大学物理下第19章习题详解

第 19 章习题详解 19-1 波长 589.3nm 的单色平行光垂直照射一单缝，单缝后透镜焦距为 100cm，测得第一 级暗纹到中央明纹中心距离为 1.0mm。求单缝的宽度？ 解:根据单缝衍射的暗纹计算式得,第一级暗纹满足 sina 因为,所以有可得a=sintg 第一级暗纹满足 故单缝的宽度为 . . 6 1 f589 3 101000 a0 589mm x1 19-2 单缝宽 0.10mm，透镜焦距为 50cm，用 500nm 的绿光垂直照射单缝。 （1）求屏上中 央明纹的宽度和半角宽度？（2）将此装置浸入水中，则中央明纹半角宽度又是多少？ 解:（1）单缝衍射的中央明纹的宽度就是级暗纹的中心间距1 故有中央明纹的宽度 . 6 2500 10mm x2 ftg2 f5005mm a0 10mm 半角宽度为 . 6 3 1 500 10 5 10rad a0 10 （2）水中的波长为 n n 则水中的半角宽度为 . . 3n1 0 005 3 75 10rad 4 anan 3 19-3 一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为 600nm 的单色 光垂直入射时的第二级明纹的位置一样，求前一种单色光的波长。 解 ：根据单缝衍射的明纹计算式 有sin()a2k1 2 第三级明纹满足 sin() 1 3 a231 2 第二级明纹满足 sin() 2 2 a221 2 两明纹重合，则即 23 12 75 22 1 xff a 得 . 12 55 600 428 6nm 77 19-4 一双缝间距d=0.10mm，每个缝宽为a=0.02mm。用波长 =480nm 平行单色光垂直入 射双缝，在缝后放置焦距为f=50cm 透镜。试求（1）透镜焦平面屏上干涉明条纹间距？ （2）单缝衍射中央亮纹宽度？（3）单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的数目？ 解：解 （1）干涉明条纹间隔 m d f d k d k f ffx kkkk 3 11 104 . 2 ) 1 ( )sin(sin)tan(tan （2）单缝衍射中央明纹宽度为 m a f x 2 0 104 . 2 2 （3）单缝衍射第一级暗纹为 sina 双缝干涉的第k级明纹为 kdsin 因此 5/adk 又k=5 满足缺级条件，实际上观察不到。因此在单缝衍射中央明纹范围内可以看到干 涉主极大的级次为：，一共 9 条明纹。4, 3, 2, 1, 0 19-5 一平行单色光垂直照射到 a=0.6mm 的单缝上，缝后会聚透镜的焦距 f=40mm，在屏上 观察到离中央明纹中心 1.4 mm 处的 P 点为一明条纹。求：（1）入射光的波长；（2）P 点 条纹的级数；（3）从 P 点看狭缝处的波阵面可分为几个半波带？ 解：此题用半波带法分析，P 点处为明条纹，则狭缝处的狭缝处的波阵面应分成奇数 个半拨带，即 2 ) 12(sin ka 在可见光范围内，推算能满足上式的 k 值和值。 设屏幕上 P 点距中央明纹中心为x 则 sinfftgx 代入上式得 ) 2 1 ( 2 ) 12( kk f x a 所以 2 1 1040 104 . 1106 . 0 2 1 2 33 f ax k 而可见光的范围为 m 1040 107600104000 求得对应 k 值范围是 75 . 4 3 . 2 因为 k 只能取整数，所以 k=3 或 k=4. 