《概率论与数理统计》第三章多维随机变量及其分布.doc

第三章 多维随机变量及其分布- 1 -第一节 多维随机变量及其概率分布- 2 -一 多维维随机变量及其分布函数- 2 -二 二维离散型随机变量及其概率分布- 4 -三 二维连续型随机变量及其概率分布- 8 -基础练习3.1- 12 -第二节 条件分布与随机变量的独立性- 12 -一 条件分布与独立性的概念- 12 -二 二维离散型随机变量的条件分布与独立性- 13 -三 二维连续型随机变量的条件分布及其独立性- 16 -四*多维随机变量的概率分布及其独立性- 20 -基础训练3.2- 22 -第三节 二维随机变量函数的分布- 22 -一 离散型随机变量的函数分布- 22 -二 连续型随机变量的函数分布- 24 -基础训练3.3- 31 -综合训练三- 31 -内容小结及题型分析三- 31 -拓展提高三- 31 -阅读材料三- 31 -数学实验三- 31 -第三章 多维随机变量及其分布【本章导读】本章是在一维随机变量基础上，进一步讨论多维随机变量，以二维随机变量为重点，讨论了基本概念性质、边际分布、联合分布等问题及应用，随机变量的独立性及函数的分布. 【本章用到的先修知识】二重积分，混合偏导. 【本章要点】二维离散型、连续型随机变量的概念、性质、联合分布与边际分布，独立性，函数的分布.在第二章中，我们主要讨论了一维随机变量及其概率分布。但在实际应用和理论研究中，我们所感兴趣的许多现象，其每次试验的结果仅用一个随机变量描述还不够，往往要用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如：炮弹在地面的命中点的位置需要研究弹着点的两个坐标，每个坐标可以定义一个随机变量；研究市场供给模型时，需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素，每一个因素都可以定义一个随机变量. 在这种情况下，我们不仅研究每个随机变量的统计规律，而且还需要研究各个随机变量之间的相互依存关系，因而需要考察它们联合取值的统计规律，即多维随机变量的概率分布.本章我们主要介绍二维随机变量及其分布，并适当推广到维随机变量.第一节 多维随机变量及其概率分布一 多维维随机变量及其分布函数由于从二维推广到三维及以上没有实际性的困难，所以本节我们重点讨论二维随机变量.1、二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间，为样本点，而，是定义在上的两个随机变量，则由它们构成的一个二维向量 称为二维随机变量或二维随机向量.二维向量 的性质不仅与及有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 因此，逐个讨论和的性质是不够的，需把作为一个整体来讨论. 随机变量常称为一维随机变量. 和一维的情形类似，我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.2、二维随机变量的分布函数定义2 设为二维随机变量，对于任意实数、，二元函数 （3.1）称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.几何意义：若把二维随机变量看成平面上随机点的坐标，则分布函数在处的函数值就是随机点落入以为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率（见图3-1）而随机点 落在矩形区域（见图3.2）内的概率可用分布函数表示为 （3.2）联合分布函数的性质:（1）规范性 且对任意固定的， 对任意固定的，；（2）关于和均为单调不减函数, 即对任意固定的 当；对任意固定的 当；（3）关于和均为右连续, 即 ；（4）对于任意，有.【注1】对任意满足上述四条件的二元函数，都可作为某二维随机变量的分布函数.3、边缘分布函数二维随机变量作为一个整体具有联合分布函数. 而和都是随机变量，各自也有它们的分布函数，把和的分布函数分别记为和，并分别称为随机变量关于和的边缘分布函数.由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系. （3.3）. （3.4）图3-4图3-3【注2】由此可知，由联合分布可以唯一确定边际分布函数，反之，不一定成立.