面 所以 平面 又因为 F , 所以 F 从而 F 平面 同理 G 平面 所以 平面 因为 12 故在 , 同理 同理 又因为在正方形 所以 所以四边形 C F 平行四边形 . 所以 又因为 所以直线 直线 变式训练 2. 如图 , 正方体 M、 1 有以下四个结论： 直线 直线 直线 直线 其中正确的结论为 _(注：把你认为正确的结论的序号都填上 ). 解析：直线 直线 故 错误 . 答案： 例 3 考点 3 异面直线所成的角 (2010高考大纲全国卷 )直三棱柱 若 90 , 则异面直线 ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【 解析 】 如图 , 可补成一个正方体 , 又易知 60 . 0 的角 . 【 答案 】 C 【 题后感悟 】 求异面直线所成的角 , 关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交 , 或将两条直线同时平移到某个位置 , 使其相交 . 平移直线的方法有： (1)直接平移 ; (2)中位线平移 ; (3)补形平移 . 求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线 , 得到相交直线 ; (2)证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角 ; (3)求：通过解三角形 , 求出该角 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 如图 , 在四棱锥 O 底面的正方形 , 底面 2, (1)求四棱锥 O (2)求异面直线 【解】 ( 1 ) 由已知可求得 , 正方形 面积 S 4 , 所以 , 四棱锥 O 体积 V 13 4 2 83. ( 2 ) 连接 设线段 中点为 E , 连接 则 E M D 为异面直线 成的角 ( 或其补角 ) , 由已知 , 可得 2 , 3 , 5 , ( 2 )2 ( 3 )2 ( 5 )2, 为直角三角形 , t a n E M D 363. 变式训练 3. (2012宁波月考 )正方体 . (1)求 1 (2)若 E、 B、 求 解： (1)如图所示 , 连接 由 1 易知 从而 1 60 . 即 0 . (2)如图所示 , 连接 在正方体 1 E、 B、 10 . 方法感悟 方法技巧 1. 主要题型的解题方法 (1)要证明 “线共面 ”或 “点共面 ”可先由部分直线或点确定一个平面 , 再证其余直线或点也在这个平面内 (即 “纳入法 ”). (2)要证明 “点共线 ”可将线看作两个平面的交线 , 只要证明这些点都是这两个平面的公共 点 , 根据公理 3可知这些点在交线上 , 因此共线 2. 判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 的连线和平面内不经过该点 )反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面 , 从而可得两线异面 . 失误防范 1 . 正确理解异面直线的定义 , 是 “ 不同在任何一个平面内的两条直线 ” , 而不能理解成“ 不在同一个平面内的两条直线 ” . 2 . 异面直线所成的角的范围是0 ，2, 把异面直线所成的角转化成相交直线的夹角 , 并放到三角形中求解 , 如果所求的角为钝角 , 要通过求补角转化到0 ， 2范围内 . 命题预测 从近几年的高考试题看 , 考查的内容大多涉及异面直线的定义 , 异面直线所成的角 , 线线、线面、面面的位置关系的基本判定 , 主要是选择题、填空题的形式 , 难度为中、低档 . 题目虽小 , 但综合性较强 . 考向瞭望把脉高考 预测 2013年的高考中仍将以异面直线 , 线、面之间的平行与垂直的简单判定为重点 , 考查对概念的理解和空间想象能力 . 例 典例透析 (2011高考四川卷 ) 则下列命题正确的是 ( ) A. l3. l3. l3D. 【 解析 】 当 故 l3故 当 如三棱柱的三条侧棱 , 故 如正方体中从同一顶点出发的三条棱 , 故 【 答案 】 B 【 得分技巧 】 把 可验证答案 . 【 失分溯源 】 此题为容易题 , 答案易错选为, 究其原因是思维形式仍在平面几何中 . 第 4课时 空间中的平行关系 教材回扣夯实双基 基础梳理 1. 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 判定 性质 定义 定理 条件 _ _ _ _ _ _ _ _ 结论 a b a _ _ a a, b, a b a a , a, b a b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 判定 性质 定义 定理 条件 _ _ _ _ _ _ _ _ , a 结论 a b a a,b, a b P, a , b , a, b 思考探究 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 , 那么这两个平面一定平行吗？ 