大学物理下学期练习6--8答案

练习练习 六六 知识点：电荷与库仑定律、电场与电场强度、电场线与电通量、高斯定理及其知识点：电荷与库仑定律、电场与电场强度、电场线与电通量、高斯定理及其 应用应用 一、选择题：一、选择题： 1下列几个说法中，正确的是下列几个说法中，正确的是 （ ） (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同； (C)场强可由场强可由定出，其中定出，其中为试验电荷，为试验电荷，为试验电荷所受的电场力；为试验电荷所受的电场力； 0 /EF q 0 qF (D)以上三种说法都不正确。以上三种说法都不正确。 解解:(C); (A)不对是因为电场力的方向与点电荷的正负有关不对是因为电场力的方向与点电荷的正负有关; (B)不对是因为场强不对是因为场强 是矢量是矢量 2在边长为在边长为 的正立方体中心处放置一个电量为的正立方体中心处放置一个电量为 的点电荷，则正立方体顶角的点电荷，则正立方体顶角aq 处的电场强度的大小为处的电场强度的大小为 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 2 0 12 q a 2 0 6 q a 2 0 3 q a 2 0 q a （ ） 解解:(C), 点电荷的场强大小点电荷的场强大小,式中式中 为立方体中心到顶角的距离为立方体中心到顶角的距离 2 0 4r q E r 2/32/2 222 aaar 3关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 （ ） (A) 如果高斯面上场强处处为零，则高斯面内必定处处无电荷；如果高斯面上场强处处为零，则高斯面内必定处处无电荷； (B) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零；如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零； (C) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零；如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零； (D) 以上三种说法均不正确。以上三种说法均不正确。 解解:(B),高斯定理高斯定理,是高斯面内、外所有电荷共同产生是高斯面内、外所有电荷共同产生. . 0 / i S qSdE E 4关于高斯定理关于高斯定理，下列哪个是错误的，下列哪个是错误的 0 / i S qSdE （ ） (A) 表示电场中任意的闭合曲面；表示电场中任意的闭合曲面； (B) 是闭合曲面是闭合曲面 内电荷内电荷Sq S 电量的代数和；电量的代数和； (C) 是闭合曲面是闭合曲面 内电荷产生的总电场强度；内电荷产生的总电场强度；(D) 是电场中所有电荷产生是电场中所有电荷产生E SE 的总电场强度。的总电场强度。 解解:(C), 是高斯面内、外所有电荷共同产生是高斯面内、外所有电荷共同产生. .E 5一个点电荷，放在球形高斯面的球心处。下列几种情况中，通过该高斯面一个点电荷，放在球形高斯面的球心处。下列几种情况中，通过该高斯面 的电场强度通量发生变化的是的电场强度通量发生变化的是 2 （ ） (A) 将另一个点电荷放在高斯面外；将另一个点电荷放在高斯面外； (B) 将另一个点电荷放进高斯面内；将另一个点电荷放进高斯面内； (C) 将高斯面半径增加一倍；将高斯面半径增加一倍； (D) 将点电荷从球心处移开，但仍将点电荷从球心处移开，但仍 在高斯面内。在高斯面内。 解解:(B), ,通过该高斯面的电场强度通量与高斯面所包围的电通过该高斯面的电场强度通量与高斯面所包围的电 0 / i S qSdE 荷有关荷有关. . 6在边长为在边长为 的正立方体中心有一个电量为的正立方体中心有一个电量为 的点电荷，则通过该立方体任一的点电荷，则通过该立方体任一aq 面的电场强度通量为（面的电场强度通量为（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 0 q 0 2 q 0 4 q 0 6 q 解解: :(D)由高斯定理知通过正立方体六个表面的电通量为由高斯定理知通过正立方体六个表面的电通量为,通过任一面的电通通过任一面的电通 0 /q 量为量为 0 6/q 二、填空题：二、填空题： 1边长为边长为 的正方形，三个顶点上分别放置电量均为的正方形，三个顶点上分别放置电量均为 的点电荷，则正方形中的点电荷，则正方形中aq 心处的电场强度大小心处的电场强度大小 。