当 k=3 时，得(红光)，对应从 P 点看狭缝处的波阵面可分为 2k+1=76000 3 个半波带， 当 k=4,得 （蓝光） ，对应从 P 点看狭缝处的波阵面可分为 2k+1=9 个4667 4 半波带 19-6 用一橙黄色(波长范围 60006500)平行光垂直照射到宽度为 a=0.6mm 的单缝上，在 缝后放置一个焦距 f=40cm 的凸透镜，则在屏幕上形成衍射条纹，若屏上离中央明条纹中心 为 1.40mm 的 P 处为一明条纹，试求： (1)入射光的波长 (2)中央明条纹的角宽度，线宽度 (3)第一级明纹所对应的衍射角 解: (1)由明纹条件 2 ) 12(sin ka 得 (k=1,2,3,) a k a k 2 ) 12( 2 ) 12( arcsin 第k级明纹在屏上的位置 a fk ffxk 2 ) 12( tan 而 , fk axk ) 12( 2 设 1=6000, 2=6500 由 1 2 即 21 ) 12( 2 fk axk 得 , 2 1 2 1 12 f ax k f ax kk 代入数据 a=0.6mm , xk=1.40mm , f =400mm 和 1,2 得 2.73 k 3 k = 3 1000 . 6 400) 132( 40 . 1 6 . 02 ) 12( 2 4mm fk axk 而 o A6000 (2) 第一级暗纹的衍射角即中央明纹的半角宽度 , a 1 而角宽度为 rad a 002. 0 2 2 1 线宽度为 mmfx8 . 0 (3) 由明纹条件 1 2 ) 12(sinkka和 得 a2 3 sin )(105 . 1 2 3 3 rad a 19-7 一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每条透光缝宽为 2103cm，在光栅后放一 焦距为 1m 的凸透镜，现以波长为 600nm 的平行单色光垂直照射光栅。求（1）透光缝的 单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？ 解：（1）单缝衍射中央明条纹宽度为 6 2 600 10mm x2f2100060mm a2 10mm （2）根据光栅方程 （干涉主极大）sindk 及 （单缝衍射极小）sinak 两式相比有 dk ak 当时，k1 . d k2 5 a 所以，单缝衍射主极大内有 0、共 5 级主极大。, 12 19-8 平行单色光波长为 500nm，垂直入射到每毫米 200 条刻痕的透射光栅上，光栅后面 放置一个焦距为 60cm 的透镜。求（1）中央明纹与第一级明纹的间隔？（2）当入射光与 光栅法线成 30 斜入射时，中央明纹中心移动多少距离？ 解;(1)根据明纹公式 kd sin 中央明纹与第一级明纹的间隔为 6 1 500 10 60060 1 200 xfmm d (2)斜入射时满足光栅方程 kd )sin(sin 对于中央明纹有 k=0, 故 得030d 0 )sin(sin 30 0 对应接收屏上的位移为 cm3560030tg30ftgx 19-9 波长范围为 400700nm 的白光垂直照射在光栅常数为 2mm 的光栅上,实验 3 10 测得位于透镜后焦面的屏上的光栅衍射第一级光谱的宽度约为 56.5mm,问透镜的焦距约为 多少? 解:由光栅方程式可得波长范围为 400700nm 的第一级谱线的衍射角分别为 5411 102 104 ba 3 4 .arcsinarcsin 3322 102 1067 ba 3 4 . . arcsinarcsin 第一级光谱衍射角的范围 )(.rad1883045113322 由可的，透镜 L 的焦距xf )(. . . m30 18830 556x f 19-10 在通常亮度情况下，人眼瞳孔的直径约为 3mm，求人眼的最小分辨角？如果在黑板上画两根 相距 1cm 的平行直线，问在距离黑板多远处恰好能够分辨这两根直线？ 解：（1）D=3mm，在可见光中，人眼对 5500 的黄绿光最敏感，将该波长值代入，得人眼最小分辨 角为 rad D 4 3 7 min 102 . 2 103 105 . 5 22 . 1 22 . 1 （2）设平行线间距为 l，人到黑板距离为 x，两平行线对人眼所张角为 ，xl / 若刚好分辨，则有，所以 min m l x 5 . 45 102 . 2 101 4 2 min 19-11 为了使望远镜能分辨角间距为 3.0010-7rad 的两颗星，其物镜的直径至少应多大？ （可见光中心波长为 550nm） 解:此题的分析思路与上题相同,根据瑞利判据有 D 22110003 7 由此,可得物镜的直径应满足 m242mm2237 10003 10550221 D 7 6 . . . 