广东省东莞市2017届高三第二次模拟测试数学理试题含答案

东莞市 2017 届高三第二次模拟测试 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 1 4 0A x x x ， 2B x x，则 （ ） A 1,4 B 1,2 C 2,4 D 1,3 2已知复数 16 ，则下列说法 错误 的是（ ） A复数 z 的实部为 3 B复数 z 的虚部为 7 C复数 z 的模为 4 D复数 z 的共轭复数为 3 7i 3已知某学校有 1680 名学生，现在采用系统抽样的方法抽取 84 人，调查他们对学校食堂的满意程度，将 1680 人，按 1， 2， 3， 1680 随机编号，则在抽取的 84 人中，编号落在 61,160 内的人数为（ ） A 7 B 5 C 3 D 4 4九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一 种标准量器 商鞅同方升，其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为（ ） A 252 B 189 C 126 D 63 5函数 s i n 43的图象的一条对称轴方程是（ ） A 1124x B8x C4x D 1124x 6已知单位向量 夹角为 120 ，则 3 ） A 3 B 23 C 13 D 15 7已知等比数列 n 项积为2 3 2 7l o g l o g 2，则9 ） A 512 B 512 C 1024 D 1024 8运行如图所示的程序框图，若输出的 k 的值为 13，则判断框中可以填（ ） A 7?m B 7?m C 8?m D 9?m 9已知过原点的直线13 1 0 垂直，圆 C 的方程为2 2 22 2 1 2x y a x a y a （ 0a ），若直线 1l 与圆 C 交于 M ， N 两点，则当 心 C 的坐标为（ ） A 55,22B 33,22C 11,22D 1,1 10已知函数 2 2 , 2 0 ,1 1 , 0 2 ,x x x x ，则关于 x 的方程 0x f x在 2,2 上的根的个数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 11已知 F 为双曲线 C ： 221（ 0a ， 0b ）的右焦点，1l，2 的两条渐近线，点 A 在11FA l，点 B 在21FB l，若 45B，则双曲线 ） A 5 B 52C 52或 352D 52或 5 12已知函数 x nf x （ 0m ， R ）在 0, 上不单调，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A 3, B 4, C ,3 D ,4 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知实数 x ， y 满足 3,2 6,8, 则 14 22 612x 的展开式中， 2x 的系数为 （用数字作答） 15如图所示，三棱锥 P 中， 边长为 3 的等边三角形， D 是线段 中点， B EI ，且 B ，若 120 ， 32 332则三棱锥 P 的外接球的表面积为 16已知数列 n 项和为 1a，2 2S ，且1，1（ 0 ），2n S 成等数列，则数列 22的前 n 项和 （用含有 的式子表示） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 ，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， s s ， 7b . （ ）若6B ，证明： ； （ ）若 B 为钝角， 12B ，求 上的高 . 18为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据 中，随机抽取了 8 组数据作为研究对象，如下图所示（ x （吨）为买进蔬菜的质量， y （天）为销售天数）： x 2 3 4 5 6 7 9 12 y 1 2 3 3 4 5 6 8 （ ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图； （ ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a； （ ）根据 （）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进 25 吨，则预计需要销售多少天 . 参考公式： 121x y 1221n x yx n x， a y . 19 已知多面体 ，四边形 平行四边形， 平面 且 2，1C， 2F ， D . （ ）求证：平面 平面 （ ）若直线 平面 成的角的正弦值为 33，求 值 . 20已知椭圆 C ： 221（ 0 ）过点 31,2，且离心率为 12，过点 1,0P 的直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点 . （ ）求椭圆的 C 的标准方程； （ ）已知 O 为坐标原点，且 R求 积的最大值以及此时直线 l 的方程 . 21已知函数 214 l x x m x（ 0m ） . （ ）若 1m ，求函数 （ ）若函数 4g x f x m x ，对于曲线 y g x 上的两个不同的点 11,M x g x ， 22,N x g x ，记直线 斜率为 k ，若 0k g x ，证明：1 2 02x x x. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 中，曲线1 3 c o s ,1 3 s i （ 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2 . （ ）求曲线1 （ ）若直线6（ R ）与曲线1 ， Q 两点，求线段 长度 . 23选修 4等式选讲 已知函数 31f x x x 的最小值为 m . （ ）求 m 的值以及此时的 x 的取值范围； （ ）若实数 p ， q ， r 满足 2 2 22p q r m ，证明： 2q p r. 东莞市 2017 届高三第二 次模拟测试 数学（理科）答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 15,8814 109 15 13 16 224 1 414n三、解答题 17解：（ ）依题意，由正弦定理可知 3. 由余弦定理，得 2 273 2 3 c o sc c B ， 故 2 7c ， 7，故 . （ ）因为 12B ，故 523B ，故 56B . 由余弦定理可得 2 273 2 3 c o sc c B ，解得 1c ， 3a . 由正弦定理可得 175s in s ，解得 7，故 213 s i . 18解：（ ）散点图如图所示： （ ）依题意， 1 23458x 6 7 9 1 2 6 ，1 1 2 3 48y 5 6 8 4 ， 8 214 9 1 6 2 5 3 6 4 9 8 1 1 4 4 3 6 4 ， 812 6 1 2 1 5 2 4 3 5 5 4 9 6 2 4 4 ， 818218y x 22 4 4 8 6 4 1 33 6 4 8 6 1 9 ， 1 3 2 461 9 1 9a ， 回归直线方程为 13 219 19. （ ）由（ ）知，当 25x 时， 13 2519y 2 1719. 即若一次性买进蔬菜 25 吨，则预计需要销售 17 天 . 19解：（ ）因为 平面 平面 所以 C . 又 2， 1C，所以 2 2 2A C A E E C，所以 C . 又 D AI ，所以 平面 因为 平面 所以平面 平面 （ ）以 A 为原点， 在直线为 x ， y 轴，过点 A 且垂直于平面 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 2AD a （ 0a ），则 0,0,0A ， 2, 0, 0C ，22, 0 ,E ， 22,， 设平面 一个法向量为 ,m x y z因为 2 , 0 , 0 22,A F au 所以 0,0,m F ur 2 0 ,22 0,xx a y z 取 2z ，得 1则 10 , , 2 又因为 22, 0 ,直线 平面 成的角为 ，则s i ma， 解得 1a （ 1a 舍去），故 2. 20解：（ ）依题意，221914， 12， 2 2 2a b c， 解得 2a ， 3b ， 1c ， 故椭圆 C 的标准方程为 22143. （ ）因为 R所以 O 为 中点，所以 2. 由题意知 ，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 1x ， 由 221,143x 得 223 4 6 9 0m y m y ，所以12 2634m ，12 2 934yy m . 又因直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，故 0 ，即 2 26 3 6 3 4 0 ， . 则1212M N R y y V 21 2 1 24y y y y 2212 134. 令 2 1，则 1t ， 221 2 134M N 21 2 1 2 1313tt ，令 13f t ，则函数 ,3上单调递增，故当 1t 时， 1, 上单调递增，因此有 14f t f，所以 3V ，故 积的最大值为 3，此时直线 l 的方程为1x . 21解：（ ）依题意， 244 xf x 22 . 令 0 ，即 20x ，解得 02x ， 故函数 0,2 . （ ）依题意， 4g x f x m x 214 4 ， 1 2 1 24 l n l ng x g x x x 221212 m x x 124 m x x 124 ln 1 2 1 212 m x x x x 124 m x x . 由题设得 12012g x g 12124 ln 121 42 m x x m . 又121282 1242xx m ， 所以 120 2x g 121 2 1 24 l n l n 8x x x 21212 1 2 124 l n l n x x x21222 1 11214 x ，21xt x ，则 1t ，则21221121 21tt t 1t . 令 21t 1t，则 221 01 ，所以 1, 上单调递增，所以 10h t h，故21221121l n 01，因此 120 02x g ，即 12 02g x . 又由 4 4g x m x 知 在 0, 上单调递减， 所以 1202，即1 2 02x x x. 22解：（ ）因为 3 3 c o s ,1 3 s i n , 故 2 23 1 9 ，故2223x y x 2 5 0y ，故曲线 1C 的极坐标方程为2 2 3 c o s 2 s 0. 因为 2 ，故 2 2 c o s ，故2220x y x （或写成 2 211 ） . （ ）设 P ， Q 两点所对应的极径分别为1，2，将6 （ R ）代入 2 2 3 c o s 2 s 0 中，整理得 2 2 5 0 ， 故122，12 5，故