提示： 不一定 . 如果这无数条直线互相平行 , 则这两个平面就不一定平行 . 课前热身 1. 已知 m、 n、 、 表示平面 . 若 m, n, , , M, 则 的一个充分条件是 ( ) A. m 且 B. m 且 n C. m 且 n D. m n 析：选 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行 , 那么这两个平面平行 ”可得 , 由选项 , 因此选 D. 2. 下列命题中 , 错误的是 ( ) A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行 , 则这两个平面平行 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行 , 则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行 , 则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 解析：选 A、 B、 对于 C, 位于两个平行平面内的直线也可能异面 . 3. 在正方体的各面中 , 和其中一条棱平行的平面有 _个 . 解析：借助正方体的直观图易知 , 在正方体的六个面中 , 和其中一条棱平行的平面有两个 . 答案： 2 4. 过三棱柱 1C、 、 F、 G、 答案： 析：如图所示 , 连接各中点后 , 面 1 考点 1 直线与平面平行的判定与性质 考点探究讲练互动 考点突破 如图所示 , 已知 且 例 1 D、 E、 C、 试判断 并给予证明 . 【 解 】 平面 证明如下： 连接 , 连接 如图所示 . 在 且 又 面 面 平面 【 题后感悟 】 由直线与平面平行 , 要在该平面内找到直线的平行线 , 可通过作辅助平面完成 , 而直线与平面平行的性质定理则是作辅助平面的重要理论依据 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 如图 , 在四棱锥 P 底面 60 , 2, 1, 平面 求证： 平面 【证明】 取 点为 M , 连接 E 是 中点 , P C D 的中位线 , 12 F 是 点且四边形 菱形 , 四边形 M E B F 是平行四边形 , 平面 P 平面 P 平面 P 变式训练 1. 如图所示 , 在空间四边形 截面 试证： 平面 平面 证明： 截面 根据直线与平面平行的判定定理知 , 平面 又 面 平面 平面 根据直线与平面平行的性质定理知 , 又 面 面 因此 , 平面 同理 , 平面 例 2 考点 2 平面与平面平行的判定与性质 如图 , 在三棱柱 E, F, G, B, 求证： (1)B, C, H, (2)平面 平面 【 证明 】 (1) 又 B, C, H, (2) E、 B、 面 面 平面 B, 四边形 面 面 平面 E, 平面 平面 【 题后感悟 】 证明面面平行的常用方法：(1)面面平行的判定定理 , (2)两个平面垂直于同一条直线 , 则这两个平面平行 , (3)两个平面同时与第三个平面平行 , 则这两个平面平行 . 例 备选例题 (教师用书独具 ) 平面 内有 5, 8, 7, 梯形 E 2, 过 1的平面 , 若 分别交 1、 求 【解】 , A 1 B 1 B 1 C 1 又因 A 1 B 1 C 1 与 向 . A 1 B 1 C 1 又 c o s 52 82 722 5 812, 6 0 A 1 B 1 C 1 . 又 B 的中点 , 中位线 , 252, 同理知 C 中位线 , 2( 5. 则 S 21C1s i n 6 0 12 52 5 2583 . 故 变式训练 2. 如图所示 , 三棱柱 且 平面 1 求证：平面 平面 证明：连接 , 四边形 1 连接 平面 平面 平面 1 又 1 四边形 又 面 面 平面 又 B, 平面 平面 例 3 考点 3 线面、面面平行的综合应用 如图 , 在四棱锥 P , 12 试在线段 找一点 M , 使 平面 P A D , 并说明理由 . 【解】 当 M 为 中点时 , 平面 P A D . 法一：取 中点 F , 连接 则 12 12 四边形 C 为平行四边形 , 平面 P A D , 平面 P A D , 平面 P A D . 法二：取 中点 E , 连接 在四边形 , 12 E 为 中点 , 四边形 平行四边形 . 平面 P A D , 平面 P A D , 平面 P A D . 同理 , 根据 E , M 分别为 中点 , 得 平面 P A D . 平面 平面 E , 平面 平面 P A D . 平面 平面 P A D . 