福建省三明市2017年高中毕业班质量检查数学理科试题含答案

2017 年三明市 普通 高中毕业班质量检查 理 科 数 学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非必考题两部分）第卷 1 至 3 页，第卷 4至 6 页满分 150 分 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 | 1 2 1 6 , |xA x B x x a ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围是 A. 4a B. 4a C. 0a D. 0a 2 已知 i 是虚数单位，则复数 1i的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 6 名 同学合影留念，站成两排三列， 则其中 甲乙两人不在同一排也不在同一列 的概率为 A 15B 25C 49D 454 设 1F ， 2F 为双曲线 22:1 ( 0 , 0)的左、 右焦点， P 为 上一点， 2 x 轴垂直，直线 1的斜率为43，则双曲线 的渐近线方程为 A B 2 C 3 D 2 5 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 2，则输出 S 的值为 A 64 B 84 C 340 D 1364 6已知数列 n 项和为 且 1 n + 11 2 ( )a a n N， ，则 016210083 2 3 B. 122016 C 322009 D 322008 ) s i n ( ) 2 c o s ( ) ( 0 )f x x x 的图象关于直线 x 对称，则 A. 35B. 35C. 45D. 458在 区域 0,( , ) | 1 ,1xx y x 中 ， 若满足 0ax y 的区域面积占 面积的 13，则实 数 值 是 A. 23B. 12C. 12D. 239. 在四面体 ，若 3D， 2D， 5C，则直线 A 13B 14C 14D 1310函数 2| |() 2的图象大致是 11已知1F，22: 1 ( 0 )a 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段2 2 2x y b相切于点 Q ，且点 Q 为线段2 22其中 e 为 椭圆 最小值为 A 6 B. 364C. 5 “牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个 曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）如图，正边形 为 体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是 半径为 r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为 A 38338331633163 用前 2017 年三明市 普通 高中毕业班质量检查 理 科 数 学 第卷 注意事项： 用 米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 本卷包括必 考 题和选 考 题两部分第 13 题 第 21 题为必 考 题，每个试题考生都必须做答 . 第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求 做 答 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 已知向量 a ， b 满足 ( 3 , 1)a ， | | 1b ， 且 实数 . 14 5(1 )(1 )a x x的展开式中 2x 的系数是 20，则 实数 a . 15. 已知函数 2( ) = c o s ( )f n n n ， 数列 ) ( 1 )na f n f n ()n N， 则1 2 2 na a a . 16对于 定义域为 R 的函数() 满 足 (0) 0f ； 当 xR ， 且 0x 时 ,都 有 ( ) 0xf x ； 当12且 12( ) ( )x f x时，120，则称 ()对称函数” 现给出四个函数 ： 211( ) ( 0 ) ,()2 1 20 ( 0 ) ;x l n ( 1 ) ( 0 ) ,()2 ( 0 ) ; 323() 2x x x ； ( ) e 1 则其中是“偏对称函数”的函数个数为 三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 在 ， 角 ,对的边分别为 , 60B ， 4c （）若 6b ， 求角 C 的正弦值及 面积； （ ）若 D ， E 在线段 ，且 E ， 23D ，求 长 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P 中，侧面 底面 底面 平行四边形，45， 2P， 22A B D P ， E 为 点 F 在线段 （ ） 求证： C ； （ ） 试确定点 F 的位置， 使得 直线 平面 成的角和直线 平面 成的角相等 19 （本小题满分 12 分） 某市 政府 为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水 价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12 吨时，按 4 元 /吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 14 吨时，超过 12 吨 部分按 /吨计算水费；若用水量超过 14 吨时，超过 14 吨部分按 /吨计算水费 为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 户 居民的月用水量（单位：吨），将数据按照 0,2 ，(2,4 ， ， 14,16 分成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图 . （图 1） （图 2） （）假设 用抽到的 100 户居民 月用水量 作为样本估计全市的居民用水情况 （ i）现 从全市居民 中 依次随机抽取 5 户， 求这 5 户居民 恰好 3 户居民 的 月用水用量 都超过 12 吨的概率； （）试估计全市居民用水价格的期望（精确到 （ ）如图 2 是该市居民李某 2016 年 1 6 月份的月用水费 y (元 )与月份 x 的散点图， 其拟合的线性回归方程是 2 33. 