2017届高三数学理科二模金卷分项汇编4：三角函数与三角形

【备战 2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】 专题 三角函数与三角形 一、选择题 1 【 2017安徽阜阳二模】 将函数 s i n 26f x x 的图象向右平移12个单位后得到的图象的一条对称轴是 （ ） A. 4x B. 38x C. 512x D. 724x 【答案】 C 【解析】 由题意得平移后函数为 s i n 2 2 s i n 21 2 6 3y x x ,对称轴为 5 2 ,3 2 1 2 2kx k k Z x k Z ,因此 512x 为一条对称轴 ,选 C. 点睛：三角函数的图象变换，提倡 “ 先平移，后伸缩 ” ，但 “ 先伸缩，后平移 ” 也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握 记每一个变换总是对字母而言 . 函数 s i x x R 是奇函数 k k Z ；函数 s i x x R 是偶函数 + 2k k Z ；函数 c o x x R 是奇函数 + 2k k Z ；函数 c o x x R 是偶函数 k k Z . 2 【 2017广东佛山二模】 若将函数 c o s 26f x x 的图象向左平移 （ 0 ）个单位，所得图象关于原点对称，则 最小时， （ ） A. 33B. 33C. 3 D. 3 【答案】 B 【解析】 函数向左平移后得到 c o s 2 26 ，其图像关于原点对称为奇函数，故 2 62k ，即 26k ， m i n 3, t a 3 . 3 【 2017广东佛山二模】 已知 3t a ，则2c o s 4 （ ） A. 725B. 925C. 1625D. 2425【答案】 B 点睛：本题考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程 ，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果 果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出 , 4 【 2017安徽马鞍山二模】 已知 2 ，则 41 + c o ss （ ） A. 512B. 352C. 12D. 23m 【答案】 D 【解析】 由 22c o s s i n 1 s i n 可得 51， 4 2 21 1 1 1c o s s i n 1 c o s 1 s i ns i n s i n s i n s i n 2 5 112251 ，故选 D. 5 【 2017安徽马鞍山二模】 动点 ,A x y 在圆 221上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为013,22A， 12 秒旋转一周 则动点 A 的纵坐标 y 关于（单位：秒）的函数解析式为（ ） A. s i B. c o C. s i D. c o s 3 【答案】 C 【解析】 因为动点初始位置为013,22A，所以 0t 时， 32y，可排除选项 A、 B；又因为动点 12 秒旋转一周，所以函数周期为 12 ，可排除选项 D,故选 C. 6 【 2017湖南娄底二模】 已知函数 2 s i n 1f x x （ 0 ， 2）， 1f ， 1f ，若 的最小值为 34 ，且 14对称，则函数 ） A. 2 , 22 ， B. 3 , 32 ， C. 52 , 22 ， D. 53 , 32 ， 【答案】 B 点睛：已知函数 s i n ( 0 , 0 )y A x B A 的性质求解析式： (1) m a x m i n m a x m i n,22y y y . (2)由函数的周期 T 求 2,(3)利用 “ 五点法 ” 中相对应的特殊点求 . 7 【 2017河北唐山二模】 已知函数 c o s 2 3 s i n 2f x x x （2）的图象向右平移12个单位后关于 y 轴对称，则 02上的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 2 【答案】 C 8 【 2017河北唐山二模】 已知 ， 均为锐角，且 s 2 s ，则（ ） A. t a n 3 t a n B. t a n 2 t a n C. 3 t a n t a n D. 3 t a n 2 t a n 【答案】 A 【解析】 s 2 s ， 1 s i n 2 s i n 2t a n s i n c o s 3 s i n 22 31t a n c o s s i n s i n 2s i n 2 s i n 22 ， 即 t a n 3 t a n ，故选 A. 9 【 2017安徽淮北二模】 已知函数 s i n , ( 0 , 0 , 0 )f x A x A ，其部分图像如下图，则函数 ） A. 12 s i x x B. 132 s i x x C. 132 s i x x D. 2 s i n 