安徽省马鞍山市2017届高三第三次模拟数学试卷（文）含答案

2017 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测 高三文科数学试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间120 分钟 考生注意事项： 1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号 2答第 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3答第 卷时，必须使用 米的黑色墨水签字笔在 答题卡上 书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题 可先用铅笔在 答题卡 规定的位置绘出，确认后再用 米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答， 超出答题区域书写的答案无效 ， 在试题卷 、草稿纸上答题无效 4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑 （ 1）已知 集合 | ( 3 ) ( 1 ) 0 A x x x ， | 2 2B x x ，则 （ ） （ A） 2, 1 （ B） 1,2 （ C） 1,1 （ D） 1,2 【答案】 B 【命题意图】考查集合运算，简单题 （ 2） 设 i 为虚数单位，则复数 11 iz i 的模为 （ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 【答案】 A 【命题意图】考查复数运算，简单题 （ 3） “ 2)4k k Z （”是 “ 2”的 （ ） （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 A 【命题意图】考查三角函数、逻辑，简单题 （ 4）已知双曲线 221（ 0, 0）的离心率为 2 ，则该双曲线的渐近线方程为 （ ） （ A） 0 （ B） 30 （ C） 30 （ D ）20 【答案】 C 【命题意图】考查双曲线的性质，简单题 （ 5）九章算术 “勾股 ”章有一题 :“今有二人同立 甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何 ?”大意是说： “已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方 向走了一段后与乙相遇 甲、乙各走了多少步 ? ” 请问 乙 走的步数是（ ） （ A） 92（ B） 152（ C） 212（ D ）492 【答案】 C 【命题意图】考查数学文化及解三角形，中等题 （ 6）执行如图所示的程序框图，若输出的值为 3132，则输入的整数 p （ ） （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 【答案】 B 【命题意图】考查程序框图，中等题 （ 7） 已知函数 c o s ( 2 ) s i n 26f x x x ，则 间是 （ ） （ A） , 36（ B） 2 , 33（ C） 5 , 66（ D ）2 , 63 【答案】 D 【命题意图】考查三角函数的性质，中等题 （ 8） 函数 () ，若 ( 1)与 ( 1)都是奇函数，则 (5)f =（ ） （ A） 1 （ B） 0 （ C） 1 （ D） 5 【答案】 B 【命题意图】考查函数性质，中等题 （ 9） 已知椭圆 :E 22 1 ( 0 )xy 的右焦点为 (3,0)F ，过点 F 的直线交 E 于 两点若 的中点坐标为 (1, 1) ，则 E 的方程为 （ ） （ A） 22145 36（ B） 22136 27（ C） 22127 18（ D ）22118 9【答案】 D 【命题意图】本题考查中点弦问题，中等题 （ 10） 已知实数 ,02 2 0x ，若 3z x y的最 大值为 1，则实数 m 的值为 （ ） （ A） 23（ B） 1 （ C） 83（ D） 3 【答案】 C 【命题意图】 考查线性规划，中等题 （ 11）已知球 O 的半径为 R ， A ， B ， C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 距开始 n=0,S=0 12输入 p 结束 np? 是 否 输出 S 1 离为 32R， 3A B B C A C ，则球 O 的体积是 （ ） （ A） 163（ B） 16 （ C） 323（ D） 32 【答案】 C 【命题意图】考查空间想象能力、运算能力，中等题 （ 12） 已知函数 0(),0m ，若 ( ) ( ) 0f x f x 有四个不同 的根，则 m 的取值范围是（ ） （ A） (0,2)e （ B） (0, )e （ C） (0,1) （ D） 1(0, )e【答案】 D 【命题意图】考查分段函数的图象和性质，与方程的根，导数的几何意义，较难题 第 （非选择题，共 90 分） 本试卷包括必考题和选考题两部分第（ 13） （ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（ 22）题 第（ 23）题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卡上答题 （ 13）已知向量 (2,1)a ， ( , 1)，若 a ()，则 【答案】 5 【命题意图】考查平面向量基本运算，简单题 （ 14）如图，扇形 圆心角为 90 ，点 P 在弦 ，且 2P ，延长 弧 点 C ，现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形 的 概率为 【答案】 13【命题意图】考查几何概型、正弦定理，中等题（提示：正弦定理 s i n 4 5 1s i C ） （ 15） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】 103【命题意图】考查三视图，中等题 （ 16）在锐角 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ( ) ( s i n s i n ) ( s i n s i n )c b C B a A B 若 23c ，则 22的取值 范围是 【答案】 20,24 【命题意图】考查解三角形及三角函数相关知识，较难题 （ 提 示 ： 由 正 弦 定 理2 2 2 1( ) ( ) ( ) c o s 6 0 1 2 02c b c b a a b c a b a b C C A B . 由正弦定理： 232 4 4 s i n , 4 s i ns i n s i n s i n s i n 6 0a b cR a A b C , 令 6 0 , 6 0 , ( 0 3 0 ) 2 2 2 2 2 2 11 6 ( s i n s i n ) 1 6 s i n ( 6 0 ) s i n ( 6 0 ) 1 6 (1 c o s 2 )2a b A B 0 2 60 ， 1 12 ，从而有 2220 24 .） 