大学物理习题8

习题八 8-1 根据点电荷场强公式，当被考察的场点距源点电荷很近 2 0 4r q E (r0)时，则场强E，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 仅对点电荷成立，当时，带电体不能再视为点电 0 2 0 4 r r q E 0r 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在 带电体上的分布求出的场强不会是无限大 8-2 在真空中有，两平行板，相对距离为，板面积为，其带电量ABdS 分别为+和-则这两板之间有相互作用力，有人说=,又qqff 2 0 2 4d q 有人说，因为=,，所以=试问这两种说法对吗?为fqE S q E 0 f S q 0 2 什么? 到底应等于多少?f 解: 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的，第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场 S q E 0 强也是不对的正确解答应为一个板的电场为，另一板受它的作 S q E 0 2 用力，这是两板间相互作用的电场力 S q S q qf 0 2 0 22 8-3 一个点电荷 q 放在球形高斯面的中心，试问在下列情况下，穿过这高 斯面的 E 通量是否改变？高斯面上各点的场强 E 是否改变？ (1) 另放一点电荷在高斯球面外附近. (2) 另放一点电荷在高斯球面内某处. (3) 将原来的点电荷 q 移离高斯面的球心，但仍在高斯面内. (4) 将原来的点电荷 q 移到高斯面外. 答：根据高斯定理，穿过高斯面的电通量仅取决于面内电量的代数和，而 与面内电荷的分布情况及面外电荷无关，但各点的场强 E 与空间所有分布 电荷有关，故： (1) 电通量不变， 1q1 / 0，高斯面上各点的场强 E 改变 (2) 电通量改变，由1变为2(q1q2 ) /0，高斯面上各点的场强 E 也也变 (3) 电通量不变，仍为1但高斯面上的场强 E 会会变 。 (4) 电通量变为 0，高斯面上的场强 E 会会变. 8-4 以下各种说法是否正确，并说明理由. (1) 场强为零的地方，电势一定为零；电势为零的地方，场强也一定为 零. (2) 在电势不变的空间内，场强一定为零. (3) 电势较高的地方，场强一定较大；场强较小的地方，电势也一定较 低. (4) 场强大小相等的地方，电势相同；电势相同的地方，场强大小也一 定相等. (5) 带正电的带电体，电势一定为正；带负电的带电体，电势一定为负. (6) 不带电的物体，电势一定为零；电势为零的物体，一定不带电. 答：场强与电势的微分关系是, .场强的大小为电势沿等势面法UE 线方向的变化率，方向为电势降落的方向。场强与电势的积分关系， l d EU p P 上上上上 因此, (1) 说法不正确. (2) 说法正确. (3) 说法不正确. (4) 说法不正确 (5) 说法不正确 (6) 说法不正确. 8-5 如图所示，在直角三角形 ABC 的 A 点处，有点电荷 q11.8109 C，B 点处有点电荷 q24.8109 C，试求 C 点 处的场强. 解：如图建立坐标 j r q i r q E 2 1 1 0 2 2 2 0 4 1 4 1 jiE 1800027000 大小: E=3.24104Vm-1, 方向: ,=-33.70 3 2 x y E E tan 8-6 均匀带电细棒，棒长 L20 cm，电荷线密度 3108 Cm1.求：(1) 棒的延长线上与棒的近端相距 d18 cm 处的场强；(2)棒的垂直平分线上与 棒的中点相距 d28 cm 处的场强. 习题 8-5 图 x y 解： 如图所示 (1)在带电直线上取线元，其上电xd 量在点产生场强为qdP 2 0 )( d 4 1 d xa x EP 2 2 20 )( d 4 d xa x EE L LPP 22 00 11 4(4) 22 L LL aL aa )2 . 018 . 0 4(1065 . 8 14 . 3 2 . 0103 2212 8 =0.24654104N.C-1,方向水平向右 (2)同理 方向如图所示 2 2 2 0 d 4 1 d dx x EQ 由于对称性，即只有分量， l Qx E0d Q E y 2 2 2 2 2 2 2 0 dd 4 1 d dx dx x EQy 2/32 2 2 2 22 2 )( d 4 d dx xd EE L L l QyQy 2/ 2/ 2 2 22 2 2 2 | )( 4 L L dxd xd 2 2 2 2 2 2/ 2/ 2 2 2 2 24 2 | 4 dLd L dxd x L L =0.526104N.C-1 2212 8 08 . 0 42 . 008 . 0 1085 . 8 14 . 3 2 2 . 0103 方向沿轴正向y 8-7 用均匀带电 q3.12109 C 的绝缘细棒弯成半径 R50 cm 的圆弧， 两端间隙 d2.0 cm，求圆心处场强的大小和方向. 0 dx B Q P A dE a d2 1 d1 1 y x 解： 取一圆弧，对称建一坐标如图示。在圆弧上取 dl=Rd, dddRlq 在点产生场强大小为O 方向沿半径方向 2 0 4 d d R R E 则 dcos 4 cosdd 0R EEx dsin 4 sindd 0R EEy 积分 )cos(cos 2 dsin 4 12 00 2 1 2 1 RR dEE yy 根据圆对称性，圆心处场强只需计算密度相同的异号间隙弧长电场。 ,rad, 02 . 0 2 R q 04 . 0 50 2 R l , 22 , 22 21 2 sin )01 . 0 (2 ) 22 cos() 22 cos( )02 . 0 2(2 00 RR q RR q Ey =0.7720N.C-102 . 0 )01 . 0 50. 014 . 3 (1085 . 8 14 . 3 2 1012. 3 12 9 y E 方向指向间隙中心。 8-8 (1)点电荷位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿q 过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少? 