大学物理下册第10章课后题答案

习题 10-3 图 第第 10 章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 习习 题题 一一 选择题选择题 10-1 当一个带电导体达到静电平衡时， (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D 解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部 与表面的电势相等。 10-2 将一个带正电的带电体 A 从远处移到一个不带电的导体 B 附近，导体 B 的电势将 (A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A 解析：不带电的导体 B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体 A 移到不 带电的导体 B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势 将高于无穷远处，因而正确答案为（A） 。 10-3 将一带负电的物体 M 靠近一不带电的导体 N，在 N 的左端感应出正电 荷，右端感应出负电荷。若将导体 N 的左端接地（如图 10-3 所示） ，则 (A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N 上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A 解析：带负电的带电体 M 移到不带电的导体 N 附近的近端感应正电荷；在远端 M N 感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体 N 的电势小于 0， 即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体 N，或导体 N 的负电荷入地。 故正确答案为（A） 。 10-4 如图 10-4 所示，将一个电荷量为 q 的点电荷放在一个半径为的不带R 电的导体球附近，点电荷距导体球球心为 d。设无穷远 处为零电势，则在导体球球心 O 点有 (A) ， (B) ，0E = 0 4 q V d 2 0 4 q E d 0 4 q V d (C) ， (D) ， 0E =0V = 2 0 4 q E d 0 4 q V R 答案：A 解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此。导体0E = 球球心 O 点的电势为点电荷 q 及感应电荷所产生的电势叠加。感应电荷分布于 导体球表面，至球心 O 的距离皆为半径 R，并且感应电荷量代数和为 0，因q 此。由此在导体球球心 O 点的电势等于点电荷 q 在 O 点处的 0 0 4 q V R 感应电荷 电势。 0 4 q V d 10-5 如图 10-5 所示，两个同心球壳。内球壳半径为 R1，均匀带有电量 Q； 外球壳半径为 R2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接设地为电势零 点，则在内球壳里面，距离球心为 r 处的 P 点的电场强度大小及电势分别为 (A) ， 0E = 01 4 Q V R (B) ，0E = 012 11 () 4 Q V RR (C) ， 2 0 4 Q E r 0 4 Q V r (D) ， 2 0 4 Q E r 01 4 Q V R 答案：B q R O d 习题 10-4 图 r 1 R 2 R Q P 习题 10-5 图 解析：根据静电场的高斯定理，同心球壳的电场强度大小分布为 0 d i i S q E S A ，则点 P 的电场强度为，电势 11 122 2 0 0,0 , 4 rRE Q RrRE r 0E = 。 12 1 12 0 012 11 dd() 4 RR R Q VE rEr RR 10-6 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘 工具拉开一些距离，则下列说法正确的是 (A) 电容器极板上电荷面密度增加 (B) 电容器极板间的电场强度增加 (C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板间的电势差增大 答案：D 解析：电容器极板上电荷面密度，平板电荷量及面积没有变化，因此电容 Q S 器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度，电容器极板间的电 0 E 场强度不变。平行极板电容，两极板间距离增加，则电容减小。电容器 0 S C d 极板间的电势差，电场强度 E 不变，距离 d 增大，则电势差增大。因而UEd 正确答案为（D） 。 10-7 在静电场中，作闭合曲面 S，若有（式中为电位移矢量）d0 S DS A D ，则 S 面内必定 (A) 既无自由电荷，也无束缚电荷 (B) 没有自由电荷 (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 (D) 自由电荷的代数和为零 答案：D 解析：根据有电介质时的高斯定理，可知 S 面内自由电荷的代d i S i Q A DS 数和为零。 