2015年广东省揭阳市高考一模文科数学试题及参考答案

揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 1 页（共 4 页） 绝密启用前 揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学 (文科 ) 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后 再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式： 棱锥的体积公式：13V 其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高 导数公式： 若() 1)f x x，则() 1)f x x； 若() 1)f x x，则() 1)f x x 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 1 设集合4,5,6,8, 3,5,7,8，则 A 5 B 6 C 7 D 8 2已知复数( 8 7)( 3)z i i ，则 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 “ 是 “22”的 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 双曲线2214( 0)a的离心率为 A. 5 D. 3 5已知(, 2,1（ - ），若 则 值为 A. 2 B. 2 12揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 2 页（共 4 页） 40 50 岁50 岁以上40 岁以下30 %20 %50 %6 已知函数 0, 1)的图象经过点1(2, )2，则其反函数的解析式为 A. 4. 4. 1()2 7 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 1 示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40 名职工进行调查 0 8不等式组5 3 1 5+15 3 ，表示的平面区域的面积为 图 1 A. 14 C. 3 D. 7 9设,是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 , / , /m lm l则； , /m m l 则； , , / ,l m l m 则； , ,/, /m m l l 则. 10. 对任意的 a、 定义： ( ).( )a a bb a b ； ( ).( )a a bb a b . 则下列各式中恒成立的个数为 ( )() ( i,) () A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 （一）必做题（ 11 13 题） 11不等式2 3 10 0 的解集为 12 在 A B C 、 、的对边分别为 a b c、 、，若 3a， 2，3A ， 则 b 13 已知函数3()f x x对应的曲线在点( , ( )( )f a k N处的切线与 ( ,0) 若 11a ，则33 31 2 1 010( ) ( ) ( )21 ( )3f a f a f a 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 3 页（共 4 页） 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 080日期（指数40120160200（二）选做题（ 14、 15 题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题 ) 在极坐标系中，直线) 24被圆=4截得的弦长为 . 15 （几何证明选讲选做题） 如图 2， 别为钝角 两条高，已知1,3, 4 2,F则 的长为 图 2 三、解答题： 本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤 16.(本小题满分 12 分 ) 已知函数( ) 2)( 0, )6f x x x R 的最小正周期为 . （ 1）求 的值； （ 2）若2()3f ，(0, )8，求 值 . 17.(本小题满分 12 分 ) 图 3 是某市今年 1 月份前 30 天 空气质量指数（ 的趋势图 . 图 3 （ 1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图 4 中补全这些数据的频率分布直方图； （ 2）当 空气质量指数（ 小于 100 时，表示空气质量优良 某人随机选择 当 月 （按 30天计） 某一天到达该市， 根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过 60%？ （图中纵坐标 1/300即1300，以此类推） 图 4 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 4 页（共 4 页） 18（本小题满分 14分） 如图 5，已知 ，90, 1C ， 6 面 E、 C、 点 （ 1）求证：平面 面 （ 2）设平面 平面 l，求证 /C l； （ 3）求四棱锥 体积 V 图 5 19. (本小题满分 14 分 ) 已知 和，3( 1)na （*，且 212 （ 1） 求 1 （ 2）求 数列 （ 3）求证： 121 1 1 13 S 20. (本小题满分 14 分 ) 已知抛物线 C：2 2 ( 0)x py p的焦点为 F，点 抛物线 | | 5 （ 1）求抛物线 （ 2）设直线:l y kx m与抛物线 ，且直线 探究，在坐标平面内是否存在点 N，使得以？若存在，求出点 不存在，说明理由 . 21. (本小题满分 14 分 ) 已知函数()f x ( ) x，其中 （ 1）若函数() () ()Fx f x ， 当 1a时，求函数() （ 2） 若函数() (1) ()Gx f x 在区间(0,1)上为减函数，求 （ 3） 证明： 111)1 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 5 页（共 4 页） 揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学 (文科 )参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或 几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题： 解析： 10. 由定义知、恒成立，不恒成立，正确答案 B. 