§173方向导数与梯度doc

3 方向导数与梯度 教学目的与要求： 1) 掌握方向导数与梯度的定义及相互关系； 2) 掌握方向导数与梯度的计算 教学重点 ： 方向导数与梯度的定义 与计算 教学难点： 方向导数 与梯度的相互关系 教学内容： 定义 1 设三元函数 f 在点 ),(0000 30有定义， l 为从点0),( l 上且含于 0 表示 P 与0 若极限 l 000 )(存在，则称此极限为函数 f 在点0l 的方向导数，记作 )(,00 或 ).,( 000 l 由定义可知，当函数 ( , )f x y 在点0 0 0( , )P x , )xf x y，00( , )yf x 函数 ( , )f x y 在点0x 轴正向， y 轴正向的方向导数都存在，且其值依次为00( , )xf x y，00( , )yf x y，函数 ( , )f x y 在点0x 轴负向， y 轴负向的方向导数也都存在，且其值依次为00( , )xf x y，00( , )yf x y 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出 定理 函数 f 在点 ),(0000 f 在点0l 的方向导数都存在，且 ,co s)(co s)(co s)()(0000 )1( 其中 c os,c os,c 方向 l 的方向余弦 证 设 ),( l 上任一点，于是（见图 17 5） .c o s,c o s,c o 2 由假设 f 在点0有 0 0 0 0( ) ( ) ( ) .x y x f P y f P z o 上式左、右两边皆除以 ，并根据（ 2）式可得 )()()()()(0000 c o s)(c o s)(c o s)( 000. 因为当 0 时，上式右边末项 ,0)( o，于是左边极限存在且有 )()(00s)(co s)(co s)(000 对于二元函数 ),( 说，相应于 )1( 的结果是 ,co s),(co s),(00000 其中 , 是平面向量 l 的方向角 需注意在公式 0 0 0 0 0( , ) c o s ( , ) c o sl x f x y f x y中，当 0 ，2时，000( , )f x ，当2 ， 0 时，000( , )f x ，可见当 ( , )f x y 可微时，偏导数是方向导数的特例 例 1 ),( 32 . 求 f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿 l 方向的方向导数 , 其中 （ 1） l 为方向 ) 1 , 2 , 2 ( ; （ 2） l 为从点 ) 1 , 1 , 1 ( 到点 ) 1 , 2 , 2 ( 的方向 . 解 （ 1） l 的方向余弦为 2 2 222c o 2 ) 1 ， 2 2 222c o 2 ) 1 ， 2 2 211c o 2 ) 1 ， 又 因为(1,1,1)1 ， ( 1 ,1 ,1 )( 1 ,1 ,1 )22f ， 2 ( 1 ,1 ,1 )( 1 ,1 ,1 )33f ， 所以 ( 1 , 1 , 1 )2 2 1 11 2 33 3 3 3 （ 2）从点 ) 1 , 1 , 1 ( 到点 ) 1 , 2 , 2 ( 的方向 l 的方向数为 ), 0 , 3 , 1 ( l 的方向余弦为 211101 ( 3 ) 0 , 2 2 23c o 3 ) 0 310 , 2 2 20c o s 01 ( 3 ) 0 . 又因为(1,1,1)1 ， ( 1 ,1 ,1 )( 1 ,1 ,1 )22f ， 2 ( 1 ,1 ,1 )( 1 ,1 ,1 )33f ， 因此 =10510321011 . 例 2 设 21 , 0 , 0, y x xf x y ，其 余 部 分这个函数在原点不连续（当然也不可微），但在任何始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值恒为零 原点处沿任何方向 l 都有 0,0 0 . 例 例如二元函数 22,f x y x y在点 0,0 处的两个偏导数不存在，当然不可微 ，但函数 22,f x y x y在点 0,0 处沿任意射线 l 的方向导数都存在 . 设在点 0,0 处沿任意射线 l 的方向余弦是 ，在射线 l 上任取一点 , c o s , c o s ，其中 是点 ,原点 0,0 的距离 的定义，有 00c o s , c o s 0 , 0l i m l i m 1 ， 即在点 0,0 处沿任意射线 l 的方向导数都是 1 . 注 可微是方向导数存在的充分条件不是必要条件 . 注 连续不是方向导数存在的充分条件也不是必要条件 . 定义 2 设函数 ( , , )f x y z 在点0 0 0 0( , , )P x y 称向量 0 0 0( ) , ( ) , ( )x y f P f f 在点0度 ，记作 0 0 0( ) , ( ) , ( )x y zf f P f P f Pg r a d 向量 长度（或模）为 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x y zf f P f P f P g r a 记 l 方向上的单位向量 为 0 c o s , c o s , c o s l. 则方向导数公式 又可写成 0 0 0 0 c o f P f P g r a d g r a 其中 是梯度 0 因此当 0 ， 0 f 在0f 在0f 的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模；而当 l 与梯度向量反方向 时，方向导数取得最小值 0 例 求函数 23,f x y z x y y z在点0 (2, 1,1)P 处的梯度及 梯度的模 解 因为 2f ， 32f xy ， 23f