10-8 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是 (A) 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的 电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的倍1 r (B) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的倍1 r (C) 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时 该点电场强度的倍1 r (D) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的倍 r 答案：A 解析：各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的倍。1 r 10-9 把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接。然后在两极板之间 充满相对电容率为的各向同性均匀电介质，则 r (A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小 (C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加 答案：D 解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空 中电场强度不变化，因而各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度 U E d 的倍，也不变化。各向同性介质中的电容器静电能，相对于1 r 2 0 1 2 r WE V 真空中电容器静电能有所增加。故正确答案为（D） 。 10-10 和两空气电容器并联起来接上电源充电。然后将电源断开，再 1 C 2 C 把一电介质板插入中，如图 10-10 所示，则 1 C (A) 和极板上电荷都不变 1 C 2 C (B) 极板上电荷增大，极板上电荷不变 1 C 2 C (C) 极板上电荷增大，极板上电荷减少 1 C 2 C (D) 极板上电荷减少，极板上电荷增大 1 C 2 C 答案：C 解析：和为并联，则电容器两端电势差相等。中插入一电介质，则的 1 C 2 C 1 C 1 C 电容增大（） ，极板上电荷增大（） 。由于电源断开，和 0r CC 1 CQCU 1 C 1 C 2 C 习题 10-10 图 两端总电荷量不变，因此极板上电荷减少。故正确答案为（C） 。 2 C 1 C 二二 填空题填空题 10-11 任意形状的导体，其电荷面密度分布为 （x,y,z） ，则在导体表面外附 近任意点处的电场强度的大小 E（x,y,z）= ，其方向 。 答案：；垂直导体表面 0 ( , , )x y z 解析：处于静电平衡的导体表面附近的电场强度正比于电荷面密度，因而 ，方向垂直于导体表面。 0 ( , , ) ( , , ) x y z E x y z 10-12 如图 10-12 所示，同心导体球壳 A 和 B，半径分别为，分别带 12 RR、 电量，则内球 A 的电势=_；若把内球 A 接地，则内球 AqQ、 A V 所带电量_。 A q 答案：； 0102 44 qQ RR 1 2 R Q R 解析：根据静电场的高斯定理， 0 d i i S q E S A 同心球壳的电场强度大小分布为，则内球 A 的电势 11 122 2 0 23 2 0 0,0 , 4 , 4 rRE q RrRE r qQ rRE r 。若把内球 A 接地，则内球 A 的 12 12 123 0 012 ddd() 4 RR A RR QqQ VE rErE r RR 电势，解得。 012 ()0 4 A A qQQ V RR 1 2 A R qQ R 10-13 如图 10-13 所示，在真空中将半径为 R 的金属球接地，在与球心 O 相距为 r ( rR )处放置一点电荷 q，不计接地导线上电荷的影响，则金属球表 B Q q A 2 R 1 R 习题 10-12 图 面上的感应电荷总量为 ，金属球表面电势为 。 答案：；0 R q r 解析：金属球接地，则金属球的电势为 0。金属球 球心电势为， 00 0 44 q Qq VVV rR 感应 感应 解得，感应电荷总量为。金属球表面是一个等势面，电势与地的电势 R Qq r 感应 相等，电势为 0。 10-14 两带电导体球半径分别为 R 和 r(Rr)，它们相距很远，用一根导线连 接起来，则两球表面的电荷面密度之比= 。: Rr 答案： r R 解析：导体表面的电荷面密度反比与曲率半径，因此。: Rr r R 10-15 对下列问题选取“增大” 、 “减小” 、 “不变”作答。 （1）平行板电容器 保持板上电量不变（即充电后切断电源） 。现在使两板的距离增大，则：两板间 的电势差_,电场强度_,电容_，电场能量 _。 （2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着） 。则两板 间距离增大时，两板间的电场强度_，电容_，电场能量 _。 