若李某 2016 年 1 7 ，试估计李某 7 月份的用水吨数 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )xy 的右焦点 (1, 0)F ,椭圆 的左 ,右顶点分别为, F 的直线 l 与椭圆交于 ,且 面积是 面积的3 倍 . （）求椭圆 的方程； （ ）若 x 轴垂直 ， , 上位于直线 侧的动点， 且 满 足A C D B C D ，试问直线 斜率是否为定值，请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 22( ) e ( 2 1 )xf x a x x ， aR （ ） 当 4a 时，求证：过点 (1,0)P 有三条直线与曲线 ()y f x 相切 ； （ ） 当 0x 时， ( ) 1 0 ，求实数 a 的取值范围 . 请考生在（ 22）、（ 23） 两 题中任选一题作答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22（ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 4： 坐标系与参数方程 在平面 直角坐标系 ， 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若直线l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 2 04 ，曲线 C 的极坐标方程为：2s in c o s ，将曲线 C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平 移一个单位得到曲线1C. （ ） 求曲线1 （ ） 已知直线 l 与曲线1 (2,0)P ，求 B 的值 23.（ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 5： 不等式选讲 已知函数 ( ) 2 2 1f x x a x ， aR （ I） 当 3a 时，求关于 x 的不等式 ( ) 6的解集； （ 当 xR 时， 2( ) 1 3f x a a ，求实数 a 的取值范围 . 2017 年三明市 普通 高中毕业班质量检查 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题： 每小题 5 分，满分 60 分 8. C 9. D 、填空题： 每小题 5 分，满分 20 分 13. 2 15. 2n 17解： （） 60B ， 4c ， 6b ， 在 ， 由正弦定理 得 34s i n 32s i ， 2 分 又 ，所以 ，则 C 为锐角，所以 6， 则 s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i C B C B C 3 6 1 3 3 2 32 3 2 3 6 ， 所以 面积 1 3 2 3s i n 1 2 6 2 2 326S b c A 6 分 （ ）设 BD x ，则 2BE x ， 23AE x ，又 60B ， 4c ， 在 ，由余弦定理得 221 2 1 6 4 2 4 2 c o s 6 0x x x ， 即 28 16 8 ，解得 1x ， 9 分 则 2，所以 90， 在直角 ， 22 1 2 1 1 3A D A E D E 12 分 18解： （ ） 证明：在平行四边形 ， 连接 因为 22， 2， 45， 由余弦定理得 2 8 4 2 2 2 2 c o s 4 5 4 ， 得 2， 2 分 所以 90，即 C ，又 所以 C ， 又 2P， 22，所以 D ， C A ， 所以 平面 所 以C 5 分 （ ） 侧 面 底面 D ，所以 底面 所以直线,D 两互相垂直，以 A 为原点，直线 ,D 标轴， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系A ， 6 分 则 (0,0,0)A ， ( 2,0,0)D ， (0,2,0)C ， ,2,0)B ， ( 1,1,0)E ， (0,0,2)P ，所以 (0, 2, 2 )， ( 2 , 0 , 2 ) ， (2, 2, 2)，设 ( 0,1) ， 则 ( 2 , 2 , 2 ) ， ( 2 , 2 , 2 2 )F ， 所以 ( 2 1 , 2 1 , 2 2 ) ， 易得平面 法向量 (0,0,1)m 8 分 设平面 法向量为 ( , , )x y zn ，由 0n ， 0n ， 得 2 2 0,2 2 0, 令 1x ，得 (1, 1, 1) n 10分 因为直线 平面 成的角 和此直线与平面 成的角相等， 所以 | c o s , | | c o s , |E F E F | | | | | | | | | | |E F E F n，所以 2| 2 2 | | |3 ， 即 3 | 1 | | |， 解得 332 ， 所以 332 12分 19. 解：（） （ i）由题意， 从 全市居民 中 依次随机抽取 5 户 ， 每 户居民 月用水量超过 12吨的概率为 110，因此 这 5 户居民 恰好 3 户居民 的 月用水用量 都这超过 12 吨的概率为 3 3 25 1 9 8 1( ) ( )1 0 1 0 1 0 0 0 0 4分 （ 由题 设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下： 月用水量 x （吨） (0,12 (12,14 (14,16 价格 X （元 /吨） 4 概率 P 所以 全市居民用水价格的期望 ( ) 4 0 . 9 4 . 2 0 . 0 6 4 . 6 0 . 0 4 4 . 0 4 吨 8 分 ( ) 设李某 2016 年 1 6 月份的月用水费 y （ 元）与月份 x 的对应点为( , ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )y i ， 它们的平均值分别为 x ， y ，则 1 2 6 2 1 6x x x x ，又点 ( , )3上，所以 40y ，因此 1 2 6 240y y y ，所以 7 月份的水费为2 9 4 4 0 5 4 元 设居民月用水量为 t 吨，相应的水费为 ()，则 4 , 0 1 2 ,( ) 4 8 ( 1 2 ) 6 . 