解。解:1., 对角顶点上二个点电对角顶点上二个点电E 2 0 2 0 2 1 4 1 a q r q E 荷在正方形中心处场强抵消荷在正方形中心处场强抵消. 2在电场强度为在电场强度为的匀强电场中取一个半径为的匀强电场中取一个半径为的半球面，电的半球面，电E R 场强度的方向与半球面的对称轴平行。则通过这个半球面的电场强度的方向与半球面的对称轴平行。则通过这个半球面的电 通量通量。 解解:,根据电场线的连续性根据电场线的连续性,通过半球面底部的电场线必通过通过半球面底部的电场线必通过 2 RE 半球面半球面. 3如图所示，闭合曲面如图所示，闭合曲面内有点电荷内有点电荷 ，闭合曲面，闭合曲面内没有电荷，闭合曲面内没有电荷，闭合曲面 1 Sq 2 S 内有点电荷内有点电荷，则通过这三个闭合曲面的电场强度通量分别为，则通过这三个闭合曲面的电场强度通量分别为， 3 Sq 1 ，。 2 3 解解: :(D)由高斯定理由高斯定理知知 0 / i S qSdE 03201 /, 0,/qq 4如图所示，点电荷如图所示，点电荷 位于正立方体的位于正立方体的角上，则通过侧面角上，则通过侧面 的电的电qAS 场强度通量场强度通量。 解解: : 将将 A 看成位于边长为图中二倍的正立方体中心看成位于边长为图中二倍的正立方体中心,通过该正立方体通过该正立方体 每个表面的电通量为每个表面的电通量为,S 是边长为图中二倍的正立方体一个表面是边长为图中二倍的正立方体一个表面 0 6/q 积的积的,因此因此4/1 0 24/q 5 两块无限大的均匀带电平行平面，其电荷面密度分别为两块无限大的均匀带电平行平面，其电荷面密度分别为(2 )及及，如图所示。则，如图所示。则区的场强大小区的场强大小，方向，方向。0IIE 解解: :无限大带电平面两侧电场强度无限大带电平面两侧电场强度,区的场强为两带电平区的场强为两带电平 0 2/EII 面场强的叠加面场强的叠加,方向向左方向向左 000 2/32/2/2 II E 6地球表面的场强大小为地球表面的场强大小为，方向指向地球中心。假设地球的半径为，方向指向地球中心。假设地球的半径为，所带，所带ER 电荷均匀分布在地球表面，则地球的总电量电荷均匀分布在地球表面，则地球的总电量。解。解: :由高斯定理由高斯定理Q 2 IIIIII A S 1 S 2 S 3 S qq 3 ,/ 0 i S qSdE ERQ 0 2 4 三、计算题三、计算题 1如图所示，长为如图所示，长为 的细直线的细直线上均匀地分布了线密上均匀地分布了线密aAB 度为度为 的正电荷。求细直线延长线上与的正电荷。求细直线延长线上与端距离为端距离为 的的Bb 点处的电场强度。点处的电场强度。P 1解：建立解：建立 轴轴, ,取线元取线元, ,其带电其带电，它在，它在 P P 点场点场xdxdxdq 强大小为强大小为 P 2 0 1d d 4() x E abx 根据场强的叠加原理根据场强的叠加原理,各线元所带电荷各线元所带电荷 dq 在在 P P 点场强方向一致点场强方向一致, , P 的场强大小为的场强大小为 ,场强方向沿场强方向沿 轴正方轴正方 PP 2 0 000 1d11 d() 4()44() a xa EE abxbabab b x 向向. . 2如图所示，半径为如图所示，半径为的带电细圆环，电荷线密度的带电细圆环，电荷线密度（式中（式中为正常为正常R 0sin 0 数，数， 为细圆环半径为细圆环半径与与 轴的夹角）轴的夹角） 。求细圆环中心。求细圆环中心处的电场强度。处的电场强度。RxO 2解：在细圆环上位于解：在细圆环上位于 处取长为处取长为的线元，其电量的线元，其电量。在在dl 0 ddsindqlRdq 细圆环中心细圆环中心 处所激发的场强方向如图所示，其大小为处所激发的场强方向如图所示，其大小为o 0 2 00 sin dd d 44 q E RR 根据场强的叠加原理，细圆环中心根据场强的叠加原理，细圆环中心 处场强的分量分别为处场强的分量分别为o 0cos 4 sin cos 2 0 0 0 d R dEdEE xx R d R d R dEdEE yy 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 42 2cos1 4 sin 4 sin sin 所以，细圆环中心处的场强为所以，细圆环中心处的场强为。 