第三章 智慧的数学

第三章第三章 智慧的数学智慧的数学 第一节第一节 七桥问题（一笔画问题）七桥问题（一笔画问题） 18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图 1 所示： 河中的小岛 A 与河的左岸 B、右岸 C 各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地 D 与 A、B、C 各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才 能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答 案，但是谁也解决不了这个问题。 七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。他把具体七桥布局化归 为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从 A、B、C、D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且 a、b、c、d、e、f、g 各条线 只画一次不准重复） ，并且最后返回起点？ 欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是 无解的。这个结论是如何产生呢？ 如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点 外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有 两条线与该点相连结。如果画笔经过一个 n 次，那么就有 2n 条线与该点相连结。因 此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。 如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的 两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。 综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只 有两个点与奇数条线相连。 26 图 2 中的 A 点与 5 条线相连结，B、C、D 各点各与 3 条线相连结，图中有 4 个 与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。 欧拉定理欧拉定理 ： 如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于 0 或或 2， 那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。 一笔画： 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最 后一定能以这个点为终点画完此图。 凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点） ，一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。 其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) 练习：练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。 （不走重复线路） 图例图例 1 图例图例 2 图例图例 3 图例图例 4 第三章 智慧的数学 27 第二节第二节 四色四色问题问题 人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的 政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。 这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一 试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以， 很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。 ”这就是“四色 问题”这个名称的由来。 四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上 不同的颜色。 ”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域 总可以用 1，2，3，4 这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。 ”（上右图）。 这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点 或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。 28 数学史上正式提出“四色问题”的时间是在 1852 年。当时伦敦的大学的一名学生法 朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无 法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界 的一个“悬案”。 一直到二十年前的 1976 年 9 月， 美国数学会通告正式宣布了一件震撼全球数学 界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色 问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为 2000 个特殊图的四 色问题，然后在电子计算机上计算了足足 1200 个小时，作了 100 亿判断，最后成功地 证明了四色问题，轰动了世界。 这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研 究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制 邮戳，以庆祝这一难题获得解决。 第三节第三节 麦比乌斯带麦比乌斯带 数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做 成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成 一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸 圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只 有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？ 对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究， 结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思 索、试验，也毫无结果。 第三章 智慧的数学 29 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的 风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下 去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺 着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐 以求的那种圆圈。 麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转 180，再将一端的正面和背 面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越 任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳 地证明了这个圈儿只有一个面。 ” 麦比乌斯圈就这样被发现了。 做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结 果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊. 实验一 如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把 这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。 实验二 如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线 剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？ 还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会 惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相扣环。 30 有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界 自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可 真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于 两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。 奇妙之处有三： 一、麦比乌斯环只存在一个面。 二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间 大一倍的、具有正反两个面的环（在本文中将之编号为：环 0），而不是形成两个麦比乌 斯环或两个其它形式的环。 三、如果再沿着环 0 的中间剪开，将会形成两个与环 0 空间一样的、具有正反 两个面的环，且这两个环是相互套在一起的（在本文中将之编号为：环 1 和环 2），从此 以后再沿着环 1 和环 2 以及因沿着环 1 和环 2 中间剪开所生成的所有环的中间剪开， 都将会形成两个与环 0 空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境且所生成的 所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立 存在。 数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特 征和规律的，麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。 麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原 理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。 第三章 智慧的数学 31 一、1979 年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这 样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使 得其寿命延长了整整一倍。 二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带 的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。 三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车它的 轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。 四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各 类标志设计。微处理器厂商 Power Architecture 的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾 回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。 垃圾回收标志 Power Architecture 标志 32 第四节第四节 分割图形分割图形 分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。 我们先来看一个简单的分割图形的题目分割正方形。 在正方形内用 4 条线段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的 9 块，这种图形我们常称为九宫格。 用 4 条线段还可以把一个正方形分成 10 块，只是和九宫格 不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用 4 条线段把正方形分成 10 块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画 其实，正方形是不难分割成 10 块的，下面就是其中两种分割方法。 练习：练习：想一想，用 4 条线段能将正方形分成 11 块吗？应该怎样分？ 第三章 智慧的数学 33 第五节第五节 数学故事数学故事 （1）奇特的墓志铭： 在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形：一个圆球镶嵌在一 个圆柱内。相传，它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。 在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率 的 35 位数值。这个数值被叫做。 “鲁道夫数” 。它是鲁道夫毕生心血的结晶。 大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正 17 边形。因为他是在完成了正 17 边形的尺规作图后，才决定献身于数学研究的 不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。他的墓碑上刻着一道 谜语般的数学题：“过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的 16 是幸福的童 年，生命的 112 是青少年时期。又过了生命的 1 7 他才结婚。婚后 5 年有了一个 孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活 了 4 年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”丢番图的年纪究竟 有多大呢？ 设他活了 X 岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个 方程就行了。 这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一个一元一次方程； 而这又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢番图献身的事业。 在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题，而丢 番图则不然，他是古希腊第一个大代数家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方 程的基本步骤，如移项、合并同类项，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道 了。他尤其擅长解答不定方 程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数 学 分支的开山鼻祖。 丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关于他的生平。后人几乎一无 所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才 知道他曾享有