系统辨识复习资料

1 请叙述系统辨识的基本原理（方框图）请叙述系统辨识的基本原理（方框图） ，步骤以及基本方法，步骤以及基本方法 定义定义：系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息重提取系统数学模型的一种理 论和方法。 辨识定义：辨识有三个要素数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型 类中选择一个与数据拟合得最好的模型 辨识的三大要素：输入输出数据、模型类、等价准则 基本原理基本原理： 步骤步骤：对一种给定的辨识方法，从实验设计到获得最终模型，一般要经历如下一些步骤： 根据辨识的目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结 构辨识；最后经过验证获得最终模型。 基本方法基本方法：根据数学模型的形式：非参数辨识经典辨识，脉冲响应、阶跃响应、频率 响应、相关分析、谱分析法。参数辨识现代辨识方法（最小二乘法等） 2 随机语言的描述随机语言的描述 白噪声白噪声是最简单的随机过程，均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： 谱密度： 白噪声序列，白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。 谱密度： M 序列序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随机二位式序列的一种形式。 M 序列的循环周期 M 序列的可加性：所有 M 序列都具有移位可加性 辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 M 序列具有近似的白噪声性质，即 M 序列“净扰动”小，幅度、周期、易控制，实现简单。 3 两种噪声模型的形式是什么两种噪声模型的形式是什么 第一种第一种含噪声的被辨识系统数学模型，式中, 00 11 ( )()()( ) nn ii ii y ka y kib u kiv k 噪声序列 v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列 u(k)彼此 统计独立. 上式写成：。其中， 0 ( )( )( ) T y kkv k ( )=1212 T ky ky ky knu ku ku kn ， )()( 2 W R 2 )( W S )(kW , 2, 1, 0,)( 2 llR lW 2 )()( l lj WW elRS 0, 0 0,Const )()( 1 )( 0 T M dttMtM T R bit) 12( P P N 第二种第二种含噪声的被辨识系统数学模型：它与第一种的区别仅在于噪声的状况不同，第二种 被辨识系统如下图所示： (k)为噪声序列，假设为零均值独立同分布的平稳随即序列，且 ( )( )( )y kx kk 由由以上两式可推导出，式中 00 11 ( )()()( ) nn ii ii y ka y kib u kiv k 0 1 ( )( )() n i i v kkaki 4 阐述最小二乘辨识方法的原理、数学模型以及推导阐述最小二乘辨识方法的原理、数学模型以及推导 数学模型：数学模型： 推导过程：推导过程： 含噪声的数学模型为： 00 11 ( )()()( ) nn ii ii y ka y kib u kiv k 式中,噪声序列 v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列 u(k)彼 此统计独立. 上式写成： 0 ( )( )( ) T y kkv k 是被辨识系统的真实参数向量(2n 维,n 为系统的阶数)。 0 为了采用最小二乘法进行参数估计,令上式中的 k=n+i,n+i+1,N+i,并写成矩阵形式,其中 I,N 均为正整数.则有 0 ()()()Y NNV N 如果我们根据上述辨识系统的输入输出观测信息来构造一个模型,其中参数向量为 。则应有 121 2 T nn a aa bbb 11 ( )()()( , ) nn ii ii y ka y kib u kie k 并定义其中 e (k,）为方程误差.在这种情况下,方程的误差项除了噪声 v(k)误差外,还应包 括由于模型参数 不等于真实参数 0 而引起的误差.显然有 ，导出 0 ( ,)( )e kv k 。 ()()(, )Y NNN 为向量方程误差。(, )N (, )()()NY NN ( )(, ) (, ) ()() ()() TT JNNY NNY NN 最小二乘的基本思想是最小二乘的基本思想是:找到一个 的估计值，使性能指标 0 取极值。