答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小 解析：（1）保持板上电量 Q 不变，使两板的距离 d 增大。电容器极板上电荷面 密度，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变， Q S 并且极板间的电场强度，电容器极板间的电场强度不变。电容器极板间 0 E 的电势差，电场强度 E 不变，距离 d 增大，则电势差增大。平行极板电UEd 容，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量，电荷量 Q 不 0 S C d 2 2 e Q W C 变，C 减小，则电场能量增大。 e W R -q r 习题 10-13 图 （2）保持两板间电压 U 不变，使两板的距离 d 增大。则极板间的电场强度 ，电容器极板间的电场强度减小。平行极板电容，两极板间距离 U E d 0 S C d 增加，则电容减小。电场能量，电压 U 不变，C 减小，则电场能量 2 1 2 e WCU 减小。 e W 10-16 一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质。已知相对电容率 为，若极板上的自由电荷面密度为，则介质中电位移的大小 D= r ，电场强度的大小 E= ，电场的能量密度= 。 e w 答案：； 0r 2 0 2 r 解析：根据电介质中的高斯定理，得电位移矢量的大小。由于d S D Sq A D ，因此电场强度的大小。电场的能量密度 0r DE 0r E 。 2 22 0 00 222 r e rr wE （） 10-17 在电容为的空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距 0 C 离一半的金属板，则电容器的电容C= 。 答案： 0 2C 解析：插入金属板后，电容成为两电容和串联，且 0 C 1 C 2 C 。因此等效电容为。 1200 4 1 4 S CCC d 0 12 1 2 11 CC CC 10-18 一平板电容器，两极板间是真空时，电容为，充电到电压为时， 0 C 0 u 断开电源，然后将极板间充满相对电容率为的均匀电介质则此时电容 r _，电场能量 _。C e W 答案：； 0rC 2 00 2 r C u 解析：电容器的电容仅与电容器的大小、形状及填充的电介质有关，将极板间 充满相对电容率为的均匀电介质时，电容为。断开电源后，两极板上 r 0 = r CC 的电荷量不变化，因此电场能量。 222 0000 0 () 222 e rr C uC uQ W CC 10-19 一平行板电容器两极板间距离为，电荷面密度为，将一块相对d 0 电容率为,厚度为均匀电介质插入到两极板间(见图 10-19)，则电容器的2 r 2 d 两极板间电压是插入前的_倍，电容器的电容是插入前的_倍， 电容器储存的电能是插入前的_倍。 答案：； 3 4 4 3 3 4 解析：电介质内部的电场强度， 00 2 r EE E 插入电介质后两极板间电压，插入前两极板间电压为 00 3 224 dd UEEE d ，因此电容器的两极板间电压是插入前的倍。电容器的电容， 0 UE d 3 4 Q C U 电荷量 Q 不变，电容与电压 U 成反比，因此，电容器的电容是插入前的倍。 4 3 电容器储存的电能，与电压 U 成正比，因此，电容器储存的电能是 1 2 e WQU 插入前的倍。 3 4 三三 计算题计算题 10-20 两块大金属板 A 和 B，面积均为 S，两块板平行地放置，间距为 d ，d 远小于板的尺度。如图 10-20 所示，现使 A 板带电 QA，B 板带电 QB 。在忽 略边缘效应的情况下，试求： （1）A、B 两板各个表面上的电量； （2）A、B 两板的电势差； （3）若 B 板外侧接地，A、B 两板各个表面上的电量又是如何分布？两 板的电势差是多少？ 解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为 0，则 d 2 d + 习题 10-19 图 AB d A Q B Q 习题 10-20 图 12340 12340 :/20 :/20 A B 12 34 A B SQ SQ 1423 ()/2()/2 ABAB QQSQQS 1423 ()/2()/2()/2 ABABBA QQQQQQQQQQ （2） 3124 1234 00000 22222 AB QQ EEEEE S 0 2 AB AB QQ UE dd S （3）B 板外侧接地，则 4 0 1230 1230 12 /20 /20 () A SQ 1423 0 AA QQQQQQ 2 000 2 AA AB QQ EUE dd SS 10-21 如图 10-21 所示，半径为的金属球，带电量 1 0.01 mR ，球外套一内外半径分别和的同心金 10 1 1 10 CQ 2 2 3 10 mR 2 3 4 10 mR 属球壳，壳上带电，求：(1)金属球和金属球壳的电势差；(2)若 10 2 11 10 CQ 用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳的电势各为多少？ 