肇庆市2015届高中毕业班第一次统一检测数学（理科）试题及参考答案

高三数学（理 科）第 1 页 共 11 页 肇庆市中小学教学质量评估 2015 届高中毕业班第一次 统 一检 测 题 数 学 （ 理 科） 本试卷共 4页， 20小题，满分 150分 . 考试用时 120分钟 . 注意事项 ： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔 ， 将自己 所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用 2B 铅笔将准考证号涂黑 . 2. 选择题每小题选出答案后，用 2 上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上 或草稿纸上 . 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须 写在答题 卷 各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答的答案无效 . 参考公式： 锥体的体积公式13V 其中 底面积， 为锥体 的 高 . 球的表面积公式24，其中 线性回归方程 中系数计算公式 )(， ，其中 x， 一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 M=1， 3， 5，则 B 1， 3， 5 C 2， 4， 6 D 1， 2， 3， 4， 5， 6 2 设条件 p： 0a；条件 q： 02 么 p 是 q 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 3 1A B C D 4 设,是 非零向量，已知命题 p：若 00 0题 q：若 ，则 . 则下 列命题中真命题是 A)()( D)( 三数学（理 科）第 2 页 共 11 页 5 执行 如图所示的程序框图输出的 结果 是 A 55 B 65 C 78 D 89 6 一个几何体的三视图如图所示 ， 其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该 几何 体的外接球的表面积为 A 312 B 12 C 34 D 3 7 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且绿色卡片至多 1 张 . 不同取法的种数 为 A 484 B 472 C 252 D 232 8 设 a， |2| 两组向量 4321, 321, 个 个 若 44332211所有可能取值中的最小值为2|4 a，则 a与 A 32B 2C 3D 6二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 . 9 已知)2,1(a，),4( 若 则 k . 10 若复数2()23( 2 是纯虚数，则实数 a 的值为 . 116)2( . 12 不等式5|1|2| . 13 若 0a， 0b，且 11，则33 的最小值为 . 14（ 几何证明选讲） 如图 ， 点 P 为圆 O 的弦 的一点， 连接 点 P 作 P，且 圆 O 于 C. 若 ， ，则 . 开始 x=1， y=1 z=x+y z50? 是 x=y y=z 输出 z 结 束 否 侧视图 俯视图 高三数学（理 科）第 3 页 共 11 页 三、解答题 ： 本大题共 6 小题，满分 80 分 . 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤 . 15 （本小题满分 12 分） 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y 之间的关系： 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 1） 求小李这 5 天的平均投篮命中率； （ 2）用线性回归分析的方法，预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率 . 16 （本小题满分 12 分） 如图， 已知 ， C， 6220E 是 中点， F 是 中点 . （ 1） 求证： 平面 （ 2）求 证： 面 （ 3）求 平面 成角 的 大小 . 17 （本 小 题满分 14 分） 某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售 量的频率分布直方图，如图所示 组的频率视为概率，并假设每天的销售量 相互独立 . （ 1） 估计日销售量的众数 ； （ 2） 求在未来连续 3 天里，有连 续 2 天的 日 销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低 于 50 个的概率 ； （ 3） 用 X 表示在未来 3 天里 日 销售量不低 于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列， 期望 E（ X）及方差 D（ X） . 00 150 200 2500 . 0 0 20 . 0 0 30 . 0 0 40 . 0 0 50 . 0 0 6日 销 售 量 个 /频率组距高三数学（理 科）第 4 页 共 11 页 18 （本小题满分 14 分） 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按 40 个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共 120 台，且冰箱至少生产 20 台 . 已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 家电名称 空调器 彩电 冰箱 工 时 213141产值 /千元 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位） 19 （本小题满分 14 分） 如图，四棱柱 1111，面 41 梯形 面积 为 6， 且 . 平面. （ 1） 证明： （ 2） 求 三棱锥的体积 ； （ 3） 求二面角1的大小 . 