根据一阶倒数为零，二阶 2 ( )(, ) (, )( , ) N defTT k n JNNe k 偏导大于零，那么从上式中可解出。 1 2 2 () ( ) 2 TT LS T Y J 优缺点：优缺点：最小二乘法具有简单实用、递推算法的收敛可靠、几乎不需要验前统计知识等优 点，而且当方程误差为白噪声的条件下，最小二乘参数估计是无偏的、一致和有效的估计。 所以它是一种最基本的参数估计方法，并且得到了广泛的应用。但它具有以下两方面的缺 点：当模型噪声是有色噪声时，最小二乘参数估计不是无偏的、一致的估计；递推最小二 乘法随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。 5 递推最小二乘的基本思想递推最小二乘的基本思想 它的基本思想可以概括为：本次(新)的估计值 = 上次(老)的估计值 + 修( )k (1)k 正项即利用本次观测的结果对老的观测数据进行修正。 递推公式的推导： 1 (1 1)(1)()(1) (1)(1)() (1 2)(1)(1) (1) (1) () (1)(1) () (1 3)(1)() (1)(1) () (1) T WLSWLSWLS T T NNL Ny NNN L NP NNw N P NNNP N P NP N wNNP NN 在公式 1-1 中，为本次新的估计值，为上次老的估计值，(1) WLSN () WLSN 为修正项。且 L(N+1)为增益矩阵。(1) (1)(1)() T WLSL Ny NNN 6 最小二乘的统计特性最小二乘的统计特性 无偏性无偏性：无偏性是用来衡量估计值是否围绕真值波动，它是估计值的一个重要统计特 性。所谓无偏性，通俗一点讲，它是指：设 是 的一个估计值，满足 一致性一致性：估计值的一致性，是人们最关系的一种统计特性。如果估计值具有一致性， 说明当样本无限增大时，它将以概率 1 收敛于真值。谓估计的一致性是指：如果 根据无穷多的输入、输出信息（即 N ） ，所得到的估计 无限趋近于真值 有效性有效性：有效性是估计的另一个重要统计特性。它意味着估计值偏差的均方差阵将达到最 小值。从无偏性的要求来看，无偏估计量不是唯一的。这就需要在无偏估计量中 选择好的。估计值的均方误差是衡量估计值好坏的重要指标。 7 广义最小二乘基本思想广义最小二乘基本思想 提出提出：广义最小二乘法（GLS）是针对有色噪声不能给出无偏一致估计，而在最小二乘法基 础上作了某些改进的一种参数估计方法。 基本思想基本思想：把一个含有噪声的模型中的有色噪声 经过形 0 ()()()Y NNV N ()V N 0 E( ) 成滤波器(称白化滤波器)转化为零均值的白噪声 （噪声滤波） 。进而将模型化成一()M N 个等效的含有白噪声的模型。然后针对这一等效的模型，再用 *0 ()()()YNNM N 最小二乘法求出的一致估计。 0 8 限定记忆最小二乘如何提出？解决什么问题？基本思想？限定记忆最小二乘如何提出？解决什么问题？基本思想？ 增长记忆估计增长记忆估计： 递推最小二乘法中，利用不断增长的全部观测信息，包括历史观测数据和 最新观测数据。通过不断递推计算来获得模型参数。 限定记忆估计限定记忆估计：进行参数估计时，所取得的观测数据始终是有限组的最新观测数据，每增 加一组最新的观测数据，就随即丢弃一组最老的观测数据。 提出提出: 限定记忆最小二乘是最小二乘的改进，适用时变参数估计的一种递推算法。它可以 有效地克服数据饱和现象，防止估计发散。 基本思想基本思想： 1 ()(1)(1) NNN LSLSLS NNN 递推去掉一组老数据 其中是 N 时刻基于这 () N LS N( ), (1), (1); ( ), (1), ()u n u Nu Ny ny ny N 2N+1 个数据情况下的最小二乘估计； 是 N+1 时刻获得一组数据 u（N）,y(N+1)后根据递推得到的最 1 (1) N LS N () N LS N 小二乘估计； 是 N+1 时刻获得一组新数据 u(N),y(N+1)后，去掉一组最早的数据， u(n), (1) N LS N y(n)；根据 u(n+1),u(n+2),u(N);y(n+1),y(n+2),y(N+1)这 2N+1 个数据得到的参数估计值。 显然，这种方法所获得的参数估计始终是 2N+1 个最新数据所提供的信息，每增加一 组新数据，就要去掉一组最早的数据，数据长度始终保持不变，起到了隔断历史数据的最 用。所以，它能够更有效地克服数据饱和，防止估计发散。 9 9 谈谈对系统辨识应用的理解？谈谈对系统辨识应用的理解？ 系统辨识是建模的一种方法，包括经典的系统辨识方法和现代的系统辨识，不同的学 科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他