【 题后感悟 】 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化 , 解决平行关系的判定时 , 一般遵循从 “ 低维 ” 到 “ 高维 ” 的转化 , 即从“ 线线平行 ” 到 “ 线面平行 ” , 再到 “ 面面平行 ” ; 而应用性质定理时 , 其顺序正好相反 ; 但也要注意 , 其转化的方向 , 要看题目的具体条件而定 , 不可过于模式化 . 变式训练 3. 如图 , 四棱锥 P 平面 底面 4, 2, (1)求三棱锥 A (2), 使得 平面存在 , 求出 若不存在 , 请说明理由 . 解： (1)因为 平面 所以 又因 所以 因 D , 所以 平面 P C D , 所以 三棱锥 A P 高 . 因为 E 为 中点 , 且 4 , 所以 S P D E 12S P D C 12 (12 4 4) 4. 又 2 , 所以 V A P D E 13S P D E 13 2 4 83. ( 2 ) 取 点 M , 连接 因为 E 为 M 是 中点 , 所以 又因为 平面 E 平面 E 所以 平面 E 所以 12 5 . 即在 上存在一点 M , 使得 平面E 长为 5 . 方法感悟 方法技巧 转化思想的体现 平行问题的转化方向如图所示： 具体方法如下： (1)证明线线平行：平面几何有关定理 ; 公理 4; 线面平行的性质定理 ; 面面平行的性质定理 ; 线面垂直的性质定理 . (2)证明线面平行：线面平行的定义 ; 线面平行的判定定理 ; 面面平行的性质定理 . (3)证明面面平行：面面平行的定义 ; 面面平行的判定定理 . 失误防范 使用有关平行的判定定理或性质定理必须具备相应的条件 , 例如直线和平面平行的判定定理具备三个条件： (1)直线 外 ; (2)直线 内 ; (3)两直线 a, 行 , 这三个条件缺一不可 . 两平面平行的判定定理 “如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 , 那么这两个平面平行 ”, 必须注意 “相交 ”的条件 , 否则 , 推不出两平面平行 . 命题预测 从近几年的高考试题来看 , 直线与平面平行的判定 , 以及平面与平面平行的判定是高考的热点 , 题型既有选择题、填空题 , 也有解答题 , 难度为中档偏高 ; 本节主要考查线面平行的判定 , 考查线 线 线 面 面 面的转化思想 , 考向瞭望把脉高考 并且考查学生的空间想象以及逻辑推理能力 . 预测 2013年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点 , 重点考查学生的空间想象和逻辑推理能力 . 例 典例透析 名师点评 层层剖析 第 5课时 空间中的垂直关系 基础梳理 教材回扣夯实双基 1 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线 内的 _直线都垂直 ， 则直线 垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直 ， 则该直线与此平面垂直 任意一条 相交 (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_ 2 二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 _所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 _的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平行 两个半平面 垂直于棱 3平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_的直线与另一个平面垂直 直二面角 垂线 垂直于交线 思考探究 垂直于同一平面的两平面是否平行 ？ 提示： 可能平行，也可能相交 4 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 当直线与平面垂直和平行 (含直线在平面内 )时，规定直线和平面所成的角分别为_. 90 和 0 课前热身 1将图 1中的等腰直角三角形 图 2),则在空间四面体 ) A 相交且垂直 B 相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 解析：选 C. 在图 1 中的等腰直角三角形 边上的中线 是斜边上的高，则 翻折后如图 2 ， 成异面直线，而原线段 成两条线段 这两条线段与 直，即 故 平面 所以 2设 a， b， ， 是两个不同的平面，则 a ( ) A a c， b c B ， a， b C a ， b D a ， b 解析：选 ，在平面 内作 c b,因为 a ，所以 a c，故 a b； A， 中 ,直线 a， 可能是异面直线； a . 