19-12 一束 X 射线含有 0.095nm 到 0.13nm 范围的各种波长，以掠射角 45 入射到晶体上。 已知晶格常数为 0.275nm。求该晶体对哪些波长的 X 射线产生强反射？ 解:根据布拉格公式 kd2 sin k 38890 k 4527502 k d2.sin.sin 通过计算可知 当 k=3 时 nm1260. 当 k=4 时 nm0970. K 为其它值时,不能得到 0.0950.13nm 范围内的波长.故该晶体能对 0.126nm,0.097nm 的 两种波长的 X 射线产生强反射。 19-13 =0.5m 的单色光垂直入射到光栅上，测得第三级主极大的衍射角为 30，且 第一个缺级出现在第 4 级主极大。求：（1）光栅常数 d；（2）透光缝宽度 a；（3）对上 述 a、d 屏幕上可能出现的谱线数目是多少？ 解：（1）由光栅方程 dsin=k，式中 =30，k=3，=0.5m，代入得光栅常数 md3 （2）根据缺极条件，依题意，有 ，所以缝宽 4 k k a d mda75 . 0 4/ （3） 即/sinddk6k 其中级缺级，级出现在衍射角为 90处，实际上是看不到的。因此在屏46 幕上出现的谱线为共 9 条。5, 3, 2, 1, 0 19-14 在氢和氘混合气体的发射光谱中，波长为 656nm 的红色谱线是双线，其波长差为 1.8。为能在光栅的第二级光谱中分辨它们，光栅的刻线数至少需要多少？ 解:对于第二级主极大 2d sin 因较小,则 ,2d 对应的有 2d 即 d 2 光栅衍射的主极大的条纹宽度均相同,它们的半角宽度为 N d 0 sin 即 N d 0 Nd 0 根据瑞利判据,要将波长差为 1.8 的两个光谱在第二级分辨开来,必须满足 0 故有 Ndd 2 解得 1822 10812 10656 2 N 7 6 . 19-15 一束波长为 =500nm 的平行单色光垂直照射在一个单缝上，单缝的宽度为 a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距为f=1m。求：（1）中央明纹的角宽度？（2）中央明 纹的线宽度？（3）第一级与第二级暗纹之间的距离？（4）如果在屏幕上离中央亮纹中心 为 3.5mm 处的P点为一亮纹，试求 P 处亮纹的级数？（5）从 P 处看，对该光波而言，狭缝 处的波阵面可分割成几个半波带？ 解 （1）中央明纹的角宽度： rad m m a 3 30 102 105 . 0 5 . 0 2 2 （2）中央明纹的线宽度： mmmfx2102 3 00 （3）第一级暗纹与第二级暗纹之间的距离 mmm aa fx1)101102(1) 2 ( 33 21 （4）由明纹公式 2 ) 12(sin ka 以及明纹坐标 sinfftgx 求得该条纹级次 3 2 1 f ax k （5）当k=3 时，衍射光中的最大光程差为 2 7 2 ) 12(sin ka 因此，狭缝处波阵面可分成 7 个半波带。 19-16 白光垂直入射到每厘米有 4000 条缝的光栅上，问（1）用此光栅能产生多少 级完整光谱？（2）可产生多少级不重叠光谱？ 解 光栅常数mcmd 6 105 . 24000/1 （1）完整光谱系指同一级次的所有波长光主极大都出现。由于紫光波长短，出现级 次多，红光光波长长，出现级次少，故应以红光波长来计算完整光谱的级次。 dkd R sin 28 . 3 106 . 7 105 . 2 / 7 6 R dk 故可以看见 3 级完整的光谱。 （2）不重叠的光谱要求某级次红光的衍射角不大于高一级次紫光的衍射角。因此有 PR kk) 1( 故 1 . 1 PR P k 因此只能看见 1 级不重叠光谱。 19-17 用波长为 5900 的平行单色光照射每厘米有 5000 条刻痕的衍射光栅。 （1）当垂直 入射时；(2)当入射光与光栅平面的法线方向成 30入射时。求所观察到条纹的最高级次？ 解 光栅常数为 mba 6 2 102