（典型题）2014高考数学二轮复习 知识点总结（打包17套）
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（典型题）2014高考数学二轮复习 知识点总结（打包17套）,典型,高考,数学,二轮,复习,温习,知识点,总结,打包,17
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1 三角函数的图象与性质 图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇 型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档 1 三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，则 y， x， 全正，二正弦，三正切，四余弦 (2)同角关系： 1， . (3)诱导公式：在 ， k Z 的诱导公式中 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 2 三角函数的图象及常用性质 函数 y x y x y x 单调性 在 2 2 2 2 k Z) 上单调递增；在 2 2 32 2 k Z)上单调递减 在 2 2 k Z)上单调递增；在 2 2 k Z)上单调递减 在 ( 2 2 k Z) 上单调递增 对称性 对 称 中 心 ： (0)(k Z)；对称轴： x 2 k Z) 对称中心： ( 2 0)(k Z)；对称轴： x k Z) 对称中心： (0)(k Z) 3 三角函数的两种常见变换 考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例 1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐 标系，设秒针针尖位置 P(x， y)若初始位置为 32 ， 12 ，当秒针 从 时 t 0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的 2 函 数关系为 ( ) A y 30t 6 B y 60t 6 C y 30t 6 D y 30t 3 (2)已知点 P 4 ， 4 落在角 的终边上，且 0,2) ，则 的值为( ) 弄清三角函数的概念是解答本题的关键 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点 6 ，由于秒针每秒转过的弧度为 30，针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1，故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可 能为 y 30t 6 . (2) 44 4 4 1， 又 4 0， 4 0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据 “ 五点法 ” 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位 长度和方向 (1)(2013 四川 )函数 f(x) 2x )( 0， 20)的最小正周期为 . 求 的值； 讨论 f(x)在区间 0， 2 上的单调性 解 f(x) 4 x x 4 2 2 x x 2 2x 2( x x) 2 2 2x 4 2. 因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0. 从而有 22 ，故 1. 由 知， f(x) 2 2x 4 2. 若 0 x 2 ， 则 4 2 x 4 54 . 当 4 2 x 4 2 ， 即 0 x 8 时， f(x)单调递增； 当 2 2 x 4 54 ， 即 8 x 2 时， f(x)单调递减 综上可知， f(x)在区间 0， 8 上单调递增， 在区间 8 ， 2 上单调递减 8 1求函数 y x )(或 y x )，或 y x )的单调区间 (1)将 化为正 (2)将 x 看成一个整体，由三角函数的单调性求解 2 已知函数 y x ) B(A0， 0)的图象求解析式 (1)A B (2)由函数的周期 T 求 ， 2T . (3)利用与 “ 五点法 ” 中相对应的特殊点求 . 3 函数 y x )的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 4 求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y x ) B 的形式，进而结合三角函数的性质求解 (2)将三角函数式化为关于 x， x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解 5 特别提醒： 进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身 . 1 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “ 互为生成函数 ” 给出下列函数： f(x) x x； f(x) 2(x x)； f(x) 2x 2； f(x) x. 