【例1】设二维随机变量的联合分布函数为，其中、为常数，.（1）试确定、的值；（2）求和的边缘分布函数；（3）求.【解】（1） 由联合分布函数的性质(2)，知由此可解得（2）由定义直接可知（3）由的分布函数，得对于二维随机变量，我们除了可以用联合分布函数讨论其概率分布以外，还需要分别对离散型和连续型随机变量进行讨论.二 二维离散型随机变量及其概率分布1. 定义 若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量.结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.设是二维离散型随机变量，其所有可能取的值为，.则称 （3.5）为二维离散型随机变量的联合分布律.其中满足下列性质 （1） ，（2）.与一维的情形相似，人们常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布律写成表格的形式（见表3.1）表3.1 联合概率分布律1利用联合分布律能够方便地确定取值于任何区域上的概率，即 （3.6）特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数: （3.7）但联合分布律比联合分布函数更加直观，且能更方便地求出随机变量取值的概率，因此对于二维离散型随机变量联合分布律更重要.2.边缘分布律的联合分布律综合考察了取数值对时的概率，我们还需要考察取和取时的概率.设，则由于 （3.8） （3.9）它们分别是事件和的概率，且有 ；所以分别是和的分布律.我们称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律；称 为关于的边缘分布律.表3.1给出了联合分布律与边缘分布律的关系.【例2】两封信随机地向编号为，的四个邮筒内投，令表示投入号邮筒内的信件数； 表示投入号邮筒内的信件数. 试求（1）的分布律；（2）和的边缘分布律.（3）求投入、号邮筒内信件数相同的概率.（4）至少有一封信投入，号邮筒的概率.（5）求.【解】由题意知，所有可能取到的值为0、1、2；所有可能取到的值为0、1、2.（1）事件等价于“两封信投在或号邮筒内”，所以；事件等价于“其中一封信投在内，另一封投在或号邮筒内”，所以； 同理；事件等价于“其中一封信投在内，另一封投在号邮筒内”，所以；同理事件等价于“其中一封信投在内，两封投在号邮筒内”，这是不可能事件，所以； 表3.2 的分布律X Y 0 1 2 0 4/16 4/16 1/16 1 4/16 2/16 0 2 1/16 0 0 同理；。所以的分布律为（见表3.2） （2）；同理；.所以，X的分布律为X012P9/166/161/16而；.所以，Y的分布律为Y012P9/166/161/16（3）所求概率为.（4）所求概率为（5）.【例3】已知随机变量和的分布律分别为 而且，求随机变量的分布律.【解】 因为 ，所以. 由此知 所以分布律的形式为 -1 0 1 p.j 0 1 p11 p21 p31 0 p22 0 0.5 0.5 pi. 0.25 0.25 0.5根据联合分布律与边缘分布律的关系，有；由此解得.所以 的联合分布律为 -1 0 1 0 1 0.25 0 0.25 0 0.5 0【注3】由例2可以看出，联合分布列可以确定唯一的边缘分布列.由例3可知，边缘分布律不能完全确定联合分布律.三 二维连续型随机变量及其概率分布1、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设为一个二维随机变量，为其联合分布函数，若存在一个非负可积的二元函数，使对任意的实数，有 （3.10）则称为二维连续型随机变量，为、的联合概率密度函数或简称为联合密度函数.联合密度函数的性质由联合分布函数的性质，有（1）非负性：；（2）规范性：；（3）若在点连续，是相应的分布函数，则有 （3.11）事实上，由定义知 进一步地, 根据偏导数的定义, 可推得:当很小时, 有即, 落在区间上的概率近似等于.（4)若是面上的某一区域，则点落在上的概率为 （3.12）这表明取值落在平面上任一区域内的概率，可以通过密度函数在上的二重积分求得。