0 0 4 xy EE iE jj R 3 如图所示，一块厚度为如图所示，一块厚度为 的无限大带电平板，电荷体密度为的无限大带电平板，电荷体密度为a ， 为正常数，求：（为正常数，求：（1）平板外两侧任一点）平板外两侧任一点、(0)kxxak 1 M 处的场强大小；（处的场强大小；（2）平板内任一点）平板内任一点处的场强大小；（处的场强大小；（3） 2 MM 场强最小的点在何处。场强最小的点在何处。 3解解:(1)将带电平板分成许多厚度为将带电平板分成许多厚度为的薄片的薄片,面积为面积为的薄片的薄片dxds 所带电荷为所带电荷为,电荷面密度为电荷面密度为 , 处厚度为处厚度为dxdsdqkxdxdx ds dq x 的无限大薄片在的无限大薄片在、的场强大小的场强大小dx 1 M 2 M 00 22 kxdx dE 积分可得厚度为积分可得厚度为 a 的无限大带电平板在的无限大带电平板在、的场强大小的场强大小: 1 M 2 M 0 2 0 0 42 kakxdx E a (2)设设 M 点离平板左表面距离为点离平板左表面距离为 l, M 点两侧导体在点两侧导体在 M 点产生的场强方向相反点产生的场强方向相反 (3).令令得得 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 4244422 kaklklkaklkxdxkxdx E a l l 0 42 0 2 0 2 kakl al 2 2 a P b A B o x x dxP dE o x a xd x 1 M 2 MM x y o dE dl 4 4如图所示，内、外半径分别为如图所示，内、外半径分别为 和和 的均匀带电球形壳层，电荷体密度为的均匀带电球形壳层，电荷体密度为。ab 求壳层区域内任一点求壳层区域内任一点 P 处的场强大小。处的场强大小。 4解：场强具有球对称性且方向沿径向。过解：场强具有球对称性且方向沿径向。过 点作一个半径点作一个半径 r、与带电球形壳、与带电球形壳P 层同心的球面作为高斯面层同心的球面作为高斯面 。S 高斯面内的总电量为高斯面内的总电量为 ) 3 4 3 4 ( 33 arqi 对对 面应用高斯定理面应用高斯定理 ，得，得S 0 / i S qSdE ) 3 4 3 4 (4 33 0 2 arrE 点的场强大小点的场强大小 P)( 3 2 3 0 r a rE bra 5 如图所示，电荷体密度为如图所示，电荷体密度为的均匀带电球体中，挖去一个完的均匀带电球体中，挖去一个完 整的小球体，大球心指向小球心的矢量为整的小球体，大球心指向小球心的矢量为 。求球形空腔内任一。求球形空腔内任一a 点点 P 处的场强。处的场强。 5解：在空腔内任取一点解：在空腔内任取一点 ，设大球心，设大球心 和小球心和小球心指向指向 点的点的Po o P 矢量分别为矢量分别为和和 ，应用高斯定理可求得，应用高斯定理可求得大球在大球在 P 点产生的场强点产生的场强R r 0 32 1 / 3 4 4RRE 0 1 3 R E 0 1 3 R E 应用高斯定理可求得应用高斯定理可求得同电荷密度小球在同电荷密度小球在 P 点产生的场强点产生的场强 0 32 2 / 3 4 4rrE 0 2 3 r E 0 2 3 r E 挖去一个小球后挖去一个小球后 P 点的场强点的场强: 00 21 33 a rREEE 6 半径为半径为的带电球体，电荷体密度表达式为的带电球体，电荷体密度表达式为式中，式中，R 2 kr()rR 为正的常量，为正的常量， 为球体上一点到球心的距离。求带电球体的总电为球体上一点到球心的距离。求带电球体的总电kr 量和球内任一点量和球内任一点 P 处的场强大小。处的场强大小。 6解：如图所示，在球内取半径为解：如图所示，在球内取半径为 、厚为、厚为与带电球体同心的与带电球体同心的rdr 薄球壳薄球壳. 薄球壳的带电量为薄球壳的带电量为 224 dd4 d4qVkrrrkr 带电球体的总电量为带电球体的总电量为 45 0 4 d4d 5 R k QqkrrR 设带电球内任一点设带电球内任一点 到球心距离为到球心距离为 ，过，过 点作一个与带电球同心的球面作点作一个与带电球同心的球面作P 1 rP 为高斯面为高斯面 。