3一平面垂直于另一平面的一条平行线 ,则这两个平面的位置关系是 _ 解析：由线面平行的性质定理知 ， 该面必有一直线与已知直线平行 ， 再根据 “ 两平行线中一条垂直于一平面 ， 另一条也垂直于该平面 ” 得出结论 答案：垂直相交 4 90 ， 平面图中直角三角形的个数是 _ 答案： 4 考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 考点探究讲练互动 考点突破 例 1 ( 2 0 1 1 高考辽宁卷 ) 如图，四边形 A B C 平面 A B C D ， 12 (1)证明： 平面 (2)求棱锥 Q 【 解 】 (1)证明：由条件知四边形 因为 平面 面 所以平面 平面 交线为 又四边形 D， 所以 平面 得 在直角梯形 Q 中可得 22则 又 D ，所以 平面 D C Q . ( 2 ) 设 a . 由题设知 棱锥 Q A B C D 的高， 所以棱锥 Q A B C D 的体积 3 由 ( 1 ) 知 棱锥 P D C Q 的高， 而 2 a ， D C Q 的面积为22 所以棱锥 P D C Q 的体积 3 故棱锥 Q A B C D 的体积与棱锥 P D C Q 的体积的比值为 1. 【 题后感悟 】 证线面垂直的方法： (1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任意一直线，则这条直线垂直于该平面 ; (2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直； (3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面， 则另一条也必垂直于这个平面； (4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面； (5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面 备选例题 (教师用书独具 ) 例 如图所示，正方形 A B 直角梯形 F 所在平面互相垂直， 90 ， 2 2. 求证： (1)平面 (2)平面 【 证明 】 (1)因为平面 平面 90 ， 所以 平面 所以 因为 以 又 D ， 所以 平面 B D E . ( 2 ) 设 O ，取 中点 G ，连接 所以 12 因为 2 所以 从而四 边形 A F G O 是平行四边形， 因为 平面 B E F ， 平面 B E F ， 所以 平面 B E F ，即 平面 B E F . 变式训练 1如图，已知三棱锥 A C 证： (1)平面 (2)平面 证明： (1) D平面 面 平面 ( 2 ) 为正三角形， D 为 中点， P B. 又由 ( 1 ) 知 又已知 P ， 平面 ， 而 A ， 平面 A 考点 2 平面与平面垂直的判定与性质 (2011高考江苏卷 )如图，在四棱锥P 面 平面 D， 60 ， E， P， 证： 例 2 (1)直线 平面 (2)平面 平面 【 证明 】 (1)在 因为 E， P， 中点，所以 又因为 面 面 所以直线 平面 (2)连接 B 60 ,所以 因为 以 因为平面 平面 面面 平面 以平面 又因为 面 以平面 平面【 题后感悟 】 证明两个平面垂直，一般要转化成线面垂直，即证其中一个平面经过另一平面的一条垂线可以先找到其中一个平面的一条垂线，再说明这条垂线在另一平面内或与另一平面的一条垂线平行 备选例题 (教师用书独具 ) 如图，在直三棱柱 3， 2， 例 (1)求证： 平面 (2)求证：平面 平面 (3)求三棱锥 A 【 解 】 (1)证明：设 1,连接 在 又 面 面 平面 ( 2 ) 证明：在 ， 平面 A B C ， 又 A ， 平面 A C 平面 平面 平面 A C ( 3 ) 在 A B C 中， 32 122 2 ， S 2 12 1 2 2 2 ， 又 平面 A B C ，且 3 ， D 13 S 3 2 3 2 ， 1 D 2 . 变式训练 2如图，四棱锥 P 0 ,而 面 1， 2. (1)求证：面 面 (2)求四棱锥 P 解： (1)证明： 面 面 面 又 面 D D， 面 又 面 面 ( 2 ) 取 中点 O ，连接 面 P A D 面 A B C D 及 P A D 为等腰直角三角形， 面 A B C D ， 即 四棱锥 P A B C D 的高 2 ， 1. 四棱锥 P A B C D 的体积 V 13 23. 考点 3 线面垂直的综合应用 如图，四棱锥 P 底面 60 的菱形 , 侧面 其所在平面垂直于底面 例 3 (1)求证： (2)若 否在棱 ，使平面 平面 证明你的结论 【 解 】 (1)证明：如图 ，
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