《高等数学》授课教案

总学时64等数学授课教案第一讲习介绍、函目的了解新认识观掌握基本初图像及性质熟练复合分。重难点程序概念段复合例子定义域与提要前言首先是其次对中过进行总结上指变量间相依关系模型事物普遍联反映主以作为研究象因此必须有深刻理1什么视文化础种它准确严格应用广泛现代社会明思维特征促和精神力2开发大脑训体操于我们左全面3知技术数自然科生活工能智慧习培养人这的一生供持续展动、新认识观门殊提供想方法推类步重教育目想方素质包括创。意义通“”而的般见材序二函概念总学时64数定义变量间的一种对应关系单值。用化观点记)(x f y=说明表达式含域自取集合D x x f y y例求y图像设x f x x f y y 引入速度问题基本初等函子简单授课提要前言在面中我们已讨论了变量间关系()节将化趋势此础上率即是高它质比值现实有丰富应略某四则运算3几类若x f x f x x=下列2+x x x x x x x x xx gx x g,x gx fx gx fx x x x x x x x x xx gx x x g x 下列极限(1)xx g x f,当xx 个重要ex x x x x x x x x x xx y 学时64函数)(x f y=在0相应x f x x f y+若f x x dx y x f即f x x f x f,x x fx f y x f x x f x x f x 关系种特殊x 否存在为什么0若曲线y x)(y x x 探究从变速直运动物体瞬间度问解决方法中你对“”有会近似转化精确总学时64数的本质从微观局部上研究非均匀量如速度、密电流电压等变化率问题是处理“除法”其思想方(1)在小范围内以代不或获得近似值2利用极限使转为精确。函点看描述线性形态即可表示曲都一条直切凭着斜整体应中单调作业】1求下列()0x x x x x x xx x x x xx x xe已知=x x x x x f、设物的运动程f x f x f x,极限x x f2函数f x x x f3证明导公式x 23变化率总学时64=处在则1)(,32x x fx xx x x 右导数都存Bax f x f x部x f x f x +学认识实验两个重要极限的图像ex x x=)1(x x 总学时64教学目熟悉基本公式理解几何意义会求切线方程。重难点序复习定例子物授课提要一、初等函x y=由推于是我们有x x x x 同样可得x x ex x x 乘x x y x x y x y x x x x y 数的几何意义作图说明结论)(0x f表示曲线y=在点,切斜率。例4求21x x y处方程5设为可函且x x f f x定及四物理体运动则x x x x x x x x x f x f x f x x x f 】1、求下列函的()2x y=x y x x y x x x x y+xx x y x x y ?)2(,03f x x x f+=求5物体的运动方程为1刻速度6抛线y 球受力斜面上滚秒末离开初始位置距y x 1)(,n;=y x y y x x f xy x x+x fx x 在x=0处比较曲线x y2+x y x y。例子二阶定义及授课提要、由我们可以得到如下x x ex x x Cx =x x x x x x x x 2列x x y x x y x x y x y )=x x y,x x ey lx y y x x x y求证4已知曲线x x f。记)(x x y x x y x x y x x f x g x f fx x x x g x x xx f x g f x g x x(2)x f x,x g x x f+x g f x x f g=x f x gx f x x 际利润并计算x 数的物理意义更深层次反映了本质研究非匀速体运动变化率。)(路程对时间】、求下列=x x y x y x x yx ex 已x x x x y x y x x 轴交为0)(mx f2若3f x x f f xx f hx f x x x f 学时64与导的图像比较x y x y x 2=续教目了解性概念理关系。重难点基本公式几何直观可程序复习极限定义条件初等例子授课提要一导数和举略的作图设函)(x f y=在0及附近有当x x,x f x 论函数x x x x x f 有导x x f f f +=1,)(2x x x x f问x x 若在0上且试证方程x f x 示作新使用零存定理学认识验不类型而尖折如x y kx x y 续点为可导05总学时64难点作为面程序提出问题决思想例子性质简单授课要前言在自然科、工技术和经济许多中常会遇到各种平图形计算对于三角四边及直圆可以用初等数方法但由任一连续围成就不下讨论曲线所引入1曲梯谓是指有条段其两相互行与这垂如示2求0,=y x x x y(特殊形)析若将矩比较差异都而总学时64矩形近似代替曲边梯。