解: (1)由高斯定理 0 d q SE s 立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等q 各面电通量 0 6 q e (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的a2qa2 x dE y 1 2 立方体中心，则边长的正方形上电通量a2 0 6 q e 对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，aq 0 24 q e 如果它包含所在顶点则q0e 如题 8-8(a)图所示题 8-8(3)图 题 8-8(a)图 题 8-8(b)图 题 8-8(c)图 8-9 如图所示，电荷面密度为 的均匀无限大带电平板，以平板上的一点 O 为中心，R 为半径作一半球面，求通过此半球面的电通量. 解：均匀无限大带电平面的电场 大小： ，方向：垂直平面 0 2 E 电通量： 2 0 2 2 RRE 8-10 有证据表明，地球表面以上存在电场，其平均值约为 130 Vm1，且 指向地球表面，试由此推算整个地球表面所带的负电荷.(地球平均半径 R6.4106 m) 解：若地球看成导体球，则 2 0 4R q E = 26122 0 )104 . 6(1085 . 8 14 . 3 41344 REq 6.10095105C, 8-11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2Cm-3 5 10 习题 8-9 图 求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强 解: 高斯定理, 0 d q SE s 0 2 4 q rE 当时，,5rcm0 q 0E 时， 8rcm q 3 4 p 3 (r) 3 内 r ， 方向沿半径向外 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 4 1048 . 3 1 CN cm 时,12r 3 4 q 3 ( 外 r） 内 3 r 沿半径向外. 4 2 0 3 3 1010 . 4 4 3 4 r rr E 内外 1 CN 8-12 半径为和( )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别 1 R 2 R 2 R 1 R 带有电量和-,试求:(1)；(2) ；(3) 处各r 1 R 1 Rr 2 Rr 2 R 点的场强 解: 高斯定理 0 d q SE s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlS2 则 rlESE S 2d 对(1) 1 Rr 0, 0 Eq (2) 21 RrRlq 沿径向向外 r E 0 2 (3) 2 Rr 0 q 0E 8-13 设气体放电形成的等离子体圆柱内电荷体密度为 (r).其 0 1(f(r,a)22 中，r 是到轴线的距离，0是轴线上的电荷体密度，a 为常数，求圆柱体内 的电场分布. 解：根据场源是轴对称性的, 取一圆柱形的高斯面 0 i S q SdE 上上 上sss sdEsdEsdE lrE2 rr rldr ar dVr 0 22 0 0 0 00 i 2 )/(1 ( 1 )( 1 q r dr ra ral 0 222 0 2 0 )( 2 22 2 0 2 0 ra ral 22 0 2 0 2ra ra E 8-14 一电偶极子由=1.010-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离q d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0105NC-1的外电场中，求外电场作用 于电偶极子上的最大力矩 解: 电偶极子在外场中受力矩p E EpM 代入数字qlEpEM max 4536 max 100 . 2100 . 1102100 . 1 MmN 8-15 两点电荷=1.510-8C，=3.010-8C，相距=42cm，要把它们 1 q 2 q 1 r 之间的距离变为=25cm，需作多少功? 2 r r 解: 2 2 2 1 0 21 2 0 21 44 d d r r r r qq r rqq rFA ) 11 ( 21 rr 6 1055 . 6 J 外力需作的功 6 1055. 6 AAJ 题 8-16 图 8-16 如题8-16图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，ABqq 间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，ABR 0 qOC 求移动过程中电场力作的功 解: 如题 8-16 图示 0 4 1 O U0)( R q R q 0 4 1 O U) 3 ( R q R q R q 0 6 R qq UUqA o CO 0 0 6 )( 8-17 电荷 q 均匀分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r(rR)处的电 势为 U Q(3R2r2) 80R3 证: 场的分布具有球对称性, 取同心球面为高斯面 0 i S q SdE rR: , 0 2 2 4 q rE r r q E 3 0 2 4 R rRr dr r q rdr R q rdEU 2 0 3 0 44 24 22 3 0 rR R q U R q 0 4 3 0 22 8 )3( R rRq 8-18 电量 q 均匀分布在长 2l 的细直线上.试求：(1)带电直线延长线上离中 点为 r 处的电势；(2)带电直线中垂线上离中点为 r 处的电势. 解： 如图所示 (1)在带电直线上取线元，其上电量xd 在点产生电势为qdP xr x l q UP d 24 1 d 0 lr l l q xr x l q UU l l PP r ln 8 d 8 d 00 (2)同理 22 0 d 24 1 d xr x l q UP 2/122 0 )( d 8 d rx x l q UU l ll QQ r rll l q 22 0 ln 4 8-19 如题8-19图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直 导线的长度和半圆环的半径都等于试求环中心点处的场强和电RO 势 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强ABCDO 互相抵消，取ddRl 则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向ddRq OE dOy 0 dx B Q P A dU r r y x 题 8-19 图 cos 4 d d 2 2 2 0 R R EE y R 0 4 ) 2 sin( 2 sin R 0 2 (2) 电荷在点产生电势，以ABO0 U A B 2 000 1 2ln 44 d 4 d R R x