北京市西城区2017届高三二模数学理科试题含答案

（理科） 卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项 1在复平面内，复数 z 对应的点是 (1, 2)Z ，则 复数 z 的共轭复数 z （ A） 1 2i （ B） 1 2i （ C） 2i （ D） 2i 2 下列函数中，值域为 0,1 的是 （ A） 2 （ B） （ C）21 1y x （ D） 21 3 在极坐 标系中，圆 的圆心 的 极 坐标 是 （ A） (1, )2（ B） (1, 0) （ C） 1( , )22（ D） 1( , 0)24在平面直角坐标系中，不等式组 3 2 0 ,3 3 0 ,0表示的平面区域的面积是 （ A） 1 （ B） 32（ C） 2 （ D） 525 设 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )yx 的离心率是 3 ， 则 其渐近线的方程 为 （ A） 2 2 0 （ B） 2 2 0 （ C） 80 （ D） 80 6设 a ， b 是平面上的 两 个单位向量 ， 35若 mR ，则 |m （ A） 34（ B） 43（ C） 45（ D） 547 函数 ( ) | |f x x x 若存在 1, )x ，使得 ( 2 ) 0f x k k ，则 k 的取值范围是 （ A） (2, ) （ B） (1, ) （ C） 1( , )2 （ D） 1( , )4 有三支股票 A， B， C， 28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票 在不 持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍 在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1 在只持有 一支股票的人中，有一半 持有 A 股票 则只持有 B 股票的股民人数是 （ A） 7 （ B） 6 （ C） 5 （ D） 4 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 执行如图所示的程序框图 ,输出的 S 值为 _ 10 已知等差数列 公差为 2 ，且 1 2 4, , a a a 成等比数列， 则1a_；数列 前 n 项和 _ 11 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c 若 3A， 3a ， 1b ， 则 c _ 12 函数22 , 0 ,()l o g , 0 .x 则 1()4f _； 方程 1()2 的解 是 _ 13 大厦一层有 A， B， C， D 四部 电梯 ， 3 人在一层乘坐电梯上楼 ， 其中 2 人 恰好乘坐同一部 电梯 ，则 不同的 乘坐 方式 有 _种 （用数字作答） 14 在空间直角坐标系 O 中， 四面体 A 在 ,组 正 投影图形如图所示 （ 坐标轴用 细 虚线表示 ） 该四面体的体积是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) ta n ( )4f x x （ ） 求 () （） 设 (0,) ， 且 ( ) 2 c o s ( )4f ，求 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在几何体 ， 底 面 矩形 ， /D ， C 点 M 在 棱 平面 棱 于点 N （ ）求证： /N ； （ ）求证： 平面 平面 （ ） 若 A ， D ， 2F ， 平面 面 l ， 求 二面角A l B 的 大小 17 （本小题满分 13 分） 某大学为调研学生在 A， B 两家餐厅用餐的满意度，从在 A， B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分 ， 满分均为 60 分 整理评分数据，将分数 以 10 为组距分成 6 组： 0,10) ， 10,20) ， 20,30) ， 30,40) ，40,50) ， 50,60 ， 得到 A 餐厅分数的频率分布直方图，和 B 餐厅分数的频数分布表 ： B 餐厅分数频数分布表 分数区间 频数 0,10) 2 10,20) 3 20,30) 5 30,40) 15 40,50) 40 50,60 35 “满意度指数”如下： 分数 0,30) 30,50) 50,60 满意度指数 0 1 2 （ ） 在抽样的 100 人中， 求对 A 餐厅评价“满意度指数”为 0 的人数； （ ） 从该 校在 A， B 两家 餐厅都用过餐 的 学生 中随机抽取 1 人进行调查 ，试 估计其 对A 餐厅 评 价的“满意度指数”比对 B 餐厅 评价的“满意度指数”高的概率； （ ） 如果从 A， B 两家餐厅 中选择 一家用餐，你会选择哪一家？