复数知识点归纳及习题

复复 数数 一知识网络图一知识网络图 二复数中的难点二复数中的难点 (1)(1)复数的向量表示法的运算复数的向量表示法的运算. .对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算 的几何意义的灵活掌握有一定的困难的几何意义的灵活掌握有一定的困难. .对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地 加以证明加以证明. . (2)(2)复数三角形式的乘方和开方复数三角形式的乘方和开方. .有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定 的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. . (3)(3)复数的辐角主值的求法复数的辐角主值的求法. . (4)(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题利用复数的几何意义灵活地解决问题. .复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都 具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. . 三复数中的重点三复数中的重点 (1)(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. . (2)(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角. .复复 数有代数，向量和三角三种表示法数有代数，向量和三角三种表示法. .特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐 角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. . (3)(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质. .复数的运复数的运 算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. . （4 4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法）复数集中一元二次方程和二项方程的解法. . 四基础知识四基础知识 1 1复数的定义：设复数的定义：设 i i 为方程为方程 x x2 2=-1=-1 的根，的根，i i 称为虚数单位，由称为虚数单位，由 i i 与实数进行加、减、乘、除与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如等运算。便产生形如 a+bia+bi（a,bRa,bR）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常 用用 C C 来表示。来表示。 (1)(1) z z= =a a+ +biRbiRb b=0=0 ( (a,bRa,bR) )z=z= z z2 200； z (2)(2) z z= =a a+ +bibi是虚数是虚数b b0(0(a a, ,bRbR) )； (3)(3) z z= =a+ba+bi i 是纯虚数是纯虚数a a=0=0 且且b b0(0(a,bRa,bR) )z z0 0（z0z0）z z2 200； z (4)(4) a a+ +b bi=i=c c+ +didia a= =c c且且c c= =d d( (a,b,c,dRa,b,c,dR) )； 2 2复数的几种形式。对任意复数复数的几种形式。对任意复数 z=a+biz=a+bi（a,bRa,bR） ，a a 称实部记作称实部记作 Re(z),bRe(z),b 称虚部记作称虚部记作 Im(z).Im(z). z=aiz=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那作为坐标平面内点的坐标，那 么么 z z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x x 轴称为实轴，轴称为实轴，y y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)(a,b)作为向量的坐标，复数作为向量的坐标，复数 z z 又对应又对应 唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式 3 3共轭与模，若共轭与模，若 z=a+biz=a+bi， （a,bRa,bR）, ,则则a-bia-bi 称为称为 z z 的共轭复数。模与共轭的性质有：的共轭复数。模与共轭的性质有：z （1 1）；（；（2 2）；（；（3 3）；（；（4 4）；（；（5 5） 2121 zzzz 2121 zzzz 2 | zzz 2 1 2 1 z z z z ；（；（6 6）；（；（7 7）|z|z1 1|-|z|-|z2 2|z|z1 1zz2 2|z|z1 1|+|z|+|z2 2| |；（；（8 8）| 2121 zzzz | | | 2 1 2 1 z z z z |z|z1 1+z+z2 2| |2 2+|z+|z1 1-z-z2 2| |2 2=2|z=2|z1 1| |2 2+2|z+2|z2 2| |2 2；（；（9 9）若）若|z|=1|z|=1，则，则。 