则其中属于 “ 互为生成函数 ” 的是 ( ) A B C D 答案 B 2 已知函数 f(x) x x 3 32 ( 0)，直线 x x yf(x)图象的任意两条对称轴，且 |最小值为 4. (1)求 f(x)的表达式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 8 个单位后，再将得到的图象上各点 的横坐标伸长为原 9 来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x) k 0 在区间 0， 2上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围 解 (1)f(x) 12x 3 1 32 12x 32 x x 3)， 由题意知，最小正周期 T 2 4 2 ， T 22 2 ，所以 2， f(x) 4x 3 . (2)将 f(x)的图象向右平移 8 个单位后， 得到 y x 6)的图象， 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变，得到 y x 6)的图象 所以 g(x) x 6) 令 2x 6 t， 0 x 2 ， 6 t 56 . g(x) k 0 在区间 0， 2上有且只有一个实数解， 即函数 g(t) t 与 y k 在区间 6 ， 56 上有且只有一个交点 如图， 由正弦函数的图象可知 12 且 为第二象限角， 所以 2 20， 0， | |0)的图象关于直线 x 3 对称，且 f 12 0，则 的最小值为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案 A 解析 由 f 12 0 知 12， 0 是 f(x)图象的一个对称中心，又 x 3 是一条对称轴，所以应有 02 4 3 12， 解得 2 ，即 的最小值为 2，故选 A. 6 (2013 江西 )如图，已知 心在 径为 1 m 的圆 O在 t 0 时与 ，圆 O 沿 m/s 的速度匀速向上移动，圆 被直线 截上方圆弧长记为 x，令 y x，则 y 与时间t(0 t1 ， 单位： s)的函数 y f(t)的图象大致为 ( ) 答案 B 解析 方法一 (排除法 ) 当 t 0 时， y 1，否定 A、 D. 当 t 12时， 3. y 3 12. 否定 C，只能选 B. 方法二 (直接法 ) 由题意知 x， 1 t， 13 1 t， y x 21 2(1 t)2 1(0 t1) 选 B. 二、填空题 7 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4， y)是角 终边上一点，且 2 55 ，则 y _. 答案 8 解析 因为 2 55 ， 所以 且 y f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4. (1)求 的值； (2)求 f(x)在区间 ， 32 上的最大值和 最小值 解 (1)f(x) 32 3 x x 32 3 1 12x 32 x 12x 2x 3 . 15 依题意知 22 4 4 ， 0，所以 1. (2)由 (1)知 f(x) 2x 3 . 当 x 32 时， 53 2 x 3 83 . 所 以 32 2x 3 1. 所以 1 f(x) 32 . 故 f(x)在区间 ， 32 上的最大值和最小值分别为 32 ， 1. 12 (2012 湖南 )已知函数 f(x) x ) x R， 0， 0 2 的部分图象如图所示 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x) f x 12 f x 12 的单调递增区间 解 (1)由题设图象知，周期 T 2 1112 512 ， 所以 2T 2. 因为点 512 ， 0 在函数图象上， 所以 2 512 0， 即 56 0. 又因为 0 2 ，所以 56 56 43 . 从而 56 ，即 6. 又点 (0,1)在函数图象上，所以 6 1，解得 A 2. 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 2 2x 6 . (2)g(x) 2 2 x 12 6 2 2 x 12 6 16 2x 2 2x 3 2x 2 12x 32 x x 3x 2 2x 3 . 由 2 2 2 x 3 2 2 ， k Z， 得 12 x 512 ， k Z. 所以函数 g(x)的单调递增区 间是 12， 512 ， k Z. 1 不等式及线性规划 1 四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 c0(a0) ，再求相应一元二次方程 c 0(a0) 的根，最后根据相应二次函数图象与 定一元二次不等式的解集 (2)简单分式不等式的解法 变形 f xg x 0(0(1 时， af(x)ag(x)f(x)g(x)； 当 0ag(x)f(x)1 时， x)x)f(x)g(x)且 f(x)0， g(x)0； 当 0x)f(x)0， g(x)0. 2 五个重要不等式 (1)|a|0 ， ( a R) (2) ab(a、 b R) (3)a ab(a0， b0) (4) a 2(a， b R) (5) a b(a0， b0) 3 二元一次不等式 (组 )和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等 (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤： 画出可行域； 根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； 求出目标函数的最大值或者最小值 4 两个 常用结论 (1)c0(a0) 恒成立的条件是 a0， 0.