(修改)第十一讲：阿波罗尼奥斯与圆锥曲线

第十一讲 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 斐波那契数是大自然的模式之一。 圆锥曲线是宇宙的基本形式 人类用数学刻画大自然和宇宙！ 3 知识的 逻辑顺序 与 历史顺序 有时是 不同 的 . 学与教都应该重视这一点：在注意知识的逻辑顺序时，同时注意知识的历史顺序 阿波罗尼奥斯 与圆锥曲线论 切竹笋 圆锥曲线的模型 圆 椭圆 抛物线 双曲线 伸开你的双手，你有什么发现？ 会与你曾经学过的 “ 圆锥曲线 ” 有关吗？ 手掌指关节分布特点的数学研究 你对 “ 圆锥曲线 ” 还有多少回忆？ “ 圆锥曲线 ” 的例子你还能举出一些吗？ 圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以， 圆锥曲线 又叫做 二次曲线 。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。 一、圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯 对于圆锥曲线的最早发现，众说纷法。 有人说，古希腊柏拉图学派的梅内赫莫斯为了解决当时的一个著名难题 立方倍积问题，即用圆规直尺作图的方法，把任意正立方体的体积扩大一倍。 在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设 x、 y为 。 a： x x： y y：2a，则 这就是立方倍积。 33222,2, 他用直角三角形旋转得到直角圆锥曲面，再用 想用 “ 直角圆锥曲线 ” 在理论上解决 “ 立方倍积问题 ” ，但未获成功。 此后，他便撇开 “ 立方倍积问题 ” ，专门研究圆锥曲线。 【 思考 】 值得我们学习，必要时在现有研究的基础上调整研究方向。 设直角圆锥的轴三角形角 母线 用垂直于 交线 过交线 任一点 O，它与轴截面 E，与圆锥交于以 于平面 故交线 E 于是 E 。 作 G 如图。 因为 是 D = N, 又 于是 E = A = N. 记 x, y， 位置有关的定线段记为 b。于是上式可写为 用解析几何的说法便是：曲线上任意一点的纵坐标的平方等于相应的横坐标乘上一个正数(正焦距 )，这正是抛物线的性质。 若设 VA=a，那么 2a。 这样就得到 2 这也正是解析几何学中抛物线的解析式 2 22钝角圆锥面； 钝角圆锥曲线 （双曲线的一支）。 锐角圆锥面； 锐角圆锥曲线（椭圆） 直角圆锥面； 直角圆锥曲线（抛物线） 思考：椭圆、抛物线、双曲线在古代分别称为？ 他分别得到锐角、钝角圆锥曲面，同样用垂直于母线的平面去截圆锥曲面，得到的截线分别称为锐角圆锥曲线（椭圆），钝角圆锥曲线（双曲线的一支）。 【 注意 】 梅内赫莫斯得到的三种圆锥曲线分别以三种不同的圆锥曲面为基础得到。这就给后人留下了继续研究的余地。 收获 1：我们看到了由体到面到线的例子，小学数学先安排认识“体”，再认识“面”。为何？ 收获 2：“ 体面”新说 ？ 这引起了许多希腊数学家的兴趣，他们开始对圆锥曲线作深入的研究，其中包括阿里斯泰奥斯、 欧几里得、阿基米德等人 。他们的研究为系统的圆锥曲线理论的最终形成积累了大量的资料， 将圆锥曲线理论进行整理、深化的任务历史性的落在了阿波罗尼奥斯身上 （ 联想：站在巨人的肩膀上！） 阿波罗尼奥斯 (公元前 262年 90年 )，希腊数学家、天文学家。 阿波罗尼奥斯年轻时曾在亚历山大求学，后来长期在那里生活。他将前人研究圆锥曲线取得的成果加以总结，在自己进一步思考的基础上，写成 圆锥曲线论 这一经典名著，被称为古希腊研究几何学的登峰造极之作 。阿拉伯和西欧的许多数学家都曾经长期将它奉为必读经典。 还有现实意义！ 阿波罗尼奥斯 不拘泥于 古已有之的内容和方法， 富于想像， 大胆创新 ， 正如他自己所说的： “模仿只会仿制他所见到的事物， 而想像则能创造他所没有见过的事物 。 阿波罗尼奥斯以前的数学家研究圆锥曲线都是从三个顶角不同的圆锥出发来考虑的。梅内赫莫斯在尝试解决倍立方体问题时，发现了圆锥曲线。他将圆锥分为三类： 若两条母线的最大交角是锐角，圆锥称为锐角圆锥； 若两条母线的最大交角为直角，圆锥称为直角圆锥； 若为钝角，圆锥称为钝角圆锥。 用一个垂直于一条母线的平面截圆锥，所得截线， 分别称为 锐角圆锥曲线 、 直角圆锥曲线和 钝角圆锥曲线 。 启示：创新意识和能力 阿波罗尼奥斯改进了梅内赫莫斯的方法，他从一个圆锥出发，用一个平面与圆锥的母线成不同角度截圆锥，就可以得到三种圆锥曲线： 截面与所有母线都相交，截线为椭圆； 截面与一条母线平行，截线为抛物线； 截面与轴线平行就可以使得截线为双曲线的一支。他分别将这三种圆锥曲线命名为： “齐曲线 ”(抛物线 )、 “亏曲线 ”(椭圆 )、 “超曲线 ”(双曲线 )。阿波罗尼奥斯首先注意到了双曲线有两支，并且是有心曲线。