二、填空题： 11. | 2 5； 12. 26； 13. 3； 14. 43； 15. 57. 解析： ) 3f x x得曲线的切线的斜率23 故切线方程为323 ( )k k ky a a x a ，令0y得1 23 123，故数列1a ，公比23q 的等比数列，又 33 31 2 10( ) ( ) ( )f a f a f a 10 1011 2 10(1 ) 3(1 )a a ， 所以 31 2 1 010( ) ( ) ( ) 321 ( )3f a f a f a . 15依题意得 22因 E C ,所以2,6,2 57E 三、解答题： 16解： （ 1）由2 得 =2（ 2）解法 1：由 2( ) 2 )63f 得 1 )63 (0, )8 ， 52 ( , )6 6 12， 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 6 页（共 4 页） 2 22 ) 1 2 )6 6 3 2 ) 66 ) ) 6 6 2 2 3 1 1 2 6 13 2 3 2 6 解法 2：由 2( ) 2 )63f 得 1 )63 ， 即1 3 2 c o s 23s 3将 代入22并整理得2423 0 ， 解得：12 24 6 1 2 62 6 ， (0, )8 024， ，故 中负值不合舍去， 1 2 6 6 17解：（ 1） 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 7 页（共 4 页） (2) 由频率分布表知，该市本月前 30 天中空气质量优良的天数 为 19， 故 此人到达当天空气质量优良的 概率：19 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过 60% （ 1）证明： 面 面 D， 又 D， ， 平面 又 E、 F 分别是 中点， / 面 平面 平面 面 （ 2） ， 面 面 / 又 平面 平面 CD l /CD l （ 3）解法 1：由（ 1） 知 D 1 ,414B C 3 3 14 4 4B V S 1 1 61 1 6 8 解法 2：取 点 G，连结 面 平面 由（ 1）知 面 F V1133F S 1 6 1 1 1 6 6113 4 2 3 2 2 8 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 8 页（共 4 页） 1）由 2 1 2 22 32(2 1)S aa a 和 可得 16a ， （ 2）解法 1：当 2n时，由 1n n S得 13( 1) ( 1) 3( 1)( 2)n n na na nn n a n n ， 1( 1) ( 1) 6( 1)a n a n 1 6( 2, )a n n N 数列6a ，公差为 6的等差数列， 16( 1) 6na a n n 解法 2：当 2n时，由 13( 1) ( ) 3( 1)n n n nS na nn 可得 1( 1) 3( 1) nS 1 31 , 数列1S ,公差为 3 的等差数列， 6 3( 1) 3 3nS ，即233nS n n. 6 （ 3）证明： 由（ 2）知1() 3 ( 1)2 nn n a aS n n 1 1 1 1 1()3 ( 1) 3 1nS n n n n 121 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 2 2 3 1 S n n 1 1 1(1 )3 1 3n ， 命题得证 (1)解法 1： 点 抛物线 设 点( , )( 0)抛物线 C 的准线为 2， 由| | 5合抛物线的定义 得52又点 上 ， 2 2m 0)m2由联立解得2p，所求抛物线 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 9 页（共 4 页） 解法 2：点 抛物线 设 点( , )( 0)抛物线 C 的焦点为(0, )2由| | 522( ) 52 , 即22( ) 252 ， 又点 上 ， 2 2m 0)m2由联立解得2p，所求抛物线 （ 2）解法 1：由抛物线 存在点 N，使得 以， 则点 (0, )又设点200( , )4直线:l y kx m与抛物线 知，直线 物线 由2141 2， 001| 2y x， 直线 42x x ， 令1y得20022xx x，, 1)2x x， 2000 02( , ), ( , 1 )42x n NQ 点 2 2 2 20 0 02 (1 )( ) (1 ) 2 0 (*)2 4 4x x Q n n n n n 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 10 页（共 4 页） 要使方程(*)对 0须有21020 解得 1n， 在坐标平面内存在点 N，使得以，其坐标为(0,1) 解法 2：设点 00( , )Mx y，由:l y kx m与抛物线 知，直线 物线相切，由2141 2， 001| 2y x， 直线 0 ()2xy y x x ， 令1y得002( 1)yx x ，1)( , 1) ， 以0002( 1)( )( 1) ( ) 0yy y y x x x x 分别令 02x 和 02x ，由点 上得 01y ， 将 00,：( 1)( 1) ( 2) 0y y x x ( 1)( 1) ( 2) 0y y x x 联立解得0,或0, ， 在坐标平面内若存在点 N，使得以，则点 ,1)或(0, 1)， 将(0,1)的坐标代入式得， 左边 =00002( 1)2(1 ) ( ) x 002(1 ) 2( 1) 0 =右边， 将(0, 1)的坐标代入式得， 左边 =002( 1)( ) 2( 1) 不恒等于 0， 在坐标平面内是存在点 N，使得以，点 ,1) 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (文科 )试题 第 11 页（共 4 页） 1）当 1a时， 函数( ) x x，( 0)x11( ) 1 ， 令( ) 0 1x， 当(0,1)x时( ) 0当(1, )x 时，( ) 0即函数(),1)单调递减，在(1, )单调递增， 函数()x处有极小值， 极 小1 （ 2）解法 1： 函数() (1) ()Gx f x =1) x x在区 间0,1)上为减函数 1( ) 1) 0G x a x x 在(0,1)上 恒成立 1)a 在(0,1)上 恒成立， 设1() 1)Hx ，则 2 2 2 2 c ( )1) 1)x x x x x x x x 当 0,1x时， 0x， 0x所以( ) 0 0,1上恒成立，即函数()0,1上单调递减， 当 0,1x时，() (1) 1， 1a解法 2： 函数() (1) ()Gx f x =1) x x在区间0,1)上为减函数 对(0,1)x，1( ) 1) 0G x a