若 p q 为真命题，则实数m 的取值范围是 ( ) A ( ， 2) B 2,0) C ( 2,0) D 0,2 (2)设命题 p： x|02 x 11 ，命题 q： x|(2k 1)x k(k 1)0 ，若 p 是 条件，则实数 k 的取值范围是 _ 答案 (1)C (2) 0， 12 解析 (1)p q 为真命题，等价于 p， q 均为真命题命题 p 为真时， y0，由 x 3y 5 15 1y 3x 1. 3 x 4y 15(3x 4y) 1y 3x 15 3 4 9 12 135 15 3 12 135 152 3 12 5(当且仅当 x 2y 时取等号 )， 3 x 4y 的最小值为 5. (2)方法一 4 1， (2 x y)2 31，即 (2x y)2 322 1， (2 x y)2 32 2x 1 ，解之得 (2x y)2 85， 即 2x y 2 105 . 等号当且仅当 2x y0，即 x 1010 ， y 105 时成立 方法二 令 t 2x y，则 y t 2x，代入 41， 得 631 0，由于 x 是实数 ， 故 924(1)0 ，解得 85， 4 即 2 105 t 2 105 ，即 t 的最大值也就是 2x y 的最大值为 2 105 . 方法三 化已知 41 为 2x 14y 2 154 y 2 1，令 2x 14y ， 154 y ，则 34y 155 ，则 2x y 2x 14y 34y 155 2 105 ) 2 105 . 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”( 即条件要求中字母为正数 )、 “ 定 ”( 不等式的另一边必须为定值 )、 “ 等 ”( 等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误解题时应根据已知条件适当进行添(拆 )项，创造应用基本不等式的条件 (1)已知关于 x 的不等式 2x 2x a7 在 x( a， ) 上恒成立，则实数 a 的最小值为( ) A 1 C 2 案 B 解析 2x 2x a 2(x a) 2x a 2a2 x a 2x a 2a 4 2a， 由题意可知 4 2a7 ，得 a 32，即实数 a 的最小值为 32，故选 B. (2)(2013 山东 )设正实数 x， y， z 满足 34z x 2y z 的最大值为 ( ) A 0 2 案 C 解析 由题意知： z 34 则 34 31 ，当且仅当 x 2y 时取等号，此时 z 2所以 x 2y z 2y 2y 2 24y 2(y 1)2 22. 所以当 y 1 时， x 2y z 取最大值 2. 考点三 简单的线性规划问题 5 例 3 (2013 湖北 )某旅行社租用 A、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元 /辆和 2 400 元 /辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为 ( ) A 31 200 元 B 36 000 元 C 36 800 元 D 38 400 元 答案 C 解析 设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为 z 元 则 z 1 600x 2 400y x、 y 满足 x y21y x736x 60y900 ，x， y0 ， x、 y 直线 y 23x 00过点 A(5,12)时纵截距最小， 51 600 2 40012 36 800， 故租金最少为 36 800 元 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围 (2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解 (3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数 (1)(2013 山东 )在平面直角坐标系 ， M 为不等 式组 2x y 20 ，x 2y 10 ，3x y 80所表示的区域上一动点，则直线 率的最小值为 ( ) A 2 B 1 C 13 D 12 (2)(2013 北京 )设关于 x、 y 的不等式组 2x y 10，x 满足 22，求得 m 的取值范围是 ( ) A. ， 43 B. ， 13 6 C. ， 23 D. ， 53 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由 x 2y 1 0，3x y 8 0 得 A(3， 1) 此时线 斜率最小，且为 13. (2)当 m0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点 P(足 22，因此 0 直线 C 0 上方 直线 C 0 下方 且 t0， 因此有 t2，故 2lg x(x0) B x 1x2( x k Z) C 12| x|(x R) D. 111(x R) 答案 C 解析 应用基本不等式： x， y R ， x 且仅当 x y 时取等号 )逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件 