z z 1 4 4复数的运算法则：（复数的运算法则：（1 1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2 2）按向量形式，加、减法满足平行四边形）按向量形式，加、减法满足平行四边形 和三角形法则；和三角形法则； 复数的代数形式及其运算：设复数的代数形式及其运算：设z z1 1= = a a + + bibi , , z z2 2 = = c c + + didi ( (a,b,c,dRa,b,c,dR) )，则：，则： (1)(1) z z 1 1z z2 2 = = ( (a a + + b b) ( (c c + + d d)i)i； (2)(2) z z1 1. .z z2 2 = = ( (a a+ +bibi)()(c c+ +didi) )（acac- -bdbd）+ + ( (adad+ +bcbc) )i i； (3)(3) z z1 1z z2 2 = = ( (z z2 20)0) ; ; )( )( dicdic dicbia i dc adbc dc bdac 2222 几个重要的结论：几个重要的结论： (1)(1) (2)(2) 性质：性质：T=4T=4；ii2)1 ( 2 iiiiiii nnnn 3424144 , 1, 1 ; 0 3424144 nnn iiii (3)(3) 。 ； z zzzz 1 11 ; 1 1 ; 1 1 i i i i i i 运算律：（运算律：（1 1）);,()(3 ( ;)(2 ( ; 2121 Nnmzzzzzzzzz mm mmnnmnmnm 3 共轭的性质：共轭的性质： ； ； ； 。 2121 )(zzzz 2121 zzzz 2 1 2 1 )( z z z z zz 模的性质：模的性质：；| 212121 zzzzzz| 2121 zzzz | | | 2 1 2 1 z z z z ； nn zz| 5.5.复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。 6 6复数复数 z z 是实数的充要条件是是实数的充要条件是 z=z=;z;z 是纯虚数的充要条件是：是纯虚数的充要条件是：z+z+=0=0（且（且 z0z0）. .zz 五习题五习题 1 1已知已知a aRR，若，若(1(1aiai)(3)(32 2i i) )为虚数，则为虚数，则a a的值为的值为( ( ) ) A A B.B. C C D.D. 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2复数复数( (i i是虚数单位是虚数单位) )的实部是的实部是( ( ) ) i i 1 12 2i i A.A. B B C.C. D D 2 2 5 5 2 2 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 3 3复数复数z是实数的充要条件是（是实数的充要条件是（ ） zzzz 2 z为实数为实数zz为实数为实数 4 4若复若复数数z满足满足 10 12 zz i ，则，则z等于（等于（ ） 34i 34i 34i34i 5 5 2 13 ( 3) i i 等于（等于（ ） 13 44 i 13 44 i 13 22 i 13 22 i 6 6zC，若，若 2 2 (1)1Mzzz|，则（，则（ ） M 实数M 虚数M实数复数 M 7 7已知复数已知复数 1 zabi， 2 1()zai ab R，若，若 12 zz，则（，则（ ） 1b 或或1b 11b 1b 0b 8 8(32 )(1)ii表示（表示（ ） 点点(3 2)，与点与点(11)，之间的距离之间的距离 点点(3 2)，与点与点( 11)，之间的距离之间的距离 点点(3 2)，与原点的距离与原点的距离 点点(31)，与点与点(21)，之间的距离之间的距离 9 9已知已知zC，21z ，则，则25zi的最大值和最小值分的最大值和最小值分别是（别是（ ） 411和和4113 3 和和 1 1 5 2和和3439和和 3 3 1010设设 00 ，( (a ai i)(1)(1i i) )coscosi i，则，则的值为的值为( ( ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A.A. B.B. C.C. D.D. 2 2 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 1111若若xC，则方程，则方程13xix 的解是（的解是（ ） 13 22 i 12 41xx ， 43i 13 22 i 1212满足条件满足条件22ziz的复数的复数z在复平面内对应的点的轨迹在复平面内对应的点的轨迹是是 （ ） 双曲线双曲线双曲线的一支双曲线的一支两条射线两条射线一条射线一条射线 1313设设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数为锐角三角形的两个内角，则复数(cottan)(tancot)zBABA i对应的点位于复对应的点位于复 平面（平面（ ） 第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限 1414已知复数已知复数，那么当，那么当 a=_a=_时，时，z z 是实数；当是实数；当)()65( 1 67 2 2 2 Raiaa a aa z a a_时，时，z z 是虚数；当是虚数；当 a=_a=_时，时，z z 是纯虚数。是纯虚数。 1515若若( )1()f zz z C，已知，已知 1 23zi， 2 5zi，则，则 1 2 z f z 1616复数复数 22 (32)(28)zmmmmi的共轭复数在复的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内，则实数平面上的对应点在第一象限内，则实数 m的取范围是的取范围是 1717已知已知1z ，则复数，则复数234zi，对应点的轨迹是，对应点的轨迹是 1818设设 2 22 log (33)log (3)()zmmimmR，若，若z对应的点在直线对应的点在直线210xy 上，则上，则m的值的值 是是 19.19.已知向量已知向量对应的复数是对应的复数是，向量，向量对应的复数是对应的复数是， 1 OZi 45 2 OZi 45 则则+ +对应的复数是对应的复数是_。 1 OZ 2 OZ 2020复数复数z z1 13 34 4i i，z