【注4】（1）具有上述性质（1）和（2）的二元函数必定可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数.（2）性质（1）的几何意义为：二元函数为一张位于坐标面上方的曲面；性质（2）的几何意义为：以为底面，以为曲顶的曲顶柱体的体积等于1；性质（4）的几何意义为的值等于以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。2. 边缘密度函数若是二维连续型随机变量，其联合密度函数是，由相关定义可知，关于的边缘分布函数为 ， （3.13）此时，也是连续型随机变量，且其密度函数为. （3.14）同理可得，关于的边缘分布函数为 ， （3.15）也是连续型随机变量，且其密度函数为 . （3.16）我们分别称和为关于和的边缘密度函数, 简称为边缘密度. 【例4】已知二维随机变量的联合密度函数为试求：（1）常数；（2） 联合分布函数；（3）边缘密度函数、；（4）概率.【解】（1）利用联合密度函数的性质（2）确定.由 得，所以（2） 由定义（3）由 得 同理可得 （4） (X , Y)的取值区域如图3-5所示，故.【注5】在进行二维连续型随机变量的有关计算时，应作出联合密度函数的区域图.3. 两个常用的分布（1）二维均匀分布定义 设 为面上的有界区域，G的面积为. 若二维随机变量 的联合密度函数为 （3.17）则称二维随机变量在上服从均匀分布. 若是内面积为的子区域，则 此概率仅与的面积有关(成正比)，而与在内的位置无关，这正是均匀分布的“均匀”含义。【例5】设随机变量和在区域内服从均匀分布，求和联合概率密度【解】区域的面积为，所以由题意，和的联合概率密度函数为 （2）二维正态分布定义若二维随机变量具有概率密度 （3.18）其中均为常数，且，则称服从参数为的二维正态分布. 简记为.由的联合密度函数，运用变量代换积分法可以求得边缘密度函数分别为由此可见，如果，则有，.【注6】二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的. 因此，仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量的联合分布的. 即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布还可以不是二维正态分布，见下例.【例6】设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为，.试求边缘密度函数，.【解】同理可得 .即 但却不是服从二维正态分布的.基础练习3.1第二节 条件分布与随机变量的独立性一 条件分布与独立性的概念1、条件分布函数在第一章中，我们曾经定义过事件的条件概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件分布. 本节我们从事件的条件概率出发引入随机变量的条件概率分布概念.例如，考察某一群体的年收入与消费的状况，分别以和表示年收入和消费，则和都为随机变量，它们具有一定的概率分布，且相互依存. 现在我们限制（万元），在这个条件下求消费的分布，这就意味着要从这一群体中年收入介于5万元到6万元之间人们挑选出来，然后在这其中求消费的分布. 这就是所谓的条件分布.定义1 设随机变量的分布函数为，已知事件发生，且，则对于任意给定的实数，我们记，（）并称为在事件发生的条件下，的条件分布函数.【可否这样定义】？对于二维随机变量来说，条件的分布函数中的条件往往是另一个随机变量的取值. 如果设是由所生成的事件：，且，则.一般地，随机变量和之间存在相互的联系，因而，一个随机变量的取值可能影响到另一个随机变量的取值统计规律性. 如果在任何情况下，随机变量和之间没有上述的影响，则这就是我们要介绍的随机变量的“独立性”.2. 随机变量的独立性定义2 设随机变量的联合分布函数为, 边缘分布函数为, 若对任意实数,有即 则称随机变量和相互独立.【注7】由上一节，我们知道：联合发布函数能确定出边缘分布函数，反之不然；但由独立性定义我们看出：当与相互独立时，边缘分布函数可确定唯一的联合分布函数.关于随机变量的独立性, 有下列两个定理.定理1 随机变量与相互独立的充要条件是所生成的任何事件与生成的任何事件独立, 即, 对任意实数集, 有.定理2 如果随机变量与相互独立, 则对任意函数均有相互独立.