河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试理数试题含答案

2017 届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 与 )的定义域分别为 M 、 N ，则 （ ） A (1,2 B 1,2 C ( ,1 2 , ) D ( ,1) 2 , ) i ，则复数 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 1, )， ( ,1)，则“ 1m ”是“ /立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为（ ） A 310B 25C 12D （ 0 360 ）终边上一点的坐标为 ( s i n 2 3 5 , c o s 2 3 5 )，则 （ ） A 215 B 225 C 235 D 245 其中 e 为自然对数的底数，则（ ） A ( 2 ) ( ) ( 3 )f f e f B ( 3 ) ( ) ( 2 )f f e f C ( ) ( 2 ) ( 3 )f e f f D ( ) ( 3 ) ( 2 )f e f f 1 113 5 3 1 的值的程序框图，则图中处应填写的语句分别是（ ） A 2 , 16?i B 2 , 16?i C 1, 16i ? D 1, 16?i 其体积为（ ） A 34B 24C 12D 324x ， y 满足 1| 1 | 12x y x 时，目标函数 z x 的最大值等于 5，则实数 ） A 2 B 3 C 4 D 5 的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为 45 ，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形 为矩形，若沿 其侧面剪开，其侧面展开 图形状大致为（ ） 个椭圆的方程分别为 22 1 ( 0 )xy 和 221( ) ( )a m b（ 0 ，1m ），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线 若 斜率之积恒为625 ，则椭圆的离心率为（ ） A 35B 34C 45D 2( ) 2 3 3f x x a x b x b 在 (0,1) 上存在极小值点，则实数 b 的取值范围是（ ） A ( 1,0 B ( 1, ) C 0, ) D (1, ) 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） ( 3 )展开式中二项式系数和为 64，则展开式的常数项为 （用数字作答） ) s i n ( )f x x（ 0 ， 0 ）的图象如图所示，则 (0)f 的值为 21（ 0a ， 0b ）上一点 ( 3,4)M 关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F，则该双曲线的标准方程为 地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为 a ， b ， c ，其面积 ( ) ( ) ( )S p p a p b p c ，这里 1 ()2p a b c 已知在 中， 6， 2C ，其面积取最大值时 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 122 ( 1 ) 2 2a n a n ， * （）求数列 （）若2 2 11l o g l o gn ，12b b b ，求证：对任意的 *， 34. ， 直角梯形， /D ， 90 ，四边形 等腰梯形， /D ，已知 C ， 2A B A F E F ，4D （）求证：平面 平面 （）求直线 平面 成角的正弦值 . 过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义 业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关 . （）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为 40% ，求四天中至少有两天降雨的概率； （）经过数据分析，一天内降 雨量的大小 x （单位：毫米）与其出售的快餐份数 y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下： 降雨量（毫米） 1 2 3 4 5 快餐数（份） 50 85 115 140 160 试建立 y 关于 x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为 6 毫米时需要准备的快餐份数（结果 四舍五入保留整数） 附注：回归方程 y bx a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( ) ( )()x y ， a y ： 2 2 2( 1)x y r（ 1r ），设 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点，过点 A 作圆C 的弦 并使弦 中点恰好落在 y 轴上 （）求点 M 的轨迹 E 的方程； （ ）延长 曲线 E 于点 N ，曲线 E 在点 N 处的切线与直线 于点 B ，试判断以点 B 为圆心，线段 为半径的圆与直线 位置关系，并证明你的结论 ) xf x e a x a ，其中 e 为自然对数的底数，其图象与 x 轴交于 ,0)x，2( ,0)12 （ ）求实数 a 的取值范围； （）证明： 122( ) 03 （ () 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 a （ 0a ）， Q 为 l 上一点，以 边作等边三角形 且 O 、 P 、 Q 三点按逆时针方向排列 . （）当点 Q 在 l 上运动时，求点 P 运动轨迹的直角坐标方程； （）若曲线 C ： 2 2 2x y a，经过伸缩变换 2得到曲线 C ，试判断点 P 的轨迹与曲线 C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由 . 