三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请11俯视图正视图 侧视图2 222215第 题 图14第 题 图 （ 17）（本小题满分 12 分） 已知数列 n 2 4 1 （ ）求 （ ）设1 2n n nb a a ，求数列 n 项和 【命题意图】考查数列的概念，等比数列的基本运算，数列的求和，考查运算能力，简单题 【解析】 （ ） 2 4 1 1n 时，112 4 1，即112 4 1，解得1 12a； 2n 时， 2 4 1 112 4 1 由 - 得，所以12 数列 项 为 12， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 即121 222 6 分 （ ）由（ ）知231 2 2 2nn n nb a a 8 分 1 1 3 2 312 2 2 2 2 2b b b n 1 4 ) 214n n = 1 (4 1) 26 n n12 分 （ 18） （本小题满分 12 分） 2017 年 3 月 27 日，一则 “清华大学要求从 2017 级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业 ”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响 游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱 其实，已有不少高校将游泳列为必修内容 某中学为了解 2017 届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对 100 名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游 泳 不喜欢游泳 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这 100 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 35 （ ） 请将上述列联表补充完整； （ ） 判断是否有 把握认为喜欢游泳与性别有关？ 附： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d 2 0()p K k 命题意图】考查独立性检验，考查学生的运算求解能力，简单题 【解析】 （ ） 因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 35，所以喜欢游泳的学生人数为 3100 605人其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 5分 （ ） 因为 22 1 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 1 6 . 6 7 1 0 . 8 2 86 0 4 0 5 0 5 0K 所以有 把握认为喜欢游泳与性别有关 12分 19. 已知几何体 ， C ， 平面 1A B A D E A ， 2F. （ ）求证：平面 平面 （ ）求点 B 到平面 距离 . 【命题意图】考查空间线面关系、几何体体积的计算，空间想象能力，中等题 2 2 22246,B C C D B D B A B C D B D A B C D E A B F C F C B B C F C B D B D B C B C F B D E B D E B D B C A B C D E A C D E A A C D C D E A Q L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 由 题 意 可 知 ： B D = B C = C D = 2 B D 分平 面 平 面分由 ， 及 得平 面 ， 面 ， 平 面 平 面 分平 面又 平 面1, 1 2 , 2211921 1 1 1 23 3 2221 2 D E E B C D C D E B C D E D E A A D E A A D E D S C D E D A D E S d S E A D E 分设 到 平 面 的 距 离 为由 得 ：即 点 到 平 面 的 距 离 为 分（或由 点 B 到平面 距离等于点 A 到平面 距离，过点 A 作 E 于点 O,易知 长度即为所求 . ） （ 20） （本小题满分 12 分） 已知曲线 2:4C y x ， 22: ( 1 ) 4 ( 1 )M x y x ，直线 l 与曲线 C 相交于 两点， O 为坐标原点 . （ ）若 4B 求证：直线 l 恒过定点，并求出定点坐标； （ ）若 直线 l 与曲线 M 相切，求 B取值范围 . 【命题意图】考查抛物线、圆的方程、直线和圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，中等题 【解 析】（ ）由已知，可设 :,l x my n1 1 2 2( , ( ,A x y B x y)、 )A x my 得： 2 4 4 0 ,y m y n 1 2 1 24 , 4 .y y m y y n 221 2 1 24 2 , .x x m n x x n 由 4B 得： 21 2 1 2 4 4 .x x y y n n 解得： : 2,l x m y 直线 l 恒过定点 (2,0) . （ 5 分） （ ） Q 直线 l 与曲线 M 相切， M (1,0) ,显然 3n 21 21,整理得： 224 2 3 .m n n 由 （ ）及 可得： 1 1 2 21 2 1 21 2 1 2 1 22222( 1 , ) ( 1 , )( 1 ) ( 1 )( ) 14 2 1 44 6 144M A M B x y x yx x y yx x x x y yn m n nn m u u ur u u M B 即 B取 值范围是 ( , 8. （ 12 分） （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( 1 ) l n ( ) ( )f x x x x a a R （ ）若 ()0, ) 上单调递减，求 a 的取值范围 ； （ ）若 ()证：1254 【命题意图】本题考查导数的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题 【解析】（ ）由已知， 11( ) l n 2 ( ) l n 2 1 2 0xf x x x a x x 恒成立 令 1( ) l n 2 1 2g x x x ，则 22 2 21 1 2 1 ( 2 1 ) ( 1 )( ) 2 ( 0 )x x x xg x xx x x x 01x 当 时， ( ) 0 ， ( ) 0,1 ） 上单调递减， 1x当 时， ( ) 0 ， ( ) 1,在 （ ） 上单调递增， m i n( ) (1 ) 2 2g x g a 由 ( ) 0 恒成立可得 即当 ()0, ) 上单调递减时， a 的取值范围是 ( ,1. （ 5分） （ ）若 ()妨设120 . 由 （ ）可知 且 1 1 111( ) l n 2 1 2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .f x x x 2 2 221( ) l n 2 1 2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .f x x x 由 - 得：1 1 2 122 1 2l n 2 ( ) 0x x x x x 1121 2 21( ) ( 2 ) l n 0x x x 121 2 即 12 112xx e 由 + 得：121 2 1 212l n ( ) 2 2 ( ) 4 0x x x 121212l n ( ) 2 4 1 2 4 5 2 42x x （ 12 分） 请考生在第（ 22）和第（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线1 （ t 为参数） x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：2 2123 . （ ）求曲线1 （ ）若1B、 两点，设点 (1,0)F ，求 11| | | |B的值 . 【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，直线与椭圆的位置关系，中等题 【 解 】 （ I） 11 23 ,2 （ t 为参数） 22233 3 3 0 ， 所以 曲 线1( 1). 2 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2212 3 s i n 1 2 3 ( ) 1