6 , 1 2 1 4 ,6 1 . 2 ( 1 4 ) 7 . 8 1 4 1 6 ,t t 即 4 , 0 1 2 ,( ) 2 6 . 6 3 1 . 2 , 1 2 1 4 ,7 . 8 4 8 , 1 4 1 6 ,t t 当 13t 时， ( ) 6 . 6 1 3 3 1 . 2 5 4 . 6 ， 所以李某 7 月份的用水吨数约为 13 吨 12 分 20. 解法一： （ I）因为 面积是 面积的 3 倍， 所以 3F ，即 3a c a c ，所以 22，所以 2 3b ， 则椭圆 的方 程为 22143 4 分 （ 当 A C D B C D ， 则 0A C B ， 设直线 斜率为 k ，则直线 斜率为 k ， 不妨设点 C 在 x 轴上方， 31,2C， 设 A 11,B 22, 则 直线方程为 3 12y k x ，代入 22143中整理得 2 2 23 4 4 2 3 4 1 2 3 0k x k k x k k ， 1 24 2 3134； 同理 2 24 2 31 34k 8 分 所以 212 28634， 12 22434k ， 10 分 则1212 12122k x x 12， 因此 直线 斜 率 是 定值12 12 分 解法二： （ I） 同 解法一 （ 依题意知 直线 斜率存在，所以设 程： y kx m代入 22143中 整理得 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k m x m ， 设 A 11,B 22, 所以12 2843k ， 212 24 1 243k ， 6分 2 2 2 2 2 26 4 4 ( 4 3 ) ( 4 1 2 ) 1 6 ( 1 2 3 9 ) 0k m k m k m 当 A C D B C D ， 则 0A C B ，不妨设点 C 在 x 轴上方， 31,2C， 所以 12123322011，整理得 1 2 1 232 ( ) ( ) 2 3 02k x x m x x m ， 8 分 所以 2224 1 2 3 82 ( ) ( ) 2 3 04 3 2 4 3m k mk m ， 整理得 21 2 1 2 ( 2 ) 9 6 0k m k m ， 9分 即 ( 6 3 ) ( 2 2 3 ) 0k k m ，所以 2 2 3 0 或 6 3 0k 10 分 当 2 2 3 0 时， 直线 定点 31,2C， 不合题意； 当 6 3 0k 时， 12k，符合题意， 所以 直线 斜率是 定值 12 12分 21. 解法一： ( )当 =4a 时， 22e 4 2 1xf x x x ， 2 2 2 2 2e 2 4 2 1 e 8 2 2 e 4 6x x xf x x x x x x 1分 设直线与 曲线 ()y f x 相切，其切点为00( , ( )x f x， 则曲线 ()y f x 在点00( , ( )x f 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x ， 因为切线过点 (1, 0)P ，所以0 0 0( ) ( ) (1 )f x f x x ， 2分 即 0022220 0 0 0 0e 4 2 1 2 e 4 6 1x x x x ， 02 ， 3008 1 4 1 0 ， 3分 设 38 1 4 1g x x x ， 2 3 5 0 , 0 1 0 , 1 5 0 , 2 3 7 0g g g g 4分 0在三个区间 2 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 上至少各有一个根 又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程 38 1 4 1 0 恰有 三个根， 故过点 1,0P 有三条直线与曲线 ()y f x 相切 5分 ( ) 当 0x 时， ( ) 1 0， 即 当 0x 时， 22e 2 1 1 0x a x x 当 0x 时， 2212 1 0x x ， 6 分 设 22121 x a x x ，则2221( ) 2 2 2 ( 1 )x a x a x ， 7 分 设21( ) 1 x a x ，则22() x a 当 2a 时 ，220 , 2 ，从而 0 （当且仅当 0x 时，等号成立） 211 e xm x a x 在 ,0 上单调递增， 又 0 0 ,m 当 0x 时， 0，从而 当 0x 时， 0 ， 2 2121 e xh x a x x 在 ,0 上单调递减，又 00h ， 从而 当 0x 时， 0，即 2212 1 0x x 于是 当 0x 时， ( ) 1 0， 9分 当 2a 时 ，令 0 ，得22 0, 12l n 0 ,2x a 故当 12( l n ( ) , 02x a时 , 22 2a , 211 e xm x a x 在 12( ) , 02 a 上单调递减， 又 0 0 ,m 当 12( l n ( ) , 02x a时， 0， 从而 当 12( l n ( ) , 02x a时， 0 ， 2 2121 e xh x a x x 在 12( ) , 02 a 上单调递增，又 00h ， 从而 当 12( l n ( ) , 0 )2x a时， 0，即 2212 1 0x x 于是 当 12( l n ( ) , 0 )2x a时 ， ( ) 1 0， 11分 综合得 a 的取值范围为 2, . 12 分 解法二： ( )当 =4a 时， 22e 4 2 1xf x x x ， 2 2 2 2 2e 2 4 2 1 e 8 2 2 e 4 6x x xf x x x x x x ， 1分 设直线与 曲线 ()y f x 相切，其切点为00( , ( )x f x， 则曲线 ()y f x 在点00( , ( )x f 0( ) ( ) ( )y f x f x x x ， 因为切线过点 (1, 0)P ，所以0 0 0( ) ( ) (1 )f x f x x ， 2分 即 0022220 0 0 0 0e 4 2 1 2 e 4 6 1x x x x ， 02 ， 3008 1 4 1 0 3分 设 38 1 4 1g x x x ，则 22 4 1 4g x x ，令 0 得 712x 当 x 变化时， ( ) ( )g x g x， 变化 情况如下表： x 7( , )12 71277( , )1 2 1 2712