20（本小题满分 14 分） 设 a 为常数，且 1a. （ 1） 解关于 x 的不等式1)1( 2 （ 2） 解关于 x 的不等式组 10 06)1(322B 1 高三数学（理 科）第 5 页 共 11 页 肇庆市 2015 届高中毕业班第 一 次 统测 数学（ 理 科）参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B A D B C 二、填空题 9 10 1 11 240 12 3 13 24 14 1 三、解答题 15（本小题满分 12 分） 证明：（ 1） 小李这 5 y. （ 4 分） （ 2） 小李这 5 天打篮球的平均时间35 54321 x（小时） （ 5 分） ()2()()2()()(22222121 7 分） 9 分） 10 分） 当 x=6 时，y，故预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 （ 12 分） 16 （本小题满分 12 分） 证明：（ 1）在 ， E 是 中点， F 是 中点，所以 （ 1 分） 又 面 面 以 平面 （ 3 分） （ 2）因为 O 的直径，所以 C. （ 4 分） 科）第 6 页 共 11 页 在 ， ， C，所以 2 （ 5 分） 因为在 ， 10222 所以222 ，所以 C. （ 6 分） 又 ，所以 面 （ 7 分） 由（ 1）知 以 面 （ 8 分） （ 3）解：由（ 2）知 面 面 以 C. （ 9 分） 因为在 ， 226， 2 所以222 ，所以 C. （ 10 分） 又 ，所以 面 所以 平面 成角 . （ 11 分） 在 ，3 C，所以 3，即 平面 成角的大小为3. （ 12 分） 17 （本 小 题满分 14 分） 解：（ 1）依据 日销售量的 频率分布直方图可得众数为1252 150100 . （ 3 分） （ 2）记事件 日销售量不低于 100 个”， 事件 日销售量低于 50 个”，事件 B：“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个” . (1 （ 4 分） 2 （ 5 分） 1 （ 7 分） （ 3） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3. 0( 303 （ 8 分） ( 213 （ 9 分） 高三数学（理 科）第 7 页 共 11 页 43 ( 223 （ 10 分） ( 33 （ 11 分） 分布列为 X 0 1 2 3 P 为 XB（ 3， （ 12 分） （ 14 分） 18 （本小题满分 14 分） 解：设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台，则生产冰箱120台，产值为 z 千元， 则依题意得2 402)1 20(234 （ 4 分） 且 x， y 满足,201 2 0,40)1 2 0(413121,100,12038 分） 可行域如图所示 . （ 10 分） 解方程组 ,100 ,1203 yx 0（ 10， 90） . （ 11 分） 让目标函数表示的直线 2402在可行域上平移， 可得2402 （ 10， 90）处取得最大值，且 3 502 4090102z（千元） . （ 13 分） 答：每周应生产空调器 10 台，彩电 90 台，冰箱 20 台，才能使产值最高 ，最高产值是 350 千元 . （ 14 分） 12010010040O 1 0 0 1 2 0 - 3高三数学（理 科）第 8 页 共 11 页 19 （本小题满分 14 分） （ 1）证明：因为 1/1 平面， 平面，所以（ 1 分） 因为 ，平面， 平面，所以（ 2 分） 又 ， 所以 1/ （ 3 分） 又平面平面 1，11 平面平面 ， 所以 （ 4 分） （ 2）解：因为6以23121 形. （ 6 分） 所以 38243131 111 （ 8 分） （ 3）解法一 ：如图，在 ，作 F，连接 （ 9 分） 因为面 所以. 又1，所以面. 又1 面，所以. （ 10 分） 所以二面角1的平面角 . （ 11 分） 由（ 2）得432 S 梯形，所以2 （ 12 分） 所以1ta n 11 （ 13 分） B 1 B 1 高三数学（理 科）第 9 页 共 11 页 所以 41 二面角1的大小为 4. （ 14 分） 解法二：如图，以 D 为坐标原点， 1,x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系 . （ 9 分） 设 BC=a，则 a. 因为6si B 以 10 分） 所以)0,si n2,C，)4,0, A， 所以)0,si n2,c 4,0,si （ 11 分） 设平面法向量)1,( 由 0s i o i 以)1,co s,si n( n.（ 12 分） 又平面 一个法向量)01,0(m， （ 13 分） 所以 22|,c o s 所以二面角1的大小为 4. （ 14 分） 20（本小题满分 14 分） 解：（ 1）令 012 得02 511 a，12 512 a. （ 1 分） 当 251 原不等式，得 112 其解集为11| 2 （ 2 分） 当 251 原不等式，得无解，即其解集为 ； （ 3 分） 当12 51 原不等式，得 112 其解集为11| 2 （ 4 分） 1 科）第 10 页 共 11 页 （ 2）依06)1(32 2 *），令06)1(32 2 *）， 可得)3)(13(348)1(9 2 （ 5 分） 当131 0，此时方程（ *）无解，解不等式（ *） ，得 故原不等式组的解集为10| （ 6 分） 当 310， 此时方程（ *）有两个相等的实根14 )1(321 不等式（ *），得 1x，故原不等式组的 解集为10| （ 7 分） 当 310，此时方程（ *）有两个不等的实根 4)3)(13(3333 )3)(13(334 43，解不等式（ *），得 3x或 4 （ 8 分） 14 31334)248()31(334)3)(13(333 24 （ 9 分） 14334)3)(13(3333 （ 10