2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（理科）含答案解析

2017 年湖北省新联考高考数学四模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1已知集合 A=x|y= ， B=x|x 0，则 A B=（ ） A x|x 0 B x|0 x 1 C x|x 1 D x|x 0 或 x1 2设复数 z 满足 z（ 1+i） =i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 1 D 3在 1， 2内任取一个数 a，则点（ 1， a）位于 x 轴下方的概率为（ ） A B C D 4若 x 23 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）A 3， 3 B（ ， 3 3， + ） C（ ， 1 1， + ） D 1， 1 5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 6已知直线 l 过双曲线 ： =1（ a 0， b 0）的一个焦点且与 的一条渐近线平行，若 l 在 y 轴上的截距为 a，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 2 7已知定义 x表示不超过的最大整数，如 2=2， 2， 2=2，执行如图所示的程序框图，则输出 S=（ ） A 1991 B 2000 C 2007 D 2008 8若 ，则 ） A 1 B C D 9如图所示，单位位圆上的两个向量 相互垂直，若向量 满足（ ）（ ）=0，则 | |的取值范围是（ ） A 0， 1 B 0， C 1， D 1， 2 10直线 y=4， k 0 与抛物线 x 交于 A， B 两点，与抛物线的准线交于点 C，若 k=（ ） A B C 2 D 11已知函数 f（ x） =2x+），且 f（ x） ，则下列说法正确的是（ ） A f（ x）的一条对称轴为 x= B存在 使得 f（ x）在区间 ， 上单调递减 C f（ x）的一个对称中心为（ ， 0） D存在 使得 f（ x）在区间 ， 上单调递增 12设定义在 R 上的可导函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若 f（ 3） =1，且 3f（ x） + x） x+1），则不等式（ x 2017） 3f（ x 2017） 27 0 的解集为（ ） A（ 2014， + ） B（ 0， 2014） C（ 0， 2020） D（ 2020， + ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13（ 1+x） 2017 的展开式中， 系数为 （用数字作答） 14已知点（ x， y）满足约束条件 ，则 的取值范围为 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ a） =f（ b）（ 0 a b），则当取得最小值时， f（ a+b） = 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 = ，则2最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17已知等差数列 足 1，其前 n 项和 足 6Sn= （ 1）求数列 通项公式及前 n 项和 （ 2）设数列 足 ，且其前 n 项和为 明： 18如图 1，四边形 ， ， ，过点C 作 足为 O，将 起，如图 2 使得平面 平面成的二面角的大小为 （ 0 ）， E， F 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 = ，求二面角 F O 的余弦值 19随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访， 5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购， 2名倾向于选择实体店， 5 名 女性购物者中有 2 名倾向于选择网购， 3 名倾向于选择实体店 （ 1）若从 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率； （ 2）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X 的分布列和数学期望 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）过点 A（ 0， 3），与双曲线 =1有相同的焦点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 A 点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆 C 于 P， Q 两点，则 否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请 说明理由 21已知函数 f（ x） =8ax+b（ a， b R） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x，求 a， b 的值；（ 2）若 a 1，证明： （ 0， + ），且 有 14 成立 选修 4数方程与极坐标系 22在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 24=0 （ 1）若直线 l 与曲线 C 没有公共点，求 m 的取值范围； （ 2）若 m=0，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 2a|+|x+ | （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ 2）若不等式 f（ x） m+2 对任意实数 x 及 a 恒成立，求实数 m 的取值范围 2017 年湖北省新联考高考数学四模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1已知集合 A=x|y= ， B=x|x 0，则 A B=（ ） A x|x 0 B x|0 x 1 C x|x 1 D x|x 0 或 x1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求函数定义域得集合 A，解不等式得集合 B，根据交集的定义写出 AB 【解答】 解：集合 A=x|y= =x|x 0， B=x|x 0=x|x 0 或 x 1， 则 A B=x|x 1 故选： C 【点 评】 