24f x x 【答案】 B 10 【 2017安徽淮北二模】 已知 满足 1，则 c o s c o （ ） A. 718B. 2518C. 718D. 2518【答案】 A 【解析】 222 2 1c o s c o s c o s s i n c o s s i n c o s s i 2 2 2 21 1 1 71 2 s i n 1 22 2 9 1 8 ，选 A. 11 【 2017山西三区八校二模】 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 60 ， 长度大于 1米，且 了稳固广告牌，要求 短越好，则 短为（ ） A. 312米 C. 13 米 D. 23 米 【答案】 D 【解析】 由题意设 ( 1)BC x x米， ( 0)AC t t米，依题设 0 . 5 0 . 5A B A C t 米，在 余弦定理得： 2 2 2 02 c o s 6 0A B A C B C A C B C ，即 2 220 . 5t t x ，化简并整理得： 2 0 . 2 5 ( 1 )1，即 0 121tx x ，因 1x ，故 0 1 2 2 31tx x （当且仅当 312x 时取等号），此时取最小值 23 ，应选答案 D。 12 【 2017江西南昌十所重点二模】 函数 2 32 s i n 12 是 A. 最小正周期为 的偶函数 B. 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为2的偶函数 D. 最小正周期为2的奇函数 【答案】 A 【解析】 2 32 s i n 1 c o s 2 3 c o s 22y x x x ， 2 32 s i n 12 是最小正周期为 的偶函数 . 13 【 2017福建 4月质检】 已知抛物线的焦点 F 到准线的距离为 p ，点 A 与 F 在的两侧， AF l且 2AF p ， B 是抛物线上的一点， 直于点 C 且 2BC p ， 别交， 点 , 与 的外接圆半径之比为（ ） A. 12B. 32C. 233D. 2 【答案】 B 【解析】 由题得如图 ， 3 , 3 , / / , 2 ,2B p p A F B C A F B C p F E p ， 11 ,23A D A M A D A B C 229 3 2 3A B p p p ， 2 3 2 3,33A D p D F p ，有正弦定理可得， 外接圆半径之比为 32故选 B 点睛：考察正弦定理和外接圆，做此类型得题多化草图分析理解题意 14 【 2017四川资阳 4月模拟】 正方形 C，若 120 ，则 A. 6B. 3C. 4D. 2【答案】 C 15 【 2017四川资阳 4月模拟】 已知函数 s i x x ，其中 0 若 12f x f 对恒成立，则 的最小值为 A. 2 B. 4 C. 10 D. 16 【答案】 B 【解析】 解：由三角函数的性质可知，当12x 时： 2 , 2 4 462x k k k Z ， 取 0k 可得 的最小值为 4 . 本题选择 16 【 2017江西南昌十所重点二模】 若 是第二象限角且 1213，则 = A. 177B. 717C. 177D. 717【答案】 B 【解析】由 是第二象限角且 1213知： 2 5c o s 1 s i ， 12 所以 t a n t a n 4 5 7t a t a n t a n 4 5 1 7 二、填空题 17 【 2017广东佛山二模】 某沿海四个城市 A 、 B 、 C 、 D 的位置如图所示，其中 60 ， 135 ， 80nm ， 4 0 3 0 3 n m i l ， 2 5 0 6 n m i l ， D 位于 A 的北偏东 75 方向 出发以 50h 的速度向 D 直线航行， 60，轮船由于天气原因收到指令改向城市 C 直线航行，收到指令时城市 C 对于轮船的方位角是南偏西度，则 _ 【答案】 624【解析】 设船行驶至 F ，则 50，连接 ,F ，过 A 作 C 于 E ，则8 0 s i n 6 0 4 0 3， c o s 6 0 4 0B E A B, 223 0 3 , 5 0 3C F B C B F A C A E C E , 34c o s , s i c e A C E ，所以 2c o s c o s 1 3 5 10 D A C E ，所以 90，又 50， 50 3，可得 60，所以 15C F N A F N A F C M A F A F C ，故62s . 