江苏省盐城市2017届高三第三次模拟考试数学试卷（理）含答案

盐城市 2017届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题 (总分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 注意事项： 1本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 160分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 参考公式： 锥体体积公式： 13V 其中 S 为底面积 ,h 为高 . 一、填空题 （本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1 已知全集 1, 0, 2U ，集合 1,0A ，则 2设 复数 z 满足 3 （ i 为虚数单位 ）， 则 |z 3 某高 级中学 高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人 、 700 人 、 700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况， 现用分层抽样的方法 抽取了容量为 100的样本，则高三年级 应 抽取 的 学生 人数为 4 若命题 “ 2 2 0t R t t a ， ” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 5 甲、乙两组各有三名同学， 他 们在一次测试中的成绩 分别为： 甲组： 88、 89、 90；乙组： 87、 88、 92. 如果分别从甲、乙两 组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值 不超过 3的概率是 6 执行如图所示的伪代码，输出 i 的值为 7设 抛物线 2 8的焦点与双曲线 222 1 ( 0 ) 的右焦点重合，则 b = 8设 ,| | | | 1 ，则 z x y 的最大值为 9将函数 s 2 )3的图象向左平移 ( 0) 个单位后，恰好得到函数的的图象，则 的最小值为 10 已知直三棱柱1 1 1A B C A B C的所有棱 长 都为 2，点 ,C 四面体11A B 体积为 1020232P r in h n d W h 第 6 题图 11设 数列 a，且满足2 1 2 12与2 2 1 1，则20S 12若 , 1，则 1422a b a b的最小值 为 13 已知 , , ,A B C D 四点共面 ， 2， 2220A B A C， 3A ，则 |最大值为 14 若实数 , 3 l n ( 1 ) l n ( 2 )x x y x y ，则 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 ） 15 (本小题满分 14 分 ) 如图，在四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，平面11A 底面 2. （ 1）求证：11/ （ 2）求证：平面11A 平面116 (本小题满分 14 分 ) 设 积 的大小 为 S ，且 32A B A C S. （ 1）求 值； （ 2）若4C ， 16C，求 17. (本小题满分 14 分 ) 一儿童游乐场拟建造一个 “蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示 . 等腰梯形， 20米， （ F 在 延长线上， 为锐角） . 圆 E 与 ,C 都 相切，且其半径长为 100 80 米 . 垂直于一个立柱，则当 的值设计为多少时，立柱 矮？ A B C D E 第 17 题图 F O 第 15 题图 18 (本小题满分 16 分 ) 已知 A 、 F 分别 是椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左顶点、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一 动 点，当 PF x 轴时， 2F . （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2） 若 椭圆 C 存在点 Q ，使得四边形 平行四边形 （点 P 在 第一象限 ） ，求 直线 斜率之积 ； （ 3）记圆 2222:x y 为椭圆 C 的 “ 关联圆 ” . 若 3b ，过点 P 作椭圆 C 的 “ 关联圆 ” 的两条切线，切点为 M 、 N ，直线 横、纵截距分别为 m 、 n ，求证：2234为定值 . 19 (本小题满分 16 分 ) 设 函 数 2( ) = ( )xf x x e a x a R. （ 1）若函数 ()()e 是奇函数，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的实数 a ， 函数 ()h x kx b（ ,的图 象 与函数 ()总 相切 于一个定点 . 求 k 与 b 的值 ； 对 (0, ) 上的任意实数12,都有1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x h x f x h x ，求实数 a 的取值范围 . 20 (本小题满分 16 分 ) 已知数列 单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项 视 为一项），则得到一个新数列 （ 1） 设 数列 等差、等比数列，若111，2365求20c； （ 2） 设 ，各项为正整数， 3，若新数列 数列 n 项和 （ 3） 设 1（ q 是不小于 2的正整数），11 是否存在等差数列 得对任意 的 *，在间数列 存在，请 给 出一个满足题意的等差数列 不存在，请说明理由 . 盐城市 2017届 高三年级 第三次模拟 考试 数学附加题部分 （本部分满分 40分，考试时间 30分钟） 21 选做题 （在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分 A.（选修 4 1：几何证明选讲） 已知 ,D 是圆 O 两条 相互 垂直的直径，弦 延长线于点 F ，若24， 18，求 长 . A C D B E F O 第 21(A)图 B.