当 x0 时， 142 x 12 x， 所以 14 lg x(x0)，故选项 A 不正确； 运用基本 不等式时需保证一正二定三相等， 而当 x k Z 时， x 的正负不定，故选项 B 不正确； 由基本不等式可知，选项 C 正确； 当 x 0 时，有 11 1，故选项 D 不正确 2 设 ab1， b c) 其中所有的正确结论的序号是 ( ) A B C D 9 答案 D 解析 由不等式的基本性质可知 对； 幂函数 y xc(，所以 对； 由对数函数的单调性可得 a c)b c)， 又由对数的换底公式可知 b c)b c)， 所以 a c)b c)，故选项 D 正确 3 设 A x|2x 30， B x|b0 ，若 A B R， A B (3,4，则 a ( ) A 7 B 1 C 1 D 7 答案 D 解析 依题意， A ( ， 1)(3 ， ) ， 又因为 A B R， A B (3,4，则 B 1,4 所以 a ( 1 4) 3， b 14 4， 于是 a b . 4 (2012 陕西 )小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(x， y 满足约束条件 x1 ，x y3 ，y a x ，若 z 2x ，则 a 等于 ( ) 10 C 1 D 2 答案 B 解析 作出不等式组表示的可行域，如图 (阴影部分 ) 易知直线 z 2x y 过交点 A 时， z 取最小值， 由 x 1，y a x ， 得 x 1，y 2a， 2 2a 1， 解得 a 12，故选 B. 6 已知变量 x， y 满足约束条件 x 2y 30 ，x 3y 30 ，y 10 ，若目标函数 z y 在点 ( 3,0)处取到最大值，则实数 a 的取值范围为 ( ) A (3,5) B. 12， C ( 1,2) D. 13， 1 答案 B 解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线 y 0，要使目标函数 z y 在点 ( 3,0)处取到 最大值 (即直线 z y 当经过该平面区域内的点 ( 3,0)时， 在 y 轴上的截距达到最大 )， 结合图形可知 a12. 二、填空题 7 已知 p： x 1x 0 ， q： 4x 2x m0 ，若 p是 实数 _ 答案 6， ) 解析 由 p 得： 00， a1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 1 0 ()上，则 1m 1_ 答案 4 解析 定点 A(1,1)，又 A 在 1 0 上， m n 1. 1m 1n (m n) 1m 1n 2 . 当且仅当 m n 12时取等号 9 已知实数 x， y 满足 y0 ，y x 10 ，y 2x 40 ，若 z y 得最大值时的最优解 (x， y)有无数个，则 a 的值为 _ 答案 1 解析 依题意 ，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示 要使 z y 得最大值时的最优解 (x， y)有无数个， 则直线 z y 平行于直线 y x 1 0，于是有 a 1. 10 (2013 浙江 )设 z y，其中实数 x， y 满足 x y 20 ，x 2y 40 ，2x y 40.若 z 的最大值为12，则实数 k _. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示： 由图可知当 0 (2)当 a0 时，原不等式可化为 a(x 1) x 1a 0， 又因为 1 上式即为 (x 1) x 1a 1 时， 原不等式的解 集为 x|1 01 ； 当 a 0 时，原不等式的解集为 x|x1； 当 01 时，原不等式的解集为 x|1 (2)若 z a 2b，求 z 的取值范围 (1)证明 求函数 f(x)的导数 f( x) 22 b. 由函数 f(x)在 x 在 x f( x) 0 的两个根， 所以 f( x) a(x x 当 x (2)解 在题设下， 00，a 2b 2 简得 2 b0，a 3b 的三条直线： 2 b 0， a 3b 2 0,4a 5b 2 0 所围成的 内部，其三个顶点分别为：A 47， 67 ， B(2,2)， C(4,2) z 在这三点的值依次为 167 ， 6,8. 14 所以 z 的取值范围为 (167 ， 8) 1 函数、基本初等函数的图象与性质 数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下 数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大 1 函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和 对应关系相同的两个函数是同一函数 2 函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循 “ 同增异减 ” 的原则 (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性 (3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足 f(a x) f(x)(a 不等于 0)，则其一个周期 T |a|. 