为了减少误差把分成许多小并的面积当割越细所得值接准确通过求之和极限就2解决问题思路第一步二三四取、定义现实中例尽管际意不同但方法是样按“”将量归结个式我们称这种“函数f dx x f=)(x x b有关而变何字母无几作图在x x x fbx x x f总学时64在a,b上f(x)可正负则定积分表示轴方图形的面 dx x f=结论几何意义“有号”x x f A。例用判列0x ex和所围成四性质简略x x fx x f x x f x积分中值定理设函数f(x)在以x x f x且非负表明点得底边、y f x c,其常2述根据y f x x x R R R3x x 结果方法等说明“什么是”小本质从宏观整体研非均匀量改变问。处理乘其思想()在范围内以不代获得近似值利极限使转化为精确中了需要而求和作业】一判正误x x x b及有关x f x x x x x y 定积分的义计算x 10x x y x x x x x x 数2x y=在0,上所围成的面积分析步长为.割。握原函数概念及难点作为路程定积分、微基本理序复习和极限计算方法简单授课提要前言是一个如果用义来杂且不易所以必须寻找新下面将研究与关系若在某区间上有)(x f x F=则称已知x 变设a,b连续xx x f x f p f x x f x F例、x三s s s s度s s3与如下关系地有理总学时64x)在区间a,b上连续 dx x f=说明1由义知求步骤增量例3、下列0x xx+x x x x x x?答因为x.x x fx x f常x x fax x f x)(bx x x x f xx x x x 意义将矛盾“微”与统一起来是哲对立规律具表现观宏辨证。其美价值之作业组】1、计算下列定积分+2)3(dx x x0x exx x x4x x5x x y x x x x x x f x f x ax x x x x*利性质x x x估理夹证明方程x 上连续且x x 识验定积分0sx 统化本单元内容掌握基概念与方法。一、及1极限求2导数公式运算则3几何物理经济意义4定积分5用xx xx xx xxx x y x ey x x y x x y)(x x ydx xx x x x曲线x 某产品成本函x x x y x x x 经过路0?x x f x x x x x x x 穷小的定义与性质若)0(x x x x x ,则称x x x 界函数乘积例求极限x x x x ex x x x x x x x xo;x x 且证明方程1x f x f至少一实根断分类5dx x fbx x f x x fx g x fx x g x x fx x x x f x x f x x f(),的大、小为M、x x f其平均=ax x f 2x x与x x x 例子授课提要前面我们了概念及简单节将系统方板书略二设u(x),=2+3例下列x x y x x x x x yx x x x x x x xo;x x y x y x x f f y dx y x y x首先清楚结构出每层次简单再使用连锁就得到按顺序进行。后总学时64)x +x y x x x f x f 其中为常数求8,x x f x x5思考题xx y xx uf y x f x x x 。组】1下列()2+=x x x y x ex y x x x 0f f x x x f在曲线x x x x yx 函数2y=在1处的导值6已知曲线x x y 组】证明可偶是奇。设)(f x x f/,x x x f x x f x x x f 所以(x)可能的图形如右x x x 阶导总学时64练掌握复合函数求导会二阶。重难点、程序法则习例子高定义物理意授课提要一dx uy x y x g f y=或)(1下列x x y x x x f x f y,ix yx?x y ex f y x x f yx x f 念y x x x y x x y、f x x f y!x x y x x 则s表示在刻加速度。10规律32=票走势设)(导数正负号1上升得越来快0,B B2接近最低点。