本题考查了求函数定义域和解不等式的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题 2设复数 z 满足 z（ 1+i） =i（ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 1 D 【考点】 复数求模 【分析】 先求出复数 z，然后利用求模公式可得答案 【解答】 解：由 z（ 1+i） =i 得 z= = = + i， 则则 |z|= = ， 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题 3在 1， 2内任取一个数 a，则点（ 1， a）位于 x 轴下方的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解：在 1， 2内任取一个数 a，则点（ 1， a）位于 x 轴下方的概率为= ， 故选： C 【点评】 本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键4若 x 23 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）A 3， 3 B（ ， 3 3， + ） C（ ， 1 1， + ） D 1， 1 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可【解答】 解： x 23 是 1 x 4 的必要不充分条件， （ 1， 4） （ 23， + ）， 23 1， 解得 1 m 1， 故选： D 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键 5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图 ，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为 1，高为 4，半球的半径为 1，即可求出几何体的体积 【解答】 解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体， 其中半圆柱的底面半径为 1，高为 4，半球的半径为 1， 几何体的体积为 = ， 故选 C 【点评】 本题考查三视图，考查几何体体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题 6已知直线 l 过双曲线 ： =1（ a 0， b 0）的一个焦点且与 的一条渐近线平行，若 l 在 y 轴上的截距为 a，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用已知条件，求出直线方程，代入焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可 【解答】 解：不妨设直线 l 过双曲线的左焦点（ c， 0），要使 l 在 y 轴上的截距为：为 a，直线 l 方程： y= ，直线经过（ c， 0），可得 ，可得 ， e，平方化简解得 e= 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 7已知定义 x表示不超过的最大整数，如 2=2， 2， 2=2，执行如图所示的程序框图，则输出 S=（ ） A 1991 B 2000 C 2007 D 2008 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的 i， i=10 时，退出循环，输出的 S 的值为 2000 【解答】 解： i=1， s=2017， i=2； s=2016， i=3； s=2016， i=3； s=2016， i=4， s=2016， i=5； s=2015， i=6； s=2010， i=7； s=2009， i=8； s=2008， i=9； s=2007， i=10； s=2000，跳出循环，输出 s=2000， 故选： B 【点评】 本题考查程序框图和算法，考查学生的运算能力 8若 ，则 ） A 1 B C D 【考点】 三角函数的化简 求值 【分析】 利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值 【解答】 解： ，则 = = ， 故选： D 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题 9如图所示，单位位圆上的两个向量 相互垂直，若向量 满足（ ）（ ）=0，则 | |的取值范围是（ ） A 0， 1 B 0， C 1， D 1， 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先由条件可得出 ， | |= ，这样便可由 得出 ，从而得出 的取值范围 【解答】 解：由条件， ， ； ； ； ； ； 的取值范围为 故选 B 【点评】 考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式 10直线 y=4， k 0 与抛物线 x 交于 A， B 两点，与抛物线的准线交于点 C，若 k=（ ） A B C 2 D 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得 ，代入计算即可求得 k 的值 【解答】 解：如图，过 点作抛物线的准线抛物线的准线的垂线，设 A（ x1， B（ 则 ，整理得： 8k+2 ） x+16=0， 则 x1+， ， 显然 ，则 = = ， 由抛物线的定义得： = = ， = ，整理 得： 4 x1+ ， ， 则 + ，由 ，则（ + ）（ ） = ，由 k ， 0 解得： k= ， 或将选项一一代入验证，只有 A 成立， 故选： A 【点评】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，计算量大，计算过程复杂，考查数形结合思想，属于中档题 11已知函数 f（ x） =2x+），且 f（ x） ，则下列说法正确的是（ ） A f（ x）的一条对称轴为 x= B存在 使得 f（ x）在区间 ， 上单调递减 C f（ x）的一个对称中心为（ ， 0） D存在 使得 f（ x）在区间 ， 上单调递增 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 利用 f（ x） =2x+）， f（ x） 出 值，然后找出分析选项，即可得出结论 【解答】 解： f（ x） =2x+）， f（ x） 2x+） = +）+ ， ，解得 = +k Z 令 2x +k=n Z，可 得 x= （ n k） + ， 令 （ n k） + = ， = ，矛盾； 令 22x +2k 为奇数，单调减区间为 + +不符合题意， k 