说明理由 18 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 ， 抛物线 C 的顶点是原点，以 x 轴为对称轴，且经过点 (1,2)P （ ） 求 抛物线 C 的方程； （ ） 设点 , 上，直线 ,别与 y 轴 交 于 点 ,| | | |N 求 直线 斜率 19 （本小题满分 13 分） 已知函数 21( ) ( ) e xf x x a x a ，其中 aR （ ） 求 函数 ()的零点 个数 ； （ ） 证明： 0a 是 函数 () 充分而不必要 条件 20 （本小题满分 13 分） 设集合 *2 1 , 2 , 3 , , 2 ( , 2 )nA n n n N 如果对于 2每一个含有 ( 4)个 元素的子集 P ， P 中必有 4 个元素的和等于 41n ，称正整数 m 为集合 2一个“相关数” （ ） 当 3n 时，判断 5 和 6 是否为 集合 6A 的“ 相关数 ” ，说明理由； （ ） 若 m 为集合 2“相关数”，证明： 30 ； （ ） 给定正整数 n 求 集合 2“相关数” m 的最小值 （理科） 参考答案及评分标准 、选择 题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 8 A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 7 10 2 ， 211 2 12 2 ； 2 或 1 13 36 14 43注：第 10， 12 题第一 空 2 分，第二 空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 . 15 （本小题满分 13 分） 解： （） 由 42 ，得 4， kZ 3 分 所以 函数 () | ,4x x k k Z 4 分 （）依题意，得 t a n ( ) 2 c o s ( )44 5 分 所以 s i n ( ) 4 2 s i n ( ) 4c o s ( )4， 7 分 整理得 s i n ( ) 2 c o s ( ) 1 044 ， 8 分 所以 ) 04 ，或 1)42 10 分 因为 (0,) ，所以 5( , )4 4 4 ， 11 分 由 ) 04 ，得 4， 34； 12 分 由 1)42 ， 得 43， 12 所以 12， 或 34 13 分 （本小题满分 14 分） 解： （ ）因为 矩形 ， 所以 /C ， 1 分 所以 /面 3 分 又因为平面 面 N ， 所以 /N 4 分 （ ）因为 矩形 ， 所以 D 5 分 因为 C ， 6 分 所以 平面 7 分 所以平面 平面 8 分 （ ）因为 D ， D ， 所以 平面 所以 E 由（ ）得 平面 所以 E 所以 两互相垂直 9 分 建立 空间直角坐标系 D 10 分 不妨设 1D，则 2，设 ( 0)AD a a 由题意得， ( ,0,0) ( ,2,0) (0,2,0)C ， (0,0,0)D ， (0,0,1)E ， (0,1,1)F 所以 ( , 0, 0)CB a ， (0, 1,1) 设平面 法向量为 ( , , )x y zn ，则 0,0, , 令 1z ，则 1y 所以 (0,1,1)n 12 分 又平面 法向量为 (0, 2, 0) ，所以 |2| c o s , |2| | | | | 因为 二面角 A l B 的平面角 是锐角， 所以 二面角 A l B 的 大小 45 14 分 （本小题满 分 13 分） 解： （ ） 由 对 A 餐厅评分的频率分布直方图，得 对 A 餐厅 “满意度指数”为 0 的 频率为 ( 0 . 0 0 3 0 . 0 0 5 0 . 0 1 2 ) 1 0 0 . 2 ， 2 分 所以，对 A 餐厅评价“满意度指数”为 0 的人数为 100 0 3 分 （ ） 设“ 对 A 餐厅评价 满意度指数 比对 B 餐厅评价 满意度指数 高 ”为事件 C 记 “对 A 餐厅 评价满意度指数为 1 ”为事件 1A ； “对 A 餐厅 评价满意度指数为 2 ”为事件 2A ； “对 B 餐厅 评价满意度指数为 0 ”为事件 0B ； “对 价满意度指数为 1 ”为事件 1B 所以 1( A ) ( 0 . 