B 明该经营况如何为什么若凸呢增长速度很小结理解“递归义法”即通过求而符可反映事物还减少则说或慢作业】列x x x x yx x y x ey x x y x x f()偶且x f x x x f f 线斜率。x f x f y x若x f x 握隐函数求导方法了解对。重难点程序概念举例说明子参授课提要一、自变量(=y x y x x y ey 1x y y x3y x y xx y y般含和表达式求曲线y y x x x y、x x x y)(=?7x y y x*四参总学时64=)(ty x 且dx y x y说明参方程8、+y x x y两次取对后再yx y y x,法则推来作业函数求导【、下列的()x y x+=2y x 304y y x x y y x y y x dx yx x y y x y x设物体运动为常意时刻速度和加何*yxy y x x x x x y x x g x f x g y x +)(12f x x x y y n据导数的定义求设函)(x f y=在0f x x f y+2比值x y x f xx x f x f x f x x。基本公式常用;nx x ex x cx x x x x x x x x x x 复合x f y 成x f yx f ydx y x 函数的导设)(x f y=是由方程0y x y y x F F F 统化本单元内容掌握函数求导方法。一、基1由定义三步骤2初等公式与则3复合连锁4隐对*参程5高阶二题型下列+=x x y x ey x x x y)(x x y x yx x y x y x x x x f fx f x f y x f x f 处切方8、y x y x y x y y y x x y y x x x x x x f积分的发展史16583年我绝对相信历事实是一种出色教育指南桶立体几何学研究了圆锥曲线旋转。意大利卡瓦列不可连续量书中避免无穷小用制定简单形式7法笛尔版提解析把变引进数成为“折点”费马始求极问题伽略关于两新科证明论说距离、速度加速之间系集合概念这本被认重要就次枚举级面积长度流国表使等5泰勒增量其他73法克雷出版双曲率线研究是空解析几何微几何尝试第十讲函数单调性总学时64握函数单调性判别法会求区间。重难点程序简介微分中值定理复习义导例子归纳总结解题步骤授课提要一、拉格郎日若f(x)在a,b上连续内可则至少存一使f f f f f f=或作图说明1此是积它准确地表达了个闭平均变化率和该某关系用局部来研究整体工具2充而不必验证53+x x x x 的定式导数极限方先求后。例、下列xx xx xx x x)(x x x ax x 数的单调性及判定一阶导1复习概念略2作图说明与正负有关演示3理设f(x)在a,b上连续内可若0x x x f y【B组】xx x x x x x f x f x x f x x f x*、证内在10=+x ,y g x=给定曲线上点f f dx y端连g g f f于是由单调性与导正负几何直观 g )解极值定义掌握函数求法。重难点概念及程序存在必要条件充分第一、二例子归纳总结题步骤授课提一、1略作图直观说明()是个局部2增减或界若f x f=不x f,f x x x x x x f x fx f x f x+x f x f f x f xx f x f xx f x f f x f 解凹凸性定义会求曲线区间及拐点。重难程序概念判应用授课提要一、1在,0上作函数x y x y x y=2图像比较变化说明对研究来仅有单调极值是不够略通过与切位置关系()注意分界即二阶驻可看成导若x f y x f yx x x x fx x ax y,x x 函数的图像+=x x x 解最值概念会求简单实际问题。重难点函数程序法比较两种特殊情况例子建模介绍优化授课提要一、定义略说明是个全局针对整区间而言二连续f(x)在a,b上般方1524=x x x y+0四应用导研究所立内只又根据具体问题的实际意可以判必最大小值就勿需进行。边长为8x x R x x 、优化及模等地生竞赛几乎是或须思想方法分析解决总学时64山大佛通高1米若乘船观赏的游人眼睛在脚底水平线下为得到最佳视角应使这时离中心有多远距考题画图说明闭区间上连续函数)(x 部整体小结指特性对于某个它是绝不同相现了“”辨证统一作业】求下列4,0+=x x x x x x x x x x R提经济效益少才能利润*项目两方案可供选择们分别x y y xx p 获得最大价格二阶导函数的图像讨论曲线凹凸性课题六及例七已知某如下原区间拐点解为是。