为偶数，单调减区间为 + +不符合题意； 令 2x +x= +（ m k） = ， = ，矛盾； 令 +22x +2+2k 为奇数，单调减区间为 + +符合题意 故选 D 【点评】 本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属 于中档题 12设定义在 R 上的可导函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若 f（ 3） =1，且 3f（ x） + x） x+1），则不等式（ x 2017） 3f（ x 2017） 27 0 的解集为（ ） A（ 2014， + ） B（ 0， 2014） C（ 0， 2020） D（ 2020， + ） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数的运算 【分析】 利用函数的可导性，构造函数 g（ x） =x），利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可 【解答 】 解：定义在 R 上的可导函数 f（ x）的导函数为 f（ x）， 3f（ x） + x） x+1）， 所以 3x） + x） x+1） 0（ x 0），可得 x） 0， 所以函数 g（ x） =x）在（ 0， + ）是增函数， 因为（ x 2017） 3f（ x 2017） 27 0，且 f（ 3） =1， 所以（ x 2017） 3f（ x 2017） 33f（ 3），即 g（ x 2017） g（ 3）， 所以 x 2017 3，解得 x 2020 则不等式（ x 2017） 3f（ x 2017） 27 0 的解集为：（ 2020， + ） 故选： D 【点评】 本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13（ 2016 x）（ 1+x） 2017 的展开式中， 系数为 1 （用数字作答）【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用二项展开式的通项公式，求得（ 1+x） 2017 的展开式的通项公式，可得（ 2016 x）（ 1+x） 2017 的展开式中， 系数 【解答】 解：由于（ 1+x） 2017 的展开式的通项公式为 = 分别令 r=2017， r=2016， 可得（ 2016 x）（ 1+x） 2017 的展开式中 系数为 2016 =2016 2017= 1， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 14已知点（ x， y）满足约束条件 ，则 的取值范围为 ， 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合 z= 的几何意义求出其范围即可 【解答】 解：不等式组表示的可行域如图： z= 的几何意义是可行域内的点与（ 3， 0）连线的斜率：结合图形可知在 A 处取得最大值，在 B 处取得最小值，由： 解得 A（ 2， 4）， z= 的最大值为： ； 由 解得 B（ 1， 3）， z= 的最小值为： 则 的取值范围为 ， 故答案为： ， 【点评】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，判断目标函数的几何意 义是解题的关键，是一道中档题 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ a） =f（ b）（ 0 a b），则当取得最小值时， f（ a+b） = 1 2 【考点】 基本不等式 【分析】 根据函数的性质可得 ，再根据基本不等式得到 当取得最小值，a， b 的值，再代值计算即可 【解答】 解：由 f（ a） =f（ b）可得 ，即 ， 则 = =4a+b 2 =4，当且仅当 b=4a 时， 取得最小值， 由 ，可得 a= ， b=2， f（ a+b） =f（ ） =1 2 故答案为： 1 2 【点评】 本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 = ，则2最小值为 1 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用余弦定理化简已知等式可求 b2+a2=而利用余弦定理可求，可得 A= ， C= B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 2 B+ ），进而利用正弦函数的图象和性质可求最小值 【解答】 解：在 ， = ， = ，整理可得： b2+a2= = ， A= ， C= B， 2 B） 2 B+ ） 1，当 B+ = 时等号成立， 即当 B= ， C= 时， 2最小值为 1 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解 三角形中的综合应用，考查了学生的运算求解能力和转化思想，属于基础题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17已知等差数列 足 1，其前 n 项和 足 6Sn= （ 1）求数列 通项公式及前 n 项和 （ 2）设数列 足 ，且其前 n 项和为 明： 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）当 n=1、 2 时，解得 用公差 d=可得 an= n 1） d=3n 1 （ 2）由（ 1）可得 n 1利用 “裂项求和 ”即可得出数列 前 n 项和 解答】 解：（ 1） 6Sn=， 6a1=， 解得 或 1， 当 n=2 时， 6S2=，即 6（ 2+=，解得 或 2（舍） 等差数列 公差 d= an= n 1） d=3n 1 前 n 项和 （ 2） ， 前 n 项和为 Tn=b1+b2+ + = 0， ， 【点评】 本题考查了递推式的应用、等差数列的定义与通项公式、 “裂项求和 ”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18如图 1，四边形 ， ， ，过点C 作 足为 O，将 起，如图 2 使得平面 平面成的二面角的大小为 （ 0 ）， E， F 分别为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 = ，求二面角 F O 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）过点 E 作 点 H，连结 导出平面 平面 此能证明 平面 （ 2）由题得平面 平面 成二面角的平面角为 ，连结 点 F 为坐标原点，以 别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F