S 高斯面内的总电量为高斯面内的总电量为 1 45 1 0 4 4d 5 r k qkrrr 应用高斯定理得应用高斯定理得， 点的场强大小点的场强大小 2 11 0 4 q Er P 3 11 2 0 10 45 q k Er r 1 ()rR o oa R r P r o dr O P R 1 E r O O R a E P O 2 E P r a bP r 5 练习练习 七七 知识点：静电场力的功、静电场的环路定理、电势能与电势、电场强度与电势知识点：静电场力的功、静电场的环路定理、电势能与电势、电场强度与电势 的关系的关系 一、选择题一、选择题 1关于静电场中某点电势的正负，下列说法中正确的是关于静电场中某点电势的正负，下列说法中正确的是 （ ） (A) 正电荷的电场中，电势总为正值；正电荷的电场中，电势总为正值； (B) 负电荷的电场中，电势总负电荷的电场中，电势总 为负值；为负值； (C) 电势的正负由试验电荷的正负决定；电势的正负由试验电荷的正负决定； (D) 电势的正负与电势零点的电势的正负与电势零点的 选取有关。选取有关。 解：解：(D)某点的电势为场强从该点至势能零点的线积分某点的电势为场强从该点至势能零点的线积分. 2下列说法中正确的是下列说法中正确的是 （ ） (A) 电势为零的物体一定不带电；电势为零的物体一定不带电； (B) 电势为零的地方电场强度也一电势为零的地方电场强度也一 定为零；定为零； (C) 负电荷沿电场线方向移动时，它的电势能增加；负电荷沿电场线方向移动时，它的电势能增加； (D) 电场中某点电势为正值时，点电荷在该处的电势能也为正值。电场中某点电势为正值时，点电荷在该处的电势能也为正值。 解：解：(C)电势能电势能,电势沿电场线方向减小电势沿电场线方向减小;外力作正功时外力作正功时,负电荷才能沿电场负电荷才能沿电场qVW 线方向移动线方向移动. 3电场中只有一个电量为电场中只有一个电量为 的点电荷，处于边长为的点电荷，处于边长为 的正方形中心处。取无穷的正方形中心处。取无穷qa 远处为电势零点，则在正方形顶角处的电势为远处为电势零点，则在正方形顶角处的电势为 （ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 0 。 2 0 2 q a 0 2 2 q a 0 4 q a 解：解：(B)点电荷的电势点电荷的电势,正方形中心到顶角处距离正方形中心到顶角处距离 r q V 0 4 2/2/ 222 aaar 4半径为半径为 的均匀带电球面，带电量为的均匀带电球面，带电量为 。以带电球面上的任一点为电势零点，。以带电球面上的任一点为电势零点，aq 则无限远处的电势为（则无限远处的电势为（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 0 4 q a 0 8 q a 0 4 q a 0 8 q a 解：解：(C),无限远处的电势为场强从该点至势能零点的线积分无限远处的电势为场强从该点至势能零点的线积分. aa dr r q l d EV 2 0 4 5如图所示，用电场线表示的电场中，如图所示，用电场线表示的电场中， 和和 是一条电场线上的两个点，则是一条电场线上的两个点，则 ab （ ） (A) ，； (B) ，； ab EE ab VV ab EE ab VV (C) ，； (D) ，。 ab EE ab VV ab EE ab VV 解：解：(B),电场线密处场强大电场线密处场强大, 电场线疏处场强小电场线疏处场强小;沿着电场线方向沿着电场线方向,电势降低电势降低 a b 6 a P b A B o x x dx 6 下面说法正确的是下面说法正确的是 （ ） (A) 同一等势面上各点的场强大小都相等；同一等势面上各点的场强大小都相等； (B) 电势高的地方，电电势高的地方，电 势能也一定大；势能也一定大； (C) 场强越大的地方，电势也一定越高；场强越大的地方，电势也一定越高； (D) 场强的方向总是从场强的方向总是从 高电势指向低电势。高电势指向低电势。 解：解：(D),沿着电场线方向沿着电场线方向,电势降低电势降低 二、填空题二、填空题 1静电力作功的特点是功的值与静电力作功的特点是功的值与有关，与有关，与 无关，因而静电力属于无关，因而静电力属于力。解：路径的起点力。解：路径的起点 和终点和终点,具体路径无关具体路径无关,保守保守 2边长为边长为 的正六边形每个顶点都有一个点电荷，电量如图所示。以无限远处的正六边形每个顶点都有一个点电荷，电量如图所示。以无限远处a 为电势零点，则正六边形中心处的场强大小为电势零点，则正六边形中心处的场强大小，电势，电势。E V 解：解：,点电荷系在某点的场强点电荷系在某点的场强; ,点电荷系在某点的电势点电荷系在某点的电势 2 0a q E n i ri i i e r q E 1 2 0 4 1 0 . n i i i r q V 1 0 4 3真空中，有一个均匀带电细圆环，电荷线密度为真空中，有一个均匀带电细圆环，电荷线密度为 。