（选修 4 2：矩阵与变换） 已知矩阵 A 1002所对应的变换 变成曲线 2:142，求曲线 C（选修 4 4：坐标 系与参数方程） 在极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为 c o s ( ) 13. 以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 圆 C 的参数方程为 （ 为参数） . 若直线 l 与 圆 C 相切，求 r 的值 . D (选修 4 5：不等式选讲） 已知 , 3 ，证明： 2 2 2 3c a ba b c. 必做题 （第 22、 23题 ,每小题 10分 ,计 20分 22（本小题满分 10 分） 如图， 在 四棱锥 P 中，底面 矩形，面 底面 且 是边长为 2 的等边三角形， 13， M 在 ，且 面 （ 1）求直线 平面 （ 2）求平面 平面 小 . A B C D P M 第 22 题图 23（本小题满分 10 分） 一只袋中装有编号为 1,2,3, n的 4n ，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出 4个小球，记取得的 4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为n，如4 3 ，5 3 或 4 ，6 3 或 4 或 5 ，记n的数学期望为 （ 1）求 5f , 6f ； （ 2）求 盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分 . 1. 2 2. 2 3. 35 4. ( , 1 5. 896. 7 7. 3 8. 1 9. 5610. 3211. 2056 12. 3 14. 94二、解答题： 本大题共 6 小题，计 90 分 字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15 证 明 ： （ 1 ） 在 四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中， 有11/B C 4 分 又11面1平面1以11/ 6 分 （ 2）因为平面11A 底面 线为 底面 且 B ，所以 平面11 12 分 又 平面1以平面11A 平面1 14 分 16解：（ 1）设 的三边长分别为 , 32A B A C S， 得 13 c o s 2 s i c A b c A，得 . 2 分 即 2 2 2s i n 9 c o s 9 (1 s i n ) ， 所 以2 90A . 4 分 又 (0, )A ，所以 ，故3 10 . 6 分 （ 2）由 和 3 1 0，得 10， 又 16C ，所以 6 ，得 16 10 . 8 分 又4C ，所以 s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i C A C A C 3 1 0 2 1 0 2 2 51 0 2 1 0 2 5 . 10 分 在 ，由正弦定理，得即2 5 252， 得 104 . 12 分 联立 ，解得 8b ，即8. 14 分 17解：方法一：如图所示，以 在直线为 x 轴，以线段 垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 . 因为 (10,0)B ， ，所以直线 方程为 t a n ( 1 0 ) ， 即 t a n 1 0 t a n 0 . .设圆心 (0, )( 0)E t t ，由圆 E 与直线 切， 得2| 1 0 t a n | 1 0 t a 0 8 0 s i t a nc o ， 所以0 9 0 s i nc o sO t . .令 1 0 0 9 0 s i n()c o ， (0, )2， 则291 0 0 ( s i n )10()c o ， .设0 90 ，0 (0, )2 . 列表如下： 0(0, ) 0 0( , )2()f 0 ()f 减 极小值 增 x y O A B C D E 第 17 题图 F 所 以 当 0 ，即 9时， ()f 取 最 小值 . .答： 当 9时，立柱 矮 . .方法二：如图所示，延长 ,于点 G ，过点 E 作 C 于 H ， 则 1 0 0 8 0 s i R ， H E G O B G C B F . 在 中， 1 0 0 8 0 s i nc o s c o . .在 中， t a n 1 0 t a O B . .所以 1 0 0 9 0 s i nc o E G O G . .（以下同方法一） 18解： （ 1）由 PF x 轴，知代入椭圆 C 的方程， 得 22221，解得 2a . .又 2F ， 所 以 22， 解 得12e . . （ 2）因为四边形 平行四边形，所以 PQ a 且 /PF x 轴， 所以2 代 入 椭 圆 C 的 方 程 ， 解 得32， .因为点 P 在第一象限，所以 32同理可得2Q ，32 .所以 223322()22A P O ， 由（ 1 ） 知 12ce a， 得 2234 ，所以34 . .（ 3）由（ 1） 知 12ce a，又 3b ，解得 2a ，所以椭圆 C 方程为 22143， 圆 O 的 方 程 为 22237 . .连 接 ,N ，由题意可知， M ， N ， O A B C D E 第 17 题图 F G H 所以四边形 外接圆是以 为直径的圆， 设00( , )P x y，则四边形 外接圆方程为 2 2 2 200001( ) ( ) ( )2 2 4y x y ， 即 22000x x x y y y . .，得 直线 方程为00237x x y y， 令 0y ，则0237m x；令 0x ，则0237n y. 所以 22002234 4 9 ( )43 ， 因为点 P 在椭圆 C 上，所以 2200143，所以223449. .19 解 ：（ 1 ）因为 函数 ()()e 是奇函数，所以 ( ) ( )x f 恒成立， 2分 即 2 2x e a x x e a ，得 2 ( ) 0x e e 恒成立， 0a. 4分 （ 2） ( 1 ) 2xf x e x a x ，设切点为00( , ( )x f x， 则 切线的斜率为 00 0 0( 1 ) 2xf x e x a x ， 据题意 0与 a 无 关 的 常 数 ， 故 000 , 1x k f x ， 切 点 为(0,0) ， 6分 由 点 斜 式 得 切 线 的 方 程 为 ， 即 ()h x x ， 故1, 0. . 