O 的余弦值 【解 答】 证明：（ 1）过点 E 作 点 H，连结 则 H 为 点， 平面 面 平面 同理， 平面 ， 平面 平面 平面 平面 解：（ 2）由题得平面 平面 成二面角的平面角为 ， 连结 = ， ， ， 以点 F 为坐标原点，以 别为 x， y， z 轴，建 立空间直角坐标系，则 F（ 0， 0， 0）， B（ 0， 0， ）， D（ 1， 2， 0）， O（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=2，解得 =（ 2， 1， 0） 同理得平面 一个法向量 =（ ， 1）， 设二面角 F O 的平面角为 ， = = ， 二面角 F O 的余弦值为 【点评】 本题考查空间直线与增面的位置关系、空间角、数学建模，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思 想、数形结合思想，是中档题 19随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访， 5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购， 2名倾向于选择实体店， 5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购， 3 名倾向于选择实体店 （ 1）若从 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率； （ 2）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变 量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设 “至少 1 名倾向于选择实体店 ”为事件 A，则 表示事件 “随机抽取 2 名，（其中男、女各一名）都选择网购 ”，则 P（ A） =1 P （ 2） X 的取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=k） = ，即可得出 【解答】 解：（ 1）设 “至少 1 名倾向于选择实体店 ”为事件 A， 则 表示事件 “随机抽取 2 名，（其中男、女各一名）都选择网购 ”， 则 P（ A） =1 P =1 = （ 2） X 的取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=k） = ， P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = E（ X） =0 +1 +2 +3 = 【点评】 本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）过点 A（ 0， 3），与双曲线 =1有相同的焦点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 A 点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆 C 于 P， Q 两点，则 否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的 c，由 A 点，可得 b，求得 a，即可得到椭圆方程； （ 2）设 P（ Q（ 直线 斜率为 k，直线 斜率为，直线 方程为 y=，代入椭圆方程，求得 P 的坐标， k 换为 ，可得 Q 的坐标，求出直线 斜率，以及方程，整理可得恒过定点 【解答】 解：（ 1）双曲线 =1 的焦点坐标为（ 3 ， 0），（ 3 ， 0），可得椭圆中的 c=3 ，由椭圆过点 A（ 0， 3），可 得 b=3， 则 a= =6， 则椭圆的方程为 + =1； （ 2）设 P（ Q（ 直线 斜率为 k，直线 斜率为， 直线 方程为 y=，代入椭圆 36=0， 可得（ 1+44， 解得 ， y1= ， 即有 P（ ， ）， 将上式中的 k 换为 ，可得 Q（ ， ）， 则直线 斜率为 = ， 直线 方程为 y = （ x+ ）， 可化为 x（ 1）（ 5y+9） k=0， 可令 x=0， 5y+9=0，即 x=0， y= 则 定点（ 0， ） 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的焦点坐标，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21已知函数 f（ x） =8ax+b（ a， b R） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x，求 a， b 的值；（ 2）若 a 1，证明： （ 0， + ），且 有 14 成立 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求导，由题意可知 ，即可求得 a， b 的值； （ 2）利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ），求导 f（ x） = +2x+6a，由曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x，则 ， 解得： 或 ， 则 a， b 的值 0， 1 或 ， ； （ 2）证明： 当 ， 则 0，欲证： （ 0， + ），都有 14 成立， 只需证 （ 0， + ），都有 f（ f（ 14（ 立， 只需证 （ 0， + ），都有 f（ 14f（ 14立， 构造函数 h（ x） =f（ x） 14x，则 h（ x） =2x+ +6a 14， 由 a 1，则 h（ x） =2x+ +6a 14 8a+6a 14 0， h（ x）在（ 0， + ）内单调递增，则 h（ h（ 立， f（ 14f（ 14立，则 14 成立； 当 ，则 0， 欲证： （ 0， + ），都有 14 成立， 只需证 （ 0， + ），都有 f（ f（ 14（ 立， 只需证 （ 0， + ），都有 f（ 14f（ 14立， 构造函数 H（ x） =f（ x） 14x，则 H（ x） =2x+ +6a 14， 由 a 1，则 H（ x） =2x+ +6a 14 8a+6a 14 0， H（ x）在（ 0， + ）内单调递增，则 H（ H（ 立， 14 成立， 综上可知： （ 0， + ），且 有 14 成立 【点评】 本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查分析法证明不等式，考查转化思想，属于中档题 选修 4数方程与极坐标系 22在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 24=0 （ 1）若直线 l 与