3 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y ax(a0， a1) 与对数函数 y a0， a1) 的图象和性质，分 01 两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质 (2)幂函数 y 图象和性质，分幂指数 0， 0 且 a1 ， b0 且 b1 ， M0， N0) 提醒： a(M N)， a(M N) 5 与周期函数有关的结论 (1)若 f(x a) f(x b)(a b)，则 f(x)是周期函数，其中一个周期是 T |a b|. (2)若 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期函数，其中一个周期是 T 2a. 2 (3)若 f(x a) 1f x 或 f(x a) 1f x ，则 f(x)是周 期函数，其中一个周期是 T 2a. 提醒：若 f(x a) f( x b)(a b)，则函数 f(x)关于直线 x a 称 . 考点一 函数及其表示 例 1 (1)若函数 y f(x)的定义域是 0,2，则函数 g(x) f x 的定义域是 ( ) A 0,1 B 0,1) C 0,1) (1,4 D (0,1) 答案 D 解析 由函数 y f(x)的定义域是 0,2得，函数 g(x)有意义的条件为 02 x2 且 x0，x1 ，故 x(0,1) (2)已知函数 f(x) x02x， x0 ，则 f(f(19)等于 ( ) A 4 4 D 14 答案 B 解析 因为 190，所以 f(19) 2， 故 f( 2) 2 2 14. (1)求函数定义域的类型和相应方法 若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式 (组 )即可，函数 f(g(x)的定义域应由不等式 a g(x) b 解出 实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义 (2)求函数值时应注意 形如 f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值 (解不等式 )问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解 (1)若函数 f(x) 2x， x4 ，f x ， ， f(x) a，若 f(x)在 R 上是单调函数，则实数 a 的最小值是 _ 答案 (1)C (2) 1 解析 (1)由题 意知 a0，又 1 f(x)是 R 上的偶函数， f( f( f( f( f(2 f(1)， 2 f(2 f(1)，即 f( f(1) 又因 f(x)在 0， ) 上递增 |a|1 ， 1a1 ， a 12， 2 ，选 C. (2)依题意得 f(0) 0.当 x0 时， f(x)a a 1. 若函数 f(x)在 R 上是单调函数，则有 a 10 ， a 1， 5 因此实数 a 的最小值是 1. 考点三 函数的图象 例 3 (1)(2013 北京 )函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y y 轴对称，则 f(x)等于 ( ) A 1 B 1 C e x 1 D e x 1 (2)形如 y b|x| a(a0， b0)的函数，因其图象类似于汉字中的 “ 囧 ” 字，故我们把它称为 “ 囧函数 ” 若当 a 1， b 1 时的 “ 囧函数 ” 与函数 y lg|x|图象的交点个数为 n，则 n _. 答案 (1)D (2)4 解析 (1)与 y y 轴对称的函数为 y e f(x)图象向右平移一个单位，得 y e f(x)的图象由 y e f(x) e (x 1) e x 1. (2)由题意知，当 a 1， b 1 时， y 1|x| 1 1x 1 x0 且 x ， 1x 1 若 |f(x)| a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B ( ， 1 C 2,1 D 2,0 答案 (1)D (2)C (3)D 解析 (1)若点 (m， n)在函数 y x 的图象上， 则 n m，所以 n ( m)， 可知点 ( m， n)在函数 y x)的图象上， 而点 (m， n)与点 ( m， n)关于原点对称， 所以函数 y x 与 y x)的图象关于原点对称 (2)方法一 由于 x| x x|x ， 所以函数 y x|x 是奇函数，其图象关于原点对称 当 x0 时，对函数求导可知，函数图象先增后减，结合选项知选 C. 方法二 01 时， 根据 y y x 的变化快慢知 x 时， y0 且 y0. 故选 C. (3)函数 y |f(x)|的图象如图 当 a 0 时， |f(x)| 然成立 当 a0 时，只需在 x0 时， ln(x 1) 立 比较对数函数与一次函数 y 增长速度 显然不存在 a0 使 ln(x 1) x0 上恒成立 当 a0， x ， a)，则实数 a 的取值范围是( ) A ( 1,0)(0,1) B ( ， 1)(1 ， ) C ( 1,0)(1 ， ) D ( ， 1)(0,1) (2)已知 a b c 15 有 ( ) A abc B bac C acb D cab 答案 (1)C (2)C 解析 (1)方法一 由题意作出 y f(x)的图象如图 显然当 a1 或 1f( a)故选 C. 方法二 对 a 分类 讨论： 当 a0 时， ， a1. 