解：根据高斯定理，电场强度分布为： 1 121 2 0 12 32 2 0 , 4 , 4 Q RrRE r QQ rRE r (1) 22 11 11 1 2 0012 111 dd60 44 RR AB RR QQ UE rrV rRR 3 R 2 R 1 R 1 Q 2 Q O 习题 10-21 图 (2) 33 1212 2 22 003 1 dd270 44 B RR QQQQ VErrV rR 270 AB VVV 10-22 半径为的导体球带有电荷 Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其 0 R 内、外半径分别为和，相对电容率为，如图 10-22 所示，求：（1）空间 1 R 2 R r 的电位移和电场强度分布；（2）介质内的表面上的极化电荷面密度。 解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球的 表面，球内部没有电荷 根据有电介质的高斯定理， i i S DdSQ A ， 2 01 40rRDr时， 1 0D 1 0 0 r D E ， 2 012 4RrRDrQ时， 2 2 4 Q D r 2 2 2 00 (1) 4 r r DQ E r ， 2 123 4RrRDrQ时， 3 2 4 Q D r 2 3 2 00 4 rr DQ E r ， 2 24 4rRDrQ时， 4 2 4 Q D r 4 4 2 00 (1) 4 r r DQ E r 因此，空间的电位移和电场强度分布为： 0 R 2 R 1 R 习题 10-22 图 ， 0 0 2 0() () 4 rR D Q rR r 0 01 2 0 12 2 0 2 2 0 0() () 4 () 4 () 4 r rR Q RrR r EQ RrR r Q rR r （2）介质内表面（）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相反，因 1 rR 此，其面密度为： 1031 22 11 11 (1)() 44 rr r rr QQ E R RR 介质外表面（）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相同，因此，其 2 rR 面密度为： 2032 22 22 11 (1)() 44 rr r rr QQ E R RR 10-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为 100 km，求地 球电离层系统的电容。 （设地球和电离层之间为真空） 解：已知6371 km100 km+RdRRd 地球地球电离 ， ， 设地球-电离层分别带点Q 则根据高斯定律，地球-电离层间的电场强度为： 2 0 4 Q E r 2 00 111 dd60 44 RR RR QQ UE rrV rRR 电离电离 地球地球 地球电离 2 0 44.58 10F RRQ C URR 地球电离 地球电离 10-24 如图 10-24 所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为 d，导线 半径都是 R（） 。导线上电荷线密度分别为和。试求（1）两导线dR 间任一点 P 的电场强度；（2）两导线间的电势差；（3）该导体组单位长度的 电容。 x O d x P 习题 10-24 图 解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为的导线在 点 P 处电场强度计算如下： 00 1 2 2 xh EhE x 方向沿 x 轴正方向， 0 2 Ei x 同理，电荷线密度为的导线在点 P 处电场强度为： 0 2() Ei dx 因此，两导线间任一点 P 的电场强度为： 00 () 22() EEEi xdx （2）根据电势差的定义，两导线间的电势差为： 000 d()dln 22() d R R dR UE rx xdxR （3）该导体组单位长度的电容为： 0 0 1 lnln Q C dRdR U RR 10-25 如图 10-25 所示， 一平板电容器充满两层厚度各为 d1和 d2的电介质， 它们的相对电容率分别为和，极板的面积为 S。求：（1）电容器的电容； 1r 2r （2） 当极板上的自由电荷面密度为时，两介质分界面上的极化电荷的面密度； 0 （3）两层介质的电位移。 解：（1）设两板分别带的电荷Q 两板间没有电介质时的电场强度为： 0 000 /Q SQ E S 放入电介质后，相对电容率分别为的 1 d 2 d 1r 2r 习题 10-25 图 电介质中电场强度为： 0 1 101rr EQ E S 相对电容率分别为的电介质中电场强度为： 0 2 202rr EQ E S 则两板间的电势差为： 12 1122 012 () rr ddQ UE dEd S 电容器的电容为： 01212 0122112 /() rr rrrr dddQQ CQ USdd （2）相对电容率分别为的电介质的界面上，极化电荷面密度为： 1r 01 101100 011 (1) (1)(1) r rr rr E 相对电容率分别为的电介质的界面上，极化电荷面密度为： 2r 02 202200 022 (1) (1)(1) r rr rr E （3）相对电容率分别为的电介质的电位移为： 1r 0 1011010 01 rr r