二 二维离散型随机变量的条件分布与独立性设是二维离散型随机变量, 其概率分布为，（），我们考虑在或的条件下，关于或的条件分布及其独立性.1. 条件分布函数在的条件下，的条件分布函数记为；在的条件下，的条件分布函数记为.2. 条件分布律在二维离散型随机变量中，我们最常用的是条件分布律.定义3 设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称（）为在条件下，随机变量的条件分布律.对于固定的，若，则称（）为在条件下，随机变量的条件分布律.条件分布律满足下列性质（1）（2）=（3），其中I是区间.3. 独立性对离散型随机变量, 其独立性的定义等价于:定义4 若对的所有可能取值 有即 则称和相互独立.【例1】设与的联合概率分布为 Y X0200.10.2010.30.050.120.1500.1 （1）求时, 的条件分布律；（2）求在时, 的条件分布函数；（3）求（4）判断与是否相互独立?【解】，所以（1）所有可能取到的值为0，1，2.，.所以在条件下，的条件分布律为0120.80.20（2）利用在条件下的条件分布律，可以求出的条件分布函数（3）方法一：利用条件分布律，可得；方法二：利用条件分布函数，可得（4）因为，可见所以与不相互独立.【注8】条件分布律所描述的是在某一个随机变量的先固定某一取值发生的条件下另一个随机变量取所有可能值的分布律. 这样的分布律是随先发生的随机变量的可能值来确定的，所以，在求条件分布律时，一定要注意条件随机变量的取值.【例2】已知随机变量的联合分布律为X Y12312试确定常数a，b，使X与Y相互独立【解】先求出(X , Y )关于X和Y的边缘分布律 XY12311/31/3+a+b21/61/91/181/31/21/9+a1/18+b1因要使与相互独立，故可用 来确定常数a，b。由 ，即 解得 因此(X , Y )的联合分布律和边缘分布律为X Y123121三 二维连续型随机变量的条件分布及其独立性由于在二维连续型随机变量中，对于任意的和，都有，所以，不能像离散型随机变量那样来考虑连续型随机变量的条件分布. 我们首先给出条件密度函数的定义，再给出条件分布函数的定义. 1.条件密度函数定义5 设二维连续型随机变量的概率密度为,边缘概率密度为, 则对一切使的, 称.为在的条件下的条件概率密度函数.类似地, 对一切使的, 称.为在的条件下的条件概率密度函数.由此，可得关系式.它与乘法公式类似，反映了联合密度、边缘密度与条件密度之间的关系.【注9】关于定义表达式内涵的解释. 以为例. 在上式左边乘以, 右边乘以，利用联合密度函数的性质及条件概率公式，即得 换句话说, 对很小的和,表示已知取值于和之间的条件下, 取值于和之间的条件概率.运用条件密度函数，我们可以在已知某一随机变量取值的条件下，求与另一随机变量有关的事件的概率. 即，如果二维连续型随机变量的条件密度为或，为一区间，则或特别地，如果或，则可定义条件分布函数.2. 条件分布函数定义6如果二维连续型随机变量的条件密度为或，则称为在的条件下，的条件分布函数； 称为在的条件下，的条件分布函数.3. 独立性对于二维连续型随机变量，其独立性的定义等价于：定义7 若对任意的, 有几乎处处成立, 则称相互独立.【例3】设数在区间服从均匀分布，当观察到时，数在区间上等可能随机地取值. 求的概率密度.【解】 因为，所以.由题意知，随机变量在条件下服从区间上的均匀分布，所以由条件密度函数的定义可得，所以的概率密度为.【例4】已知，判断和是否独立.【解】因此，所以和不独立.【例5】某旅客到达火车站的时间均匀分布在早上7：55-8：00，而火车在这段时间开出的时间，求此人能及时上火车的概率。【解】以7：55为计时的起点，分钟为计时单位，则，所以又与相互独立，所以设事件“此人能及时上火车”，则，所以所求概率为.【例6】设 ， （1）求条件密度，.（2）求概率，.（3）求概率.【解】和边缘密度分别为；（1）由条件密度公式可得，（2）由条件概率公式可得，.（3）在的条件下，的条件密度函数为由的条件密度函数可得四*多维随机变量的概率分布及其独立性1. 维随机变量及其分布的定义定义8 设为样本空间，是上的随机变量，则由它们构成的维变量称为维随机变量或维随机向量. 对于任意个实数 ，事件的交事件的概率称为维随机变量的联合分布函数，记为，即 当随机变量的联合分布函数已知时，的维边缘分布函数也随之确定了.