当 a)，即 a),0(15)即 acb. (1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力 (2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单 8 调性进行比较；二是采用中间值 0 或 1 等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较 (1)已知 f(x) g(x) a0 且 a1) ，若 f(3) g(3)0 且 a1 ， 所以 f(3) . 因为 f(3)g(3) ( ) A f( 时， f(x) lg x，则 f f 1100 的值等于 ( ) A. 1 B 1 C D 答案 D 解析 当 f( x) x) 又函数 f(x)为奇函数， f( x) f(x)， 所以当 xba B bca C acb D abc 答案 D 解析 设 a 1 1 1b 1 1 1c 1 1 1然 abc. 5 若函数 f(x) |x a| ， 0上为减函数，则实数 ) A a0 B a0 C a1 D a1 答案 A 解析 当 a 0 或者 a 1 时，显然，在区间 ( ， 0上为减函数，从而选 A. 12 6 设定义在 2,2上的偶函数 f(x)在区间 0,2上单调递减，若 f(1 m)|m|， 21 m2 ， 2 m2 ，解得 1 排除选项 B； 当 x 2 时， y 1，当 x 4 时， y 45， 但从选项 D 的函数图象可以看出函数在 (0， ) 上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项 . 13 8 已知直线 y 函数 f(x) 2 13 x， x0 ，121， x0的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( 3， 4) B ( 2， ) C ( 2， 5) D ( 3， 2 2) 答案 B 解析 作出函数 f(x) 2 13 x， x0 ，121， x0的图象，如图所示直线 y 图象是绕坐标原点旋转的动直线当斜率 m0 时，直线 y 函数 f(x)的图象只有一个公共点；当 m0 时，直线 y 终与 函数 y 2 13 x (x0) 的图象有一个公共点，故要使直线 y 函数 f(x)的图象有三个公共点，必须使直线 y 函数 y 121 (x0)的图象有两个公共点，即方程 121 在 x0 时有两个不相等的实数根，即方程 2 0 的判别式 4420 ，解得 m m 的取值范围是 ( 2， ) 二、填空题 9 设函数 f(x) x(x)(x R)是偶函数，则实数 a 的值为 _ 答案 1 解析 因为 f(x)是偶函数，所以恒有 f( x) f(x)，即 x(e x x(x)，化简得 x(e x a 1) x 都成立，所以 a 1. 10 (2012 安徽 )若函数 f(x) |2x a|的单调递增区间是 3， ) ，则 a _. 答案 6 解析 利用函数图象确定单调区间 f(x) |2x a| 2x a， x 2x a， xf f 成立的函数的序号是 _ 答案 解析 由题意知满足条件的图象形状为： 15 故符合图象形状的函数为 y y x. 14已知定义在 R 上的偶函数满足： f(x 4) f(x) f(2)，且当 x0,2 时， y f(x)单调递减，给出以下四个命题： f(2) 0； x 4 为函数 y f(x)图象的一条对称轴； 函数 y f(x)在 8,10上单调递增； 若方程 f(x) m 在 6， 2上的两根为 8. 则所有正确命题的序号为 _ 答案 解析 令 x 2，得 f(2) f( 2) f(2)， 又函数 f(x)是偶函数，故 f(2) 0； 根据 可得 f(x 4) f(x)，可得函数 f(x)的周期是 4， 由于偶函数 的图象关于 y 轴对称， 故 x 4 也是函数 y f(x)图象的一条对称轴； 根据函数的周期性可知，函数 f(x)在 8,10上单调递减， 不正确； 由于函数 f(x)的图象关于直线 x 4 对称， 故如果方程 f(x) m 在区间 6， 2上的两根为 4，即 8. 故正确命题的序号为 . 1 函数与方程及函数的应用 1 函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x)，我们把使 f(x) 0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点 (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x) f(x) g(x)的零点就是方程 f(x) g(x)的根，即函数 y f(x)的图象与函数 y g(x)的图象交点的横坐标 (3)零点存在性定理 如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)0， f(b) (b c)(b a)f(a) f(b)0 时，在同一个直角坐标系中分别作出 y ln x 和 y 2x (x 1)2 1 的图象，可知它们有两个交点；当 x0 时，作出 y 2x 1 的图象，可知它和 x 轴有一个交点综合知，函数 y f(x)有三个零点 (1)函数零点 (即方程的根 )的确定问题，常见的有 函数零点值大致存在区间的确定； 零点个数的确定； 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解 (2)提醒：函数的零点不是点，是方程 f(x) 0 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数 y f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标 (1)(2012 天津 )函数 f(x) 2x 2 在区间 (0,1)内的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 (2)已知函数 f(x) x b 的零点 n， n 1)(n Z)，其中常数 a、 b 满足 2a 3,3b 2，则 n _. 