另外，他还研究了二次曲线的切线问题和点的轨迹问题。 【 思考 】 阿波罗尼奥斯为什么会这样去改进？是否与数学思维方法：“特殊化与一般化”，“一般化精神”有关？ 考察 不同倾斜角的平面截圆锥其切口所得到的曲线 ，也就是说如果切口与底面所夹的角小于母线与底面所夹的角，则切口呈现椭圆；若两角相等，则切口呈现抛物线；若前者大于后者，则切口呈现双曲线。 阿波罗尼奥斯将圆锥曲线的性质总结得如此全面， 以致使得后人在很长一段时间里没有可以突破的余地 ，直到 17世纪，帕斯卡、笛卡尔创立解析几何， 用新的方法进行研究才打破了这一僵局，将圆锥曲线研究作了实质性的推进 。 思考：高中所学圆锥曲线从何开始？ 早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（ 262前 190）。他与欧几里得是同时代人，其巨著 圆锥曲线 与欧几里得的 几何原本 同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。 在 圆锥曲线 中，阿波罗总结了前人的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书 8篇，共 487个命题， 将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几科没有插足的余地达千余年。 阿波罗尼奥斯还作了 论切触 一书，在书中，他提出了著名的 “阿波罗尼奥斯切圆问题 ”：给定三个圆（或圆的变种：点和直线，但三个点必须不共线，三条直线不能平行 )，求作一圆，使之与它们全都相切。 在天文学方面，阿波罗尼奥斯也作出了许多贡献。 他是定量地研究天文学的早期学者之一。 为了解释行星的运动，他引进了偏心圆运动和本轮运动系统。另外，他还曾经找到了一种确定行星在运动轨道上停下来作逆行运动的点的方法。 伟大的古代数学家！ 焦点 名称的由来 阿波罗尼奥还进一步研究了这些 圆锥曲线的光学性质 ，比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点 在 么经过椭圆镜反射的光线全部通过另一个焦点 F。热也和光一样发生反射，所以这时便会被 烤焦 ，这也就是焦点名称的由来。据说这一发现是他在研究椭圆的作法（也就是现行教材中一开始介绍的作法）时得出的。 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此， 太阳则位于椭圆的一个焦点上 。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会 沿抛物线或双曲线运行。 人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。 相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。 因而， 圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式 。 （猜想 1：圆锥曲线可以转化！抛物线也有两个焦点！ 猜想 2：火箭的发射速度应该与欲送入太空的航天器运行轨道有关！ （联想：斐波那契数是大自然的一种模式！） 圆锥曲线真正从后台走上前台，从学术的象牙塔中进入现实生活的世界里，应归功于德国天文学家开普勒（公元 1571年 1630年），开普勒在长期的天文观察及对记录的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第一条是：“行星在包含太阳的平面内运动，划出以太阳为焦点的椭圆”， 就这样，梅纳赫莫斯和阿波罗尼奥斯出于数学爱好而研究的曲线在近 2000年之后于天文学的舞台上登场了。 后来 哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预测到哈雷彗星与地球最近点的时刻 ， 1758年在哈雷逝世 16年之后，哈雷彗星与地球如期而遇，这引起了全欧洲、乃至全世界的轰动，也进一步推动人们对圆锥曲线研究兴趣的提升。 联想：还有那颗星的发现是与数学有关的 由 抛物线绕其轴旋转 ，可得到一个叫做旋转抛物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有 奇妙性质的焦点， 任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。 由 双曲线绕其虚轴旋转 ，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计 高大的立塔 时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。 由此可见， 对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。 