以无限远处为电势零点，。以无限远处为电势零点， 则圆环中心处的电势则圆环中心处的电势。解：连续分布电荷电场中的电势。解：连续分布电荷电场中的电势V . . 000 24 2 4 r r r dq VP 4半径为半径为的均匀带电球面，以无限远处为电势零点时，球面上的电势为的均匀带电球面，以无限远处为电势零点时，球面上的电势为10cm ，则离球心，则离球心处的电势处的电势，离球心，离球心处的电势处的电势。300V5cmV 30cmV 解：球面和球内各点电势均为解：球面和球内各点电势均为;球外电势与距离成反比球外电势与距离成反比, 处的电势为处的电势为300V30cm 100V 5半径为半径为的均匀带电球面，面电荷密度为的均匀带电球面，面电荷密度为()，球心处另有一个电量为，球心处另有一个电量为R0 的点电荷。以无限远处为电势为零，则球内离球心距离为的点电荷。以无限远处为电势为零，则球内离球心距离为 处的电势处的电势qrV 。 解：均匀带电球面内各点电势相等解：均匀带电球面内各点电势相等, ,;点电荷的电势点电荷的电势 00 2 0 1 4 4 4 R R R R Q V r q V 0 2 4 根据电势叠加原理根据电势叠加原理 r qR VVV 00 21 4 6 电荷面密度为电荷面密度为()的无限大均匀带电平面。以该平面上的某点为电势的无限大均匀带电平面。以该平面上的某点为电势0 零点，则离带电平面距离为零点，则离带电平面距离为 处的电势处的电势。aV 解：解：a 处的电势为场强从处的电势为场强从 a 点至势能零点的线积分点至势能零点的线积分. 0 0 0 0 22 a dx l d EV aa 三、计算题三、计算题 1如图所示，长为如图所示，长为 的细直线的细直线上均匀分布线密度为上均匀分布线密度为 的电荷。的电荷。aAB 以无限远处为电势零点，计算细直线延长线上与以无限远处为电势零点，计算细直线延长线上与端距离为端距离为 的的Bb P o q q q q q q 7 点处的电势。点处的电势。 解解:建立直角坐标系建立直角坐标系,取线元取线元 dx,其带电其带电 dx，它在，它在 P 点电势点电势 bxa dx r dq dV 00 4 1 4 1 根据电势叠加原理，根据电势叠加原理， 点处的电势为点处的电势为P b ba bxa dx V a ln 44 1 0 0 0 2如图所示，半径为如图所示，半径为的均匀带电薄圆盘，电荷面密度为的均匀带电薄圆盘，电荷面密度为。以无限远处为电。以无限远处为电R 势零点，计算圆盘中心的电势。势零点，计算圆盘中心的电势。 2解：在圆盘上取半径为解：在圆盘上取半径为 r,宽为宽为 dr 的同心细圆环，其上的电量的同心细圆环，其上的电量 为为dd2 dqSr r 均匀带电细圆环在盘中心的电势为均匀带电细圆环在盘中心的电势为 000 d2 d dd 442 qr r Vr rr 根据电势叠加原理，圆盘中心的电势为根据电势叠加原理，圆盘中心的电势为 0 00 dd 22 R R VVr 3 半径为半径为的带电球体，电荷体密度表达式为的带电球体，电荷体密度表达式为( 为离球心的距离，为离球心的距离， 为为Rkrrk 正常量正常量)。以无限远处为电势零点，计算离球心距离为。以无限远处为电势零点，计算离球心距离为 （）的）的 点的电势。点的电势。aaRP 3解：在带电球体上取半径为解：在带电球体上取半径为 r,厚为厚为 dr 的同心薄球层，其电量为的同心薄球层，其电量为 23 dd4 d4dqVkrrrkrr 该薄球层看作均匀带电球面，根据均匀带电球面的电势公式，该薄球层看作均匀带电球面，根据均匀带电球面的电势公式，时的时的在在radq 点产生的电势为点产生的电势为:P 33 000 d4d dd 44 qkrrkr Vr aaa 时的时的在在 点产生的电势为点产生的电势为 arRdqP 32 000 d4d dd 44 qkrrkr Vr rr 根据电势叠加原理，根据电势叠加原理， 点的电势为点的电势为:P 32333 0 00000 ddd 433 aR a krkrkakRka VVrr a 4两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为和和 1 R （） 。已知内外球之间的电势差为。已知内外球之间的电势差为，计算内球面所带的，计算内球面所带的 2 R 21 RRU 电量。电量。 