等式选讲 已知函数 ( ) 2 | 1 | | 1 |f x x x . （）求函数 ()y 围成的封闭图形的面积 m ； （）在（）的条件下，若正数 a 、 b 满足 2a b ，求 2的最小值 . 2017 届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 13. 540 14. 2215. 2215 20答题 ）当 1n 时， 1121 2 12 ( 1 ) 2 22 - 1 ) ( 2 ) 2 2a n a na a n a n （ -得 1( 1 ) 2 ( 2 ) 2 2n n a n n n ， 所以 2， 当 1n 时，1 2a ， 所以 2， * （）因为 2，2 2 21 1 1 1 1()l o g l o g ( 2 ) 2 2n a a n n n n . 因此 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT n n n n . 1 1 1 112 2 1 2 3 1 1 1 34 2 1 2 4 所以，对任意 *， 34 18.（） 证明：取 点 M ， 连接 2A F E F D E ， 4，可知12D ， E ， 又 C ， C E 平面 D ， 又 D ， E A ， 平面 平面 平面 平面 （ ）如图，作 D ，则 平面 故以 O 为原点，分别以 ,C 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题 意可得 (0, 0, 3)E ，(3,0,0)A ， ( 1, 4, 0)C ， (2, 0, 3)F ，所以 ( 3 , 0 , 3 ) ， ( 4 , 4 , 0 ) ，( 3 , 4 , 3 ) 设 ( , , )n x y z 为平面 法向量，则 00n C 即 3 3 04 4 0 不妨设 1x ， 可得 (1,1, 3 )n ， 所以 2 1 4 0c o s ,70| | | | 2 8 5C F n 3535 ， 直线 平面 成角的正弦值为3535 ）四天均不降雨的概率 41 3 8 1()5 6 2 5P ， 四天中恰有一天降雨的概率 1324 3 2 2 1 6()5 5 6 2 5 ， 所以四天中至少有两天降雨的概率12 8 1 2 1 6 3 2 811 6 2 5 6 2 5 6 2 5P P P . （）由题意可知 1 2 3 4 5 35x ， 5 0 8 5 1 1 5 1 4 0 1 6 0 1105y ， 51521( ) ( ) 275= = 2 7 . 510()x y ， = = 2 7 y b x 所以， y 关于 x 的回归方程为： 2 7 7 将 降雨量 6x 代入回归方程得： 2 7 . 5 6 2 7 . 5 1 9 2 . 5 1 9 3y . 所以预测 当降雨量为 6 毫米时 需要准备的快餐份数为 193 份 （ ）设 ( , )M x y ， 由题意可知， (1 ,0)， 中点 (0, )20x ， 因为 (1,0)C ， (1, )2， ( , )2x 在 C 中，因为 M ， 0M， 所以 2 04，即 2 4（ 0x ）， 所以点 M 的轨迹 E 的方程为： 2 4（ 0x ） （ ） 设直线 方程为 1x ，11( , )M x y，22( , )N x y，直线 方程为222()4yy k x y ， 221 4 4 04x m y y m ，可得1 2 1 24 , 4y y m y y ， 11，则点 ,0)x，所以直线 方程为112 2， 22222222() 4 4 044yy k x yk y y y k ， 0 ，可得22k y ， 直线 方程为222 2， 联立11222 ,22 ,2 可得 21111441 , 222m yx y ， 所以点 ( 1, 2 )， 2| | 4 4B C m， 2 222| 2 2 | 4 4 2 11md m ， 直线 切 ） ( ) e xf x a 若 0a ， 则 ( ) 0 ，则函数 ()单调增函数，这与题设矛盾 所以 0a ，令 ( ) 0 ，则 当 时， ( ) 0 ， () 单调减函数； 时， ( ) 0 ， () 单调增函数； 于是当 时， ()得极小值 因为函数 ( ) e ( )xf x a x a a 象 与 x 轴交于两点1( 0)2( 0) 所以 ( l n ) ( 2 l n ) 0f a a a ，即 2 此时，存在 1 1 ) e 0 ， ；（或寻找 f（ 0） 存在 33 l n l n ( 3 l n ) 3 l na a f a a a a a ， 3230a a a ， 又由 () ( a， 及 (a ， 上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 2为所求取值范围 （）因为 1212a ，两式相减得2121 记 21 ( 0 )2xx ，则 1212 21 212221e e ( e e )22 xx x s ， 设 ( ) 2 ( e e )s s ，则 ( ) 2 ( e e ) 0 ，所以 ()单调减函数， 则有 ( ) (0) 0g s g，而 122e 02 ，所以 1202 又 ( ) e xf x a 是单调增函数，且322 2121 ， 所以 0)32( 21 ）设点 P 的 坐标为 ( , ) ， 则 由 题意可得点 Q 的坐标为 ( , )3， 再由点 Q 的横坐标等于 a ， 0a ， 可 得 c o s ( )3 a， 可得 13c o s s i a ， 故当点 Q 在 l 上运动时点 P 的直角坐标方程为 3 2 0x y a （ )曲线 C ： 2 2 2x y a， 2，即 2，代入 22 4x ，即 2 224x