二、圆锥曲线的定义 从分开定义到寻找统一定义 寻求“ 统一美 ” 。 教材中是从平面曲线走向空间曲线，而历史上是从空间曲线走向平面曲线的。 教材中有些知识的逻辑顺序与发现它的历史顺序是不同的 学习本段的意义？ 又一次欣赏数学的 “ 统一美 ” ！ 回忆：前面介绍过哪些数学的统一美？ 三、圆锥曲线的方程和性质 高中已经学习 圆锥曲线的转化及实际意义！ 抛物线有没有第二个焦点？ 圆锥曲线的应用 宇宙论的演变 十五世纪前后，欧洲人普遍认为地球是位于宇宙的中心的。 地球就被十一层天球所包围。 宇宙论的演变 在 1543 年， 哥白尼 提出了日心说的理论。 开普勒的行星定律 开普勒 （ 1571 1630） 开普勒的行星定律 开普勒 的行星定律是以 布拉赫 数十年对于行星运行的观察数据为基础， 再花十多年功夫才找到一个吻合 布拉赫 数据的数学模型。 他终于在 1609 年完成了火星运行的数学理论。 开普勒的行星定律 第一定律： 行星沿椭圆轨道道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点之上。 第二定律： 在相等时间內，连接每颗行星与太阳的向径所扫过的面积皆相等。 （怎么证明？） 第三定律： 每颗行星绕太阳运动的公转周期的平方与它们到太阳的平均距离的立方成正比。 发射速度与轨道形状的关系 开普勒的行星定律 太阳 火星 开普勒 的发现，为圆锥曲线的研究加添上一层实际的意义。 圆锥曲线的光学性质 即椭圆的光学性质、双曲线的光学性质和抛物线的光学性质。 1：椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点。 在圆锥曲线的定义中的定点，之所以称作为焦点，是源于它们的光学上聚焦性质设一个镜面的轴截面的廓线是椭圆，那么当你把一个射线源置于定点 有射线通过椭圆反射后，都会集中到另一个定点 过来也是一样射线集中现象在光学上称为聚焦，因此自然称这两个定点 2为焦点了椭圆的这种光线特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在 么红外线也能聚焦于 2：双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点 线或声波射到双曲线靠近 过反射以后，就从另一个焦点 双曲线的光学性质同样也有聚焦性质，但它是反向虚聚焦，即置于双曲线一个焦点处的射线源，被双曲线反射后，其反射线的反向延长线，必定经过另一个焦点双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。 把抛物线看作为一个焦点在无穷远处的“椭圆”，椭圆从一个焦点处发出的射线，聚焦到另一个焦点的椭圆的光学特性，表现在抛物线上，形式就与椭圆大不相同了：设想射线源在位于无穷远处的那个焦点处，无穷远处出发的射线，经抛物线反射后，到达位于有限位置的另一个焦点，但无穷远处出发的射线，在处于有限位置的你看来，只能是平行于对称轴的射线束 (例如太阳虽然离开地球很遥远，但毕竟还没有在无穷远处，就这样，我们都已经觉得太阳光线是平行的，而不是像灯泡那样是散射的光线 ) 因此平行于对称轴的射线经抛物线反射，必定聚焦于焦点反之把射线源置于抛物线的焦点 (它在有限位置处 )，经抛物线反射后，所有的射线也要聚到在无穷远处的那个焦点去，因此反射射线也只能是平行于对称轴的，即从焦点发出的射线，经抛物线反射后成为平行于对称轴的射线束 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样的接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的 这三个圆锥曲线的光学性质在生活中有着很广泛的应用。 一只小灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经适当的调节，就能射出一束比较强的平行光，这是为什么呢？ 原因就是手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，它的形状是抛物面，而它的作用就是能把由焦点发出的光线，以平行光（平行抛物面的轴）射出。探照灯也是利用这个原理做的。 再根据光的可逆性，可以设计出用于加热水和食物的太阳灶。在太阳灶上装有一个可旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。其他如聚光灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等也都是利用抛物线的光学性质原理制成的。 还有，电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，聚光灯泡与片门应分别对应于椭圆的两个焦点处， 由于水波、声波和光波都是波的一种形式，因此有很多类似的性质。如对水波遇到椭圆面、双曲线线面