4解：设内球带电量为解：设内球带电量为 ，根据高斯定理，两球面间的电场强度大小为，根据高斯定理，两球面间的电场强度大小为q 2 0 4 q E r 根据电势差与场强的积分关系，两球间的电势差满足根据电势差与场强的积分关系，两球间的电势差满足 210 2 0 11 44 2 1 2 1 2 1RR q dr r q drE l d EU R R R R R R 内球面所带的电量为内球面所带的电量为 12 210 4 RR URR q 5 如图所示，内、外半径分别为如图所示，内、外半径分别为和和的两个无限长同轴的两个无限长同轴 1 R 2 R 1 R 2 R 2 R 1 R r o dr r o dr 1 R o r 0 2 E r E 2 R 01 2R 02 2R 8 带电圆柱面，单位长度上的电量分别为带电圆柱面，单位长度上的电量分别为 和和，电荷在圆柱面上均匀分布。，电荷在圆柱面上均匀分布。 （1）试用高斯定理求电场强度的分布，画出）试用高斯定理求电场强度的分布，画出曲线（曲线（ 为场点到圆柱轴线的为场点到圆柱轴线的Err 距离）距离） 。 （2）计算内外圆柱面之间的电势差。）计算内外圆柱面之间的电势差。 5解：（解：（1）根据电荷分布的对称性，场强具有轴对称性且方向沿径向。设任）根据电荷分布的对称性，场强具有轴对称性且方向沿径向。设任 一点一点 到轴线距离为到轴线距离为 ，过，过 点作一个与带电圆柱面同轴的长度为点作一个与带电圆柱面同轴的长度为 的圆柱面作的圆柱面作PrPl 为高斯面为高斯面 。应用高斯定理。应用高斯定理，得，得，即，即。S S 0 d q ES A 0 2 q Erl 0 2 q E rl ，;， 1 rR0q 0E 12 RrRql 0 2 E r ，, 曲线如右图所示。曲线如右图所示。 2 rR0q 0E Er （2）根据电势差和场强的积分关系）根据电势差和场强的积分关系，取路径沿圆柱的径向，则内外，取路径沿圆柱的径向，则内外 b ab a dUEl 圆柱面之间的电势差为圆柱面之间的电势差为 222 111 2 001 dddln 22 RRR RRR R UErErr rR 6 如图所示，两块无限大均匀带电平行平面，电荷面密度分别为如图所示，两块无限大均匀带电平行平面，电荷面密度分别为和和， 两带电平面分别与两带电平面分别与 轴垂直相交于轴垂直相交于 和和两点。以坐标原点电两点。以坐标原点电xaa势势 为零，求空间的电势分布表达式，画出为零，求空间的电势分布表达式，画出曲线。曲线。Vx 6解：根据高斯定理，可求得两平面之间的场强大解：根据高斯定理，可求得两平面之间的场强大 小为小为 0 E ()axa 场强方向沿场强方向沿 轴正向。两平面外侧场强处处为零，是等势区。轴正向。两平面外侧场强处处为零，是等势区。x 根据场强和电势的积分关系，两平面之间根据场强和电势的积分关系，两平面之间坐标坐标 处的电势为处的电势为()axa x , 曲线如右图所示。曲线如右图所示。 000 00 ddd xxx VElExxx Vx 练习练习 八八 知识点：静电场中的导体和电介质、电容器、有介质时的高斯定理、静电场的知识点：静电场中的导体和电介质、电容器、有介质时的高斯定理、静电场的 能量能量 一、选择题一、选择题 1孤立的导体球壳内，在偏离球心的某点放置一个点电荷，则球壳内、外表孤立的导体球壳内，在偏离球心的某点放置一个点电荷，则球壳内、外表 面上的电荷分布是面上的电荷分布是 （ ） (A) 内表面均匀，外表面也均匀；内表面均匀，外表面也均匀； (B) 内表面不均匀，外表面均匀；内表面不均匀，外表面均匀； (C) 内表面均匀，外表面不均匀；内表面均匀，外表面不均匀； (D) 内表面不均匀，外表面也不均匀。内表面不均匀，外表面也不均匀。 解解:B,处于静电平衡的导体球壳内表面所带电荷与点电荷等量异号处于静电平衡的导体球壳内表面所带电荷与点电荷等量异号,外表面所带外表面所带 电荷与点电荷等量同号电荷与点电荷等量同号. 因为点电荷和内表面所带电荷对壳外电场无影响因为点电荷和内表面所带电荷对壳外电场无影响,壳外壳外 a b c aaox a ao x 0 a 0 a V 9 电场由外表面所带电荷决定电场由外表面所带电荷决定,且电荷面密度和曲率半径成反比且电荷面密度和曲率半径成反比,所以外表面电荷所以外表面电荷 分布均匀分布均匀;壳内场强由内表面所带电荷和点电荷共同决定壳内场强由内表面所带电荷和点电荷共同决定,点电荷偏离球心时点电荷偏离球心时,根根 据电场线的性质可知内表面电荷分布不均匀据电场线的性质可知内表面电荷分布不均匀. 2如图所示为一个孤立带电圆柱形导体，如图所示为一个孤立带电圆柱形导体， 、 、 是导体表面上的三个点，是导体表面上的三个点，abc 则则 电荷密度电荷密度 （ ） 电势电势 （ ） (A) 点处最大；点处最大； (B) 点处最大；点处最大； (C) 点处最大；点处最大； (D)三点一样大。