答案 (1)B (2) 1 解析 (1)先判断函数的单调性，再确 定零点 因为 f( x) 2 3， 所以函数 f(x) 2x 2 在 (0,1)上递增， 且 f(0) 1 0 2 10， 所以有 1 个零点 (2)f(x) x b 的零点 x b 的根 设 x b， 故 图， 当 x 1 时， 1a 若点对 (P， Q)是函数 f(x)的图象上的一个 “ 镜像点对 ” ， 则有 所以 x 的根 在同一个直角坐标系中画出函数 y y x 的图象，可知这两个图象共有3 个交点，即函数 f(x)的图象的 “ 镜像点对 ” 共有 3 对故选 C. 考点三 函数模型及其应用 例 3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指 数 f(x)与时刻 x(时 )的关系为 f(x) | 1 a| 2a 23， x0,24 ，其中 a 是与气象有关的参数，且 a0 ， 12，若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作 M(a) (1)令 t 1， x0,24 ，求 t 的取值范围； (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ (1)分 x 0 和 x 0 两种情况，当 x0 时变形 使用基本不等式 求解 (2)利用换元法把函数 f(x)转化成 g(t) |t a| 2a 23，再把函数 g(t)写成 分段函数后求 M(a) 解 (1)当 x 0 时， t 0； 当 04，当药剂在水中的浓度不低于 4(毫克 /升 )时称为有 效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 4(毫克 /升 )且不高于 10(毫克 /升 )时称为最佳净化 (1)如果投放的药剂质量为 m 4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为 m，为了使在 7 天 (从投放药剂算起包括 7 天 )之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值 解 (1)由题意，得当药剂质量 m 4 时， y x ，2x 28x 1 4 时 2x 28x 1 4 ，解得 44 时， y 3020，那么，函数 f(x)在区间 (a， b)内不一定没有零点 如果函数 f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数 f(x)在区间 (a，b)内有零点时不一定有 f(a) f(b)0. 2 函数综合题的求解往 往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决 3 应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言 建模数学语言 求解数学应用 反馈检验作答 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 1 已知函数 f(x) (13)x 数 a， b， c 满足 f(a) f(b) f(c)b 8 C 案 D 解析 函数 f(x) (13)x 其定义域 (0， ) 上是减函数， 0f(b)f(c) 又 f(a)f(b)f(c)0， f(b)0， f(c)0， f(b)0， f(c)c 不可能成立，故选 D. 2 若 f(x) 1 1f x ，当 x0,1 时， f(x) x，若在区间 ( 1,1内， g(x) f(x) m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A 0， 12) B 12， ) C 0， 13) D (0， 12 答案 D 解析 根据方程与函数关系 设 x( 1,0)，则 x 1(0,1) ， f(x) 1f x 1 1x 1 1， 画出 f(x)在 ( 1,1上的图象 (如 右 图 )， g(x) f(x) m 在 ( 1,1上有两个零点，即 f(x) m(x1)有 两个不同根， 即 y f(x)与 y m(x 1)有两个不同 交点 如 右 图，当过 ( 1,0)的直线处于 l 与 x 轴之间时， 满足题意，则 00， f(3) 131 13 230， 即 f(1) f(2)0，不成立，所以选 D. 3 函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (1,3) B (1,2) C (0,3) D (0,2) 答案 C 10 解析 因为 f( x) 2 2， 所以 f(x)是增函数，由条件可知
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