0 2 0 . 0 2 ) 1 0 0 . 4P ， 2(A ) ， 5 分 由用频率估计概率得：0 2 3 5( B ) 0 . 1100P ，1 1 5 4 0( B ) 0 . 5 5100P 7分 因为 事件 其中 1,2i ， 0,1j 所以 1 0 2 0 2 1( C ) ( A B A B A B ) 1 0 2 0 2 1( A ) ( B ) ( A ) ( B ) ( A ) ( B )P P P P P P 0 . 4 0 . 1 0 . 4 0 . 1 0 . 4 0 . 5 5 0 . 3 10 分 所以 该 学生 对 A 餐厅 评价的“满意度指数”比对 B 餐厅 评价的“满意度指数”高 的概率为 （ ） 如果从学生 对 A， B 两家餐厅 评价的“ 满意度指数”的期望角度看 ： A 餐厅 “ 满意度指数” X 的分布列为： X 0 1 2 P B 餐厅 “ 满意度指数” Y 的分布列为： Y 0 1 2 P 因为 ( ) 0 0 . 2 1 0 . 4 2 0 . 4 1 . 2 ； ( ) 0 0 . 1 1 0 . 5 5 2 0 . 3 5 1 . 2 5 ， ( ) ( )E X E Y ， 会选择 B 餐厅用餐 13 分 注：本题答案不唯一 只要考生言之合理即可 18 （本小题满分 14 分） 解： （）依题意，设抛 物线 C 的方程为 2 ( 0)y ax a 1 分 由 抛物线 C 且经过点 (1,2)P ， 得 4a ， 3 分 所以抛物线 C 的方程为 2 4 4 分 （）因为 | | | |N ， 所以 ， 所以 12 ， 所以 直线 倾斜角互补， 所以 0 6 分 依题意，直线 斜率存在， 设直线 方程为 ： 2 ( 1 ) ( 0 )y k x k ， 将其代入 抛物线 C 的 方程 ，整理得 2 2 2 22 ( 2 2 ) 4 4 0k x k k x k k 8 分 设 11( , )A x y ，则 21 2441 k，11 4( 1 ) 2 2y k x k ， 10 分 所以 22( 2 ) 4( , 2 )kA 11 分 以 k 替换点 A 坐标中的 k ，得 22( 2 ) 4( , 2 )kB 12 分 所以 222244()1( 2 ) ( 2 )AB 所以 直线 斜率为 1 14 分 19 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 由 21( ) ( ) e xf x x a x a ， 得 1 2 1( ) ( 2 ) e ( ) x x a x a x a 21 ( 2 ) 2 e xx a x a 1( ) ( 2 ) e xx a x 2 分 令 ( ) 0 ，得 2x ，或 时，函数 ()有且只有一个零点： 2x ； 当 2a 时，函数 ()两个相异的零点： 2x ， 4 分 （ ） 当 2a 时， ( ) 0 恒成立 ，此时函数 () , ) 上单调递减 ， 所以， 函数 () 值 5 分 当 2a 时， ()， () 所以， 0a 时， ()小值为 1( ) e af a a 0 7 分 又 2x 时， 222 2 4 0x a x a a a a ， 所以，当 2x 时， 21( ) ( ) e 0xf x x a x a 恒成立 8 分 所以， 1( ) e af a a 为 ()小值 9 分 故 0a 是 函数 () 充分条件 10 分 当 5a 时， ()， () 因为当 5x 时， 21( ) ( 5 5 ) e 0xf x x x ， 又 1( 2 ) e 0f ， 所以，当 5a 时， 函数 ()在最小值 12 分 所以， 0a 不 是 函数 () 必要条件 综上， 0a 是 函数 () 充分而不必要 条件 13 分 20 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 当 3n 时， 6 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6A ， 4 1 13n 1 分 x ( , )a a ( ,2)a 2 (2, ) () 0 0 () 极小值 极大值 x ( ,2) 2 (2,5) 5 (5, ) () 0 0 () 极