例如, 关于、，的边缘分布函数分别为 维随机变量的分布函数和边缘分布函数都具有与二维和一维随机变量的分布函数相类似的性质.2. 维随机变量相互独立的定义定义9 设n维随机变量为，若对于任意实数，有则称随机变量是相互独立的.若的联合分布函数及关于随机变量的边缘分布函数分别记为 则随机变量相互独立可等价地表为 3. 维离散型随机变量的定义及其独立性判断定义10 n维随机变量为的取值为有限多个或无限可列多个，且则称为n维离散型随机变量，上式称为n维离散型随机变量的联合分布律. 若记关于的边缘分布律，则相互独立的充分必要条件为4. 维连续型随机变量的定义及其独立性判断定义11 若存在函数，使 则称为连续型随机变量.此时相互独立的充分必要条件为 其中是的联合密度函数，是关于的边缘密度函数，即基础训练3.2第三节 二维随机变量函数的分布 在第二章中，我们介绍了一维随机变量的函数分布. 在实际问题中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 本节我们来讨论，如果已知二维随机变量的联合分布，针对二维离散型或连续型随机变量及二元函数不同的表达形式，如何去求二维随机变量的函数的分布.一 离散型随机变量的函数分布一般地，设是二维离散型随机变量，其联合分布律为是一个二元函数，则作为的函数是一个随机变量. 假设的所有可能取值为，则的分布律为下面举例说明两个离散型随机变量的函数的分布律的求法.【例1】已知随机变量(X,Y)的联合分布律为XY01200.10.250.1510.150.20.15试求，的分布律.解 （1）的所有可能取值为0，1，2，3，而，.因此，的分布律为Z10123pk0.10.40.350.15（2） 的所有可能取值为0，1，2，而，因此的分布律为Z2012pk0.10.60.3【例2】设随机变量相互独立，且服从同一个(0-1)分布：试证服从二项分布。证明： 由于每个可能取值为0或1，则可能取值为。取值为,则要求中有个取值为1，而其余个取值为0，至于是哪个变量取值为1，共有种不同方式，而且这些方式两两互斥，由相互独立性可知每种方式出现的概率为，从而即服从二项分布.【例3】设是相互独立的随机变量，它们都服从参数为的二项分布，证明服从参数为的二项分布.【证 】所以可能取到的值为1，2，. （因为相互独立） 故服从参数为的二项分布. 【注1】（1）此处用到一个组合公式： 此公式的正确性可直观地说明如下：从个不同的元素中取个共有种不同的取法。从另一个角度看，把个元素分成两部分，一部分有个，另一部分有个，从第一部分中取个再配上从第二部分中取个，不同的取法共，让从变到，总的取法是，这两种取法应相等.这个事实说明：两个相互独立且服从于二项分布的随机变量，如果参数相同，则它们的和也服从于二项分布.（2）可以证明：设是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为和的泊松分布，则服从于参数为的泊松分布.这个事实说明：两个独立的服从泊松分布的随机变量和仍服从泊松分布，简称为泊松分布具有可加性二 连续型随机变量的函数分布设是二维连续型随机变量，其联合密度函数为，是一个二元函数，则作为的函数是一个连续型随机变量.一般地，我们可以用分布函数法求得的密度函数.第一步，先求的分布函数，即可以用在平面区域上的二重积分得到.第二步，求得Z的概率密度函数 【例4】设和是两个相互独立的随机变量,它们的密度函数分别为 ， 试求的密度函数。【解】 由题意知, 的联合密度为图 因此的分布函数为由图可知：(1) 当即时,(2) 当即时, (3) 当即时,故得 于是, 的密度函数为【例5】设随机变量和相互独立且同分布于，求 的概率密度.【解】 因为随机变量和相互独立且同分布于，所以的概率密度为设的分布函数为，则当时，；当时， 综上，得到的分布函数为所以【注2】此时，称为自由度为2的随机变量，Z的分布称为自由度为2的卡方分布，记为其密度函数如上。 一般地,当相互独立且都服从标准正态分布时,则 服从于自由度为n的分布，这是数理统计中的一个常用分布，其密度函数 下面我们介绍几个关于常用函数的概率密度.1. 和的分布设随机变量与的联合密度函数为，下面求的概率密度.由于的分布函数为 图 3-11其中区域如图3-11所示. 所以的密度函数为