18【 2017安徽马鞍山二模】 在边长为 2的正三角形 边 C、 上分别取 两点，点 N 的对称点 A 正好落在边 ，则 度的最小值为 _ 【答案】 4 3 6 19 【 2017安徽淮北二模】 在 中，角 ,对边分别为 ,2 2 23 3 2 3 s i na b c b c A ，则 C 等于 _ 【答案】3【解析】 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sa b c b c A ,所以 2 2 2 22 c o s 3 3 2 3 s i nb c b c A b c b c A , 2 2 2 23 s i n c o s , 2 s i n ( ) 26b c b Ab c b c ，因此 2,6 2 3b c A A ,所以2326C 20 【 2017安徽合肥二模】 已知关于的方程 1 c o s s i n 2t x t x t 在 0, 上有实根，则实数的最大值是 _ 【答案】 1 【解析】 由 1 c o s s i n 2t x t x t 得： 22( 1 + s i n 2t t x t ） 有解的条件为 22212t t t ，解得 3, 1 ，因为 0, ，当 3t 时显然不成立，故 1t ，所以实数的最大值 1 点睛：本题考查了三角函数背景下方程有根，涉及含参方程，属于难题处理问题时，先观察将左边利用辅助角公式化简，根据三角函数的有界性，确定参数 3t 或 1t ，分析 3t 时，方程在给定角的范围时，显然不成立，所以注意对结果的检验非常有必要 三、解答题 21 【 2017重庆二诊】 在 中，角 ,对的边分别为 ,知 2s i n 2 s i n 24 （ 1）求 （ 2）若 233，求 B 【答案】 （ ） 1 （ ）6B 或3. 【解析】 【试题分析】（）先用二倍角的余弦公式对等式的右边进行化简，再用两角和的正弦公式分析求解；（）先运用正弦定理将边转化为角的关系，再借助（ 1）的结论将其化为角 B 的方程求解： （ ） s i n 1 c o s 1 s i n 1 s i n 2 s i n c o s 12A B C C A B A B ， 1s in c o s 2； （ ） s i n 2 3s i n 3，由（ ）知 2 3 3 1c o s c o s 3 3 2A B B B B ， 32B， 2 3B 或 23 ， 6B 或 3 . 22 【 2017湖南娄底二模】 已知 ， 2， 120A， c o s 3 s . （ ）求边 长； （ ）设 D 是 上一点，且 面积为 334，求 的正弦值 . 【答案】 （ ） 2; （ ） 277. 【解析】 试题分析：（ ）由 c o s 3s 得 c o s 3 s i n 6 0 ，展开求得 30B，从而知三角形为等腰三角形； （ ）根据面积公式求得 在 ，由余弦定理可得 再由正弦定理即可求解 . 23 【 2017江西 4月质检】 已知函数 4 s i n s i x x x ，在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为， . （ 1）当 0,2x 时，求函数 （ 2）若对任意的 都有 f x f A ， 2b ， 4c ，点 D 是边 中点，求 值 . 【答案】 （ 1） 0,3 （ 2） 7 【解析】 试题分析：（ 1）根据正弦余弦的二倍角公式及两角差的正弦公式得 2 s i n 2 16f x x ，再由 0,2x 根据三角函数的有界性可得结果；（ 2）由对任意的 有 f x f A 可得 时， 最大值，进而可得结果 . 24 【 2017福建 4月质检】 如图，有一码头 P 和三个岛屿 , 3 0 3 , 9 0 m i , 3 0P C n m i l e P B n l e A B n m i l e ， 0120， 090. （ 1）求 , （ 2）某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 P 能使得总航程最短？求出最短航程 . 【答案】 （ 1） 30 3 n 2） 3 0 6 0 3 3 0 7 n m 【解析】 （ 1）在 中， 09 0 , 3 0 3 , 1 2 0P B P C P C B ， 由正弦定理得， s i n s i P B P B C，即09 0 3 0 3s i n 1 2 0 s i n ， 解得 1， 又因为在 中， 000 6 0 ，所以 030， 所以 030，从而 3 0 3B C P C ， 即 ,0 3 n （ 2）因为 009 0 , 3 0A B C P B C ，所以 0 0 09 0 3 0 6 0P B A A B C P B C ， 在 中， 9 0 , 3 0P B A B，由余弦定理得， 2 2 0 2 2 12?c o s 6 0 9 0 3 0 2 9 0 3 0 3 0 72P A P B A B P B A B ， 根据 “ 两点之间线段最短 ” 可知， 最短航线是 “ P A B C P ” 或 “ P C B A P ” ， 其航程为 3 0 7 3 0 3 0 3 3 0 3 3 0 6 0 3 3 0 7S P A A B B C C P . 所以应按航线 “ P A B C P ” 或 “ P C B A P ” 航行， 其航程为 3 0 6 0 3 3 0 7 n m . 点睛：考察正余弦定理的实际运用 25 【 2017四川资阳 4月模拟】 在 中，内角 A， B， a， b， c，已知2 1s i n s i n s i C . ()