三点一样大。abc 解解: (C)电荷面密度和曲率半径成反比电荷面密度和曲率半径成反比,曲率半径愈小曲率半径愈小,电荷面密度愈大电荷面密度愈大,(D)处于静处于静 电平衡的导体为等势体电平衡的导体为等势体 3对于带电的孤立导体球对于带电的孤立导体球 （ ） (A) 导体内的场强和电势均为零；导体内的场强和电势均为零； (B) 导体内的场强为零，而电导体内的场强为零，而电 势为恒量；势为恒量； (C) 导体内的电势比导体表面的电势高；导体内的电势比导体表面的电势高； (D) 导体内的电势比导体表面导体内的电势比导体表面 的电势低。的电势低。 解解:(B),处于静电平衡的导体球为等势体处于静电平衡的导体球为等势体,球壳内场强为零球壳内场强为零 4平行板电容器充电后保持与恒压电源相连，当用绝缘手柄将电容器两极板平行板电容器充电后保持与恒压电源相连，当用绝缘手柄将电容器两极板 的距离拉大时，电容器中的静电场能量的距离拉大时，电容器中的静电场能量 （ ） (A) 减小；减小； (B) 不变；不变； (C) 增大；增大； (D) 无法确定它的变化。无法确定它的变化。 解解:(A),因电势差不变因电势差不变,电容由电容由因因电容电容 d 增加而减小增加而减小,电场能量电场能量dsc/ 0 因因电容减小而减小电容减小而减小. 2 2 1 CUW 5 在静电场中，作闭合曲面在静电场中，作闭合曲面 ，若有，若有，则，则 面内面内 （ S S d0DS A S ） (A) 没有自由电荷；没有自由电荷； (B) 既没有自由电荷，也没有束缚电荷；既没有自由电荷，也没有束缚电荷； (C) 自由电荷的代数和为零；自由电荷的代数和为零； (D) 自由电荷与束缚电荷的代数和为零。解自由电荷与束缚电荷的代数和为零。解: (C), s i i qsdD 6 平行板电容器充电后与电源断开，然后将其左半部分充满介电平行板电容器充电后与电源断开，然后将其左半部分充满介电 常量为常量为 的各向同性均匀电介质的各向同性均匀电介质(如图如图)，则左右两部分的，则左右两部分的 （ ） (A) 电场强度相等；电场强度相等； (B) 电位移矢量相等；电位移矢量相等； (C) 静电场能量相等；静电场能量相等； (D) 极板上的自由电荷面密度相等。解极板上的自由电荷面密度相等。解:( A) 二、填空题二、填空题 1带正电的金属球附近带正电的金属球附近 点处放置一个带正电的点电荷点处放置一个带正电的点电荷，测得，测得受到的静电受到的静电P 0 q 0 q 力大小为力大小为，则，则的值一定的值一定没有放没有放时时 点处的场强大小。点处的场强大小。(填大于、填大于、F 0 /F q 0 qP 等于、小于等于、小于) 解解:由于带正电的点电荷由于带正电的点电荷对金属球上正电荷斥力作用对金属球上正电荷斥力作用,使金属球的使金属球的 0 q 正电荷在点电荷正电荷在点电荷引入后引入后,相对引入前远些相对引入前远些,受到的静电力受到的静电力小些。小些。 0 q 0 qF 2金属球壳的带电量为金属球壳的带电量为，在球壳空腔内距离球心，在球壳空腔内距离球心 处放置一个点电荷处放置一个点电荷 。则。则Qrq 10 球壳内表面上的电量为球壳内表面上的电量为，球壳外表面上的电量为，球壳外表面上的电量为。解。解:处于静电平衡处于静电平衡 的导体内场强为零的导体内场强为零,在球壳内作一球形高斯面在球壳内作一球形高斯面,由高斯定理可得球壳内表面上的由高斯定理可得球壳内表面上的 电量为电量为 q, 由电荷守恒可得外表面上的电量由电荷守恒可得外表面上的电量 q+Q 3不带电的金属球壳，内、外半径分别为不带电的金属球壳，内、外半径分别为和和，在球心处放置一个电量为，在球心处放置一个电量为 1 R 2 R 的点电荷。以无限远处为电势零点，则球壳上的电势的点电荷。以无限远处为电势零点，则球壳上的电势。解。解: 处处qV 于静电平衡的导体内场强为零、电势相等于静电平衡的导体内场强为零、电势相等,球壳内表面带电球壳内表面带电 q,外表面带电外表面带电 q,且且 壳外场强由外表面所带电荷确定壳外场强由外表面所带电荷确定,则则 20 2 0 44 22R q dr r q l dEV RR 4平行板电容器的极板面积为平行板电容器的极板面积为 ，极板间距为，极板间距为 ，板带电量为板带电量为 ，板不带板不带SdAqB 电，则极板间的电势差电，则极板间的电势差。把。把板接地，静电平衡时极板间的电势差板接地，静电平衡时极板间的电势差U B 。