当故,x=1其大致右上页主)(=x 即时x f x f x可导与公复合函数求举例授课提要一1块正方铁皮受温度化影响其边长由0x+时面积改了多少解2)(x x x x x x s=当x s。设x f为记x f x f y,x x x x x f y.x 下列x y ex x |x f df x x g f f y)(=一阶例填空1x x x x )dx x ()x x 、求下列函数的微分1x x x y x x y x a,f x x等为中间时不导有何关系其几意义别表示什么区价x 业】填空x x x x x x x x x x x 2x x x y=x x x y、自改dy x y x y 分含y和y y近似计算例子授课提要一、1()2.+=x dx x x x x x x x x y y x y x较小有|是式x x f x f x x f x x f y0值9球壳外径为厘米厚度毫体积上面中取,x f f x f x x x x x*、泰勒选讲设点直到1阶连续则)(!x x f nx f x f x f f x fx x 程=x x,有个实根x x x x x x 上对的任意原函数性质直接例子授课提要一1互如已知x x =求?义略x x dx x ”种它表示对部所以果中能漏写x xx xx x f x x f x F x x F、判断正误x F x x Fx f x x fx x f x x x f三基本公式和函数导得到。举例下列(1x xx x xx xx 分的运算法则)0(,1=x f x x fx x g x x f x x g x x x x xx x f x x f中为何要等式成立若x x f 】已知?x F x x f x x x x xlx xx x )dx x x x x x xx x xx x x x5x x x、物体的速度2=cx x x x x R其中为量固定这种利润函数3若一个原x x x fx x 握第一类换元积分法凑微。重难点程序问题复合函数直接习式子举例课堂练授提要、如何求x +x (等显然用无解决此必须引入新Cx g F F f x g x g f x x g x g f回代说明在中最后结果定将变量成来下列不x xx x g x x x g F x g x g f x x g x g 两步更简单些其关键积分凑微x xx xx x xx x x x x x x x xx x+x x xx dx x x)(x x 总学时64dx ex x+32x x xx xx x)例证明若= x x f(则 x x 材类型与探究简述积分法特点并说此方在生活中给我们启示小结本讲让学掌握不定凑微要求多加练习能较好地。注意第一主用于被函数复合问实质上对导逆运算作业0组】1、填空()dx x=+x x x x x x x x0x x x x x x x x x x15x x6x x x x8x xx xx x xx x xx x xx x x F x x fx bx x x x x x x xdx x x+2x x)(x x xx x xx x f=求x x x 函数x ex fx x 练掌握凑微分法了解第二类换元积。重难点一程序举例根式()三角授课提要、复习子略求下列不定1+dx ex x2x x x x x x x x x xx x xx xx x xx x xx 于()x xx x 一法即凑微与二区别是什么顺序相反何规律寻三角根式总学时64讲让学生掌握简单函数的第二类换元积分。注意法主要用于被中含有根式情况目是去掉号作业组】、求下列不定dx x x x x)3ix x x x+5x x x x设x x x 分x x换x x xx x xx x xx x x x x x x总学时64握。重难点公式、中推导类举例使用归纳总结技巧授课提要一如何求x x x ex x2x x =1x x x?(作为)更种型被函数幂与指或角对反3循环经过有限次后出现相同分部积法规律表达P x x x x P x x x P x x x x xx xP x x x P x P x x x x P x x x x x 列不定总学时64dx x x x xx xx xx6x x x的一个原函数求x x f x两次使用分部积x f x+=x ,x x f x x x 微即首能否基本公式和性质其适当变量代第二类对同乘综合运或反复上述另外还可简明表获启发者软件包到果。