8分 当11( ) ( ) 0f x h x时，对 任 意的 2 0,x ， 都有22( ) ( ) 0f x h x; 当11( ) ( ) 0f x h x时， 对 任 意的 2 0,x ， 都有22( ) ( ) 0f x h x; 故 ( ) ( ) 0f x h x对 (0, )x 恒成立 ， 或 ( ) ( ) 0f x h x对 (0, )x 恒成立 . 而 ( ) ( ) 1xf x h x x e a x ， 设函数 ( ) 1,xp x e a x 0, )x . 则 ( ) 0对 (0, )x 恒成立 ， 或 ( ) 0对 (0, )x 恒成立 ， 10分 () xp x e a ， 1 当 1a 时 , 0,x , 1, ( ) 0恒成立 ,所以 () 0, 上递增 , (0) 0p , 故 ( ) 0在 0, 上 恒 成 立 ， 符 合 题意 . . . .12 分 2 当 1a 时 ， 令 ( ) 0 ， 得 ， 令 ( ) 0 ， 得 0 , 故 () 0,递减 ， 所以 ( 0 0p a p， 而 2( ) 1,ap a e a 设函数 2( ) 1,aa e a 1, )a ， 则 ( ) 2aa e a ， ( ) 2 0 恒成立 ， ()a 在 1, 上递增 ， ( ) (1 ) 2 0 恒成立 ， ()a 在 1, 上递增 ， ( ) (1 ) 2 0 恒成立 ， 即 ( ) 0， 而 ( 0， 不合题意 . 综上 1 2 ，知实数 a 的取值范围,1 . 16 分 20解： （ 1）设等差数列 d ，等比数列 q ， 由题意得， 24115，解得 0d 或 3 ，因数列 , 所以 0, 1， 所 以 3d ， 2q ， 所 以 32，12 . .因为1132567 20 01749. .（ 2）设等差数列 d ，又1 1a，且 3， 所以1 1c，所以 1nc d n d . 因为1 3b是 以设1 即( 1) 2. 当 4n 时，解得 2 11d n， 不 满 足 各 项 为 正 整数； . 当133时 ， 1d ，此时只需取而等比数列 以1( 1)2nS n n； .当123时， 2d ，此时 21，只需取 21， 由 3 2 1n m，得 312 ， 3n 是奇数， 31n 是正偶数， m 有正整数解， 所以等比数列 以2. .综 上 所 述 ， 数 列 n 项和 1( 1)2nS n n或2. . （ 3 ） 存 在 等 差 数 列 只 需 首 项1 (1, )公差1. .下证 间 数列 数 为即 证 对任 意正整 数 n ， 都 有1 2 11211b b bn b b ， 即 2221111 1q q qn q q 成立 . 由22 1 2 21111 ( 1 ) ( 1 ) 1 0n q q qb a q a q q q q a ， 21 2 2 11 1 11 ( 1 1 ) ( 1 ) 0n n n nn q q qb a q a q q q q q q a . 所以 首项1 (1, )公差 1 的等差数列 .附加题答案 21. A、 解： 设半径为 r，由切 割 线定理， 得 F B F A F E F D 即1 8 4 2 ( 2 )F B F B r ， 4 分 在三角形 勾股定理，得 2 2 2D F O D F O， 即2 2 2( 1 8 2 4 ) ( )r r B F . 8分 由上两式解得614r. 10 分 B、 设曲线 x,y），经过变换 , ) 001002 ，即002, 2x x y y . 6 分 又 2200142，得224 . 10 分 C 、 解 ： 由 题 意 得 ， 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为3 2 0 ， 4 分 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为2 2 2x y r. 8 分 则 直 线 和 曲 线 相 切 ， 得2 113r . 10 分 D、 证：因为 ,a b c R ，所以由基本不等式，得 2 2 22 , 2 , 2c a ba c b a c ba b c . 4 分 三式相加，得 2 2 2c a b b c . 又 3 ， 所以2 2 2 3c a ba b c. 10 分 22解： 因为 P A D A B C D面 面 ， 为 正 三 角 形 ，作 上的高 则由 = A D A B C ， 由面面垂直的性质定理，得 P O A B C D 面 ， 又 矩形，同理 D 面 ，知 D , ,2P C = 1 3 ， 故. 2 分 以 为坐标原点， 建立如图所示的坐标系 ，则 ( , , ) , A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 1 , 3 , 0 ) , C ( - 1 , 3 , 0 ) , D ( - 1 , 0 , 0)P 0 0 3 ， 连结 ，由 / 面 N， 所以 又 C 的中点， 所以 C 的中点 ，则 33, , )221M( 4分 设面 , , )x y zn ， 1 3 3( 2 , 3 , 0 ) , = ( , , )2 2 2 0 , 0B D M D - 2 x - 3 y = 0x 3 3 02 2 2 ， 令 x=1，解得 21y=- ,z=3 3，所以取 23(1, , )33n. （ 1） 设 ，则 3 1 313 i n = 所以 直线 平 面 成 角 的 正 弦 值 为3 1313 . 6 分 （ 2） 面 0,)，设 面 面 ， 则 12 o s = 平面 平 面 成 锐 二 面 角 的 大 小 为3. 10 分 23解： （ 1）5的概率 分布 为 ： 则5 18( 5 ) ( ) 5. 2分53 4 P 25 35 63 4 5 A B C D P O M N x y z 6的概率分布如 下： 则6 21( 6 ) ( ) 5. 4分 (2) 方 法一： 3 , 4 , 5 , , 1 ,n n 2 14()( ) , ( 3 , 4 , , 1 )i CP i i ， 6分 21 1 12114 4 43 3 3() 1 1 ( 1 ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )n n i in n nn i