解。解:板不接地板不接地,由静电平衡条件可知由静电平衡条件可知,板两面电荷均为板两面电荷均为 q/2, 板上板上U BAB 与与板相对一面电荷为板相对一面电荷为 q/2、相背一面电荷为、相背一面电荷为 q/2, 两板间场强为两板间场强为电势差为电势差为A s q 0 2 ; ;板接地板接地,板与板与板相对面上电荷分别为板相对面上电荷分别为 q、 q,两板间场强为两板间场强为, ,电电 s qd Ed 0 2 BAB s q 0 势差为势差为 s qd 0 5平行板电容器，充电后将电源断开。将极板间的距离增加一些，则极板间平行板电容器，充电后将电源断开。将极板间的距离增加一些，则极板间 场强场强；电势差；电势差；电容；电容；电容器中电场能量；电容器中电场能量。(填增大、减填增大、减 小或不变小或不变) 解解:不变不变, 增大增大, 减小减小, 增大增大 电容器充电后将电源断开电容器充电后将电源断开,电容器极板上电荷不变电容器极板上电荷不变,电荷面密度不变电荷面密度不变,极板间场强极板间场强 不变不变,电势差电势差随随 d 增加而增大增加而增大.电容电容随随 d 增加而减小增加而减小, 电场能量电场能量EdU dsc/ 0 随随 C 减小而增大减小而增大. C q W 2 2 1 6 真空中的平行板电容器，充电后与电源保持连接，然后在极板间充满相对真空中的平行板电容器，充电后与电源保持连接，然后在极板间充满相对 介电常数为介电常数为的各向同性均匀电介质。此时两极板间的电场强度是原来的的各向同性均匀电介质。此时两极板间的电场强度是原来的 r 倍；电容是原来的倍；电容是原来的倍；电场能量是原来的倍；电场能量是原来的倍。解倍。解:1, r, r;充电充电 后将与电源保持连接后将与电源保持连接,因电势差因电势差不变且不变且 d 不变不变,两极板间的电两极板间的电EdU 场强度不变场强度不变; 电容由电容由变为电容变为电容;电场能量电场能量dsc/ 0 dsc r / 0 因因电容增加而增加电容增加而增加. 2 2 1 CUW 三、计算题三、计算题 1半径为半径为 和和 ()的两个同心导体薄球壳，且都不带电。现让内球带的两个同心导体薄球壳，且都不带电。现让内球带 的的 1 r 2 r 21 rrq 电量，以无限远处为电势零点，求：（电量，以无限远处为电势零点，求：（1）外球的电荷量及电势；（）外球的电荷量及电势；（2）把外球）把外球 接地后外球的电荷量及电势。接地后外球的电荷量及电势。 1解：（解：（1）根据电荷守恒定律和静电平衡条件，外球壳的内表面带电）根据电荷守恒定律和静电平衡条件，外球壳的内表面带电，外，外q 球壳的外表面带电球壳的外表面带电 ，外球的电量代数和为零。外球壳外场强由外表面电荷确，外球的电量代数和为零。外球壳外场强由外表面电荷确q 定定,外球壳电势外球壳电势 20 2 0 44 22r q dr r q l dEV rr （2）根据静电平衡条件，外球壳的内表面带电仍为）根据静电平衡条件，外球壳的内表面带电仍为，接地外球电势为零，接地外球电势为零，q 外球的外表面将不带电。外球的外表面将不带电。 1 r 2 r 11 2三块平行金属板三块平行金属板、面积均为面积均为 ，其中，其中和和两板都接地，两板都接地，与与相相ABCSBCAC 距距，与与相距相距。若。若板带电量为板带电量为 ，求：（，求：（1）、板上的感应电荷；板上的感应电荷； 1 dAB 2 dAqBC （2）板的电势。板的电势。A 解解(1) 设设 A 板左侧面电量为板左侧面电量为,右侧面电量为右侧面电量为;静电平衡时静电平衡时,再设 再设1 q 2 q 1 qqc 2 qqB 、板间电势差为板间电势差为,、板间电势差为板间电势差为,则则 AB AB UAC Ac U ,即即 解得解得 21 qqq ACAB UU 2 0 2 1 0 1 d s q d s q q dd d qqc 21 2 1 q dd d qqB 21 1 2 板的电势为板的电势为 A )( 210 21 2 0 2 dds dqd d s q UV ABA 3两块互相平行的金属板，面积均为两块互相平行的金属板，面积均为 ，间距为，间距为 ，用电源使两，用电源使两Sd 板分别维持在电势板分别维持在电势和电势和电势 0。现将带电量为。现将带电量为 的第三块相同面的第三块相同面Vq 积而厚度可忽略的金属板插在两板正中间，求此板的电势。积而厚度可忽略的金属板插在两板正中间，求此板的电势。 3解：未插入第三块金属板时解：未插入第三块金属板时,在两极板间场强大小为在两极板间场强大小为,