思题1、应关键什么于x x g x f般按样规律被型2比较三特点加减除小讲让生掌握分部积的注意主要用求函数是问实导则逆算作业部积法【、求下列不定dx x xxx 4x x x5x x xx x =?)(,x x f x x x x x x xix x xx xx x xx xx x x展开后使用x f xx x F x f 学时64握方法直接、凑微部。重难点程序复习N两个要结论课堂练授提x)是bF dx x f=同不致例1下列2x x 3+x x x x xx xx x x5x x 议尽量使凑微法三、部x x x x xlx x 上连续f()为奇函数则=x x x f x x 用上面结论求下列定积分12dxx x x+x x x 当)(x x x 加性成几个相探究人口统某城市居民布密度模型=中范围内环境污染工厂排出大量废气造严重空若第七年放积分计算【、下列+20)(x x x x x x x x5x x x x x?x x x x x x x xx x若x x x f x x f x x x f x f y x fx x f x当x x x g tx f x阶为函数x f x x f*、x x x f f x x x =提示x f x x x f 1x f f x f x 学时64教学目理解微元法会求平面图形。重难点程序先后别几何意义、举例授课提要在中我们采了“割取近似和极限”方得个整体量这四步骤关键是局部事实上许多几物都可以使此为便把计算区间a,b某d值Q即=f()2就bx x x x A f x x x f二平面图形的积直角坐标系复习定略用微元法或求解线围归结而分。因概括通过例、x x xSy f 图所示过交点作取分变量区间0,1以A=6)(2dx x 48说明可使用“微元法”上题思考什么叫决实际问路及步骤何先后平一般几小结是于部整体关键寻找x F x x f F性主或者与】求下列曲线所成图形面12,=x x y x y、x ey y x y x yx y x +x y x x 函数x x 上值三设作运动物任一刻速度为xy 学目会求旋转体。重难点公式程序义推导其微元法例子授课提要1、一平面图形绕内直线周所成立如圆柱锥球等都是2计算或解现曲y=f(x)a,b上任小+x f x x x y y y x x xf x y f 曲线y=所围成图形分别绕轴旋转得立体体积7x)x f x xx x x*8+和积思考题利用微元法以“常代变”均匀替不想推导公式。小结掌握或作业】求下列曲线所围成图形绕指轴旋转体的1、直x 及x yx y,x y x x y ey y x x 9x 元法课题八、定积分的应用由求面一直角坐标系下设平图形曲线y=f(x),g在以为页dx x g x f Ax x g x f f yx g y x x x+示取变量)作出平图形确定分和素342x y x yx yx yy y yy y y y y y 定积分、教学目的系统化本单元内容掌握基概念与方法。一及1原函数2计算()直接凑微3部dx x xx x xx x x x xx x x x x f?、曲线过,且上每切斜率为此程判断正误x ex x xx x x x x x1x x x作动物体的加速度当0x y3x()一个原x x x f7x x x f x f x 算定积分1+204dx x3x x xx y=与直x y y f x x tf x极限x x x 有唯一实根。5连续且问x x f x x uf x 8利性质x x x? x x f x x f x x x 示高1分段不定积调整常使原点例=dx x f x x x x x xx x x+3)(x x 学时64下列积分1dx x x+652拼凑x x x x x x4待定系数什么叫“不可”许多初等函的原是此时存在但出来。如 x x x x ex x x (m0=x xx 题步骤例子练习授课提要前言在工技术和经济活动中有时需根据已知条件建立关函数及其导数或f(x)上任处切斜率为2由几何意x yx dx ts g 0果一个代入方程能使恒等式则此的微分所常于解的。特不、指下列x x y y x yx y g x f dx y=的微分方程称为可离变量。例4、判定下列是否1x ey y x+2y y y x p g x f x x f y g x x f y g x x y6y x 探究鱼塘多能养已知内目苗经三个月那么半年少小结了微分方程概念掌握可离量准形解确定提高元析应用理实际第步就是列大情况下直接利以但些候容易做到法“细”将