河南省郑州市2017年高三第三次质量预测数学试题(理)含答案

2017 年 高中毕业年级第三次质量预测 理 科数学试题卷 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 0 ，2 3， 则 p 为 （ ） （ ） A. 0x，2 3B. 0x ，2 3C. 0x ，2 3D. 0x，2 3复数 4m ， 32 ， 若复数 n 则实数 x 的 值为（ ） A. 6 83曲线 22132， 焦点在 y 轴 上，若焦距为 4 ， 则 a 等于 （ ） 27c o s 239 ， 则 的值 等于 （ ） 13C. 19 合 1 2 3 4, , ,A x x x x， 1, 0,1， 1, 2,3, 4i ， 那么集合 A 中 满足条件“ 22221 2 3 4 3 ”的元素个数为（ ） 某 个几何体 的三视图，则这个几何体体积是（ ） x ， y 满足 602 1 4 02 1 0 0 ， 则 2 最大值为（ ） 等比数列 且 4 268 0 16a a x d x ， 则 8 4 6 82a a a a的 值为（ ） A. 2 B. 24 C. 28 D. 216 数 a 、 b 、 ， 且 22 5 6a b a c b c a ， 则 2 的 最小值为（ ） A. 51 B. 51 2 2 2154的 左焦点为 F ， 直线 与 椭圆相交于点 M ， N ， 当 的 周长最大时， 的 面积是 （ ） A. 体 A 中 ， 10D， 2 3 4D ， 2 4 1C ， 则四面体A 外 接球的表面积为（ ） 数 232 xx f x x f x e， 228， 则 2,x 时， 小值为 （ ） A. 222322428 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 有 个 名句 “ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”. 其中 的 “ 筹 ” 原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表： 表示 一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示， 以 此类推，例如 6613 用 算筹表示就是： ， 则 5288 用 算筹式可表示为 列 n 项 和为且 3 2 1， 则 项公式是 双曲线 22:1的 右焦点为 F ， 过点 F 向 双曲线 的 一条渐 进线引垂线，垂足为M ，交 另一条渐近线于 N ， 若 2N ， 则 双 曲线的离心率 中 ，3A ， O 为 平面内一点，且 O A O B O C， M 为 劣弧 一 动 点，且 O M p O B q O C， 则 的 取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 中 ， 角 A 、 B 、 C 所 对的边分别是 a 、 b 、 c ， 已知 s i n s i n s i m A m R ，且 2 40a . （ 1）当 2a ， 54m时， 求 b 、 c 的 值； （ 2）若角 A 为 锐角，求 m 的 取值范围 . 研究学生的数学核素养 与 抽象（能力指标 x ） 、推理（能力指标 y ） 、建模（能力指标 z ） 的相关性，并将它们 各 自量 化 为 1、 2、 3三 个等级，再用综合指标 w x y z 的 值评定学生的数学 核心 素养；若 7w ， 则数学核心素养为 一 级；若 56w， 则数学 核心 素养为二级；若 34w， 则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校 10 名 学生，得到如下结果： 学生编号 1,x y z 2,2,3 3,2,3 3,3,3 1,2,2 2,3,2 2,3,3 2,2,2 2,3,3 2,1,1 2,2,2（ 1） 在这 10名 学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （ 2） 从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 a ， 从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 b ， 记随机变量 X a b ， 求随机变量 X 的分布列及其数学期望 . 在四边形 ， D ， 23， 四边形 矩形，且 平面 A D C D B C C F . （ 1） 求证： 平面 （ 2） 点 M 在 线段 运动， 当 点 M 在 什么位置时，平面 平面 成锐 二面角最大， 并 求此时二面角的余弦值 . 2 2 21 :0C x y r r 与 直线0 13:522l y x相 切，点 A 为 圆1动点，AN x 轴 于点 N ， 且动点 M 满足 2 2 2 2O M A M O N ， 设动点 M 的 轨迹为曲线 C . （ 1）求动 点 M 的 轨迹曲线 C 的 方程； （ 2）若 直线 l 与 曲线 C 相 交于不同的两点 P 、 Q 且 满足以 直径的圆过坐标原点 O ，求 线段 度 的取值范围 . 数 x x a x a ， 22ag x x . （ 1）函数 x f e a g e ， 1,1x ， 求函数 小值； （ 2）对 任意 2,x ， 都有 10f x a g x 成立 ，求 a 的 范围 . 角坐标系的原点 O 为 极点， x 轴 正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l 的 参数方程为 1 ， （ t 为 参数， 0 ） ，曲线 C 的 极坐标方程为 2s i n 2 c o s 0 . （ 1） 求曲线 C 的 直角坐标方程； （ 2）设 直线 l 与 曲线 C 相 交于 A ， B 两点 ，当 变化 时，求 最小值 . 函数 52f x x x . （ 1）若 ， 使得 f x m 成 立，求 m 的 范围； （ 2） 求不等式 2 8 1 5 0x x f x 的 解集 . 2017 年高中毕业年级第 三 次质量预测 数学（理科） 参考答案 一、选择题 、填空题 13. 14. 1( 2) ; 15. 23;3e16. 1 三、解答题 17解： 由题意得 b c , 2 40a . (I) 当 52,4时， 52, 解得 2 , 1 ,212,2b bc c或 ( 22 2 22 22 2 2222 2c o s 2 3 ( 0 , 1 ) a ab c b c ab c c b c 23 22 m,又由 b c 可得 0,m 所以 6 22 m. I）由题可知：建模能力一级的学生是9A；建模能力二级的学生是2 4 5 7 1 0, , , ,A A A A A；建模能力三级的学生是1 3 6 8, , ,A A A A. 记 “所取的两人的建模能力指标相同”为事件 A ， 则 225421016( ) （ 题可知，数学核心素养一级：1 2 3 5 6 8, , , , ,A A A A A A，数学核心素养不是一级的：4 7 9 10, , ,A A A A； X 的可能取值为 1,2,3,4,5. 113211641( 1 ) ;4 1 1 1 13 1 2 211647( 2 ) ;24C C C 1 1 1 1 1 13 1 2 1 1 211647( 3 ) ;24C C C C C 1 1 1 12 1 1 111641( 4 ) ;8C C 111111641( 5 ) 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 p 1472472418124 1 7 7 1 11 2 3 4 54 2 4 2 4 8 2 4 2912. 19. 解： (I)在梯形 ， /D ， 设 1A D C D B C ， 又 23, 2， 2 2 2 02 c o s 6 0 3 A B B C A B B C 2 2 2 A C B C C . C F A B C D 平 面 ， A C A B C D 平 面 ， F ，而 C C， B C F 平 面 / / ,C E F B C F 平 面 . ( (I)可建立分别以直线 x 轴， y 轴， z 轴的如图所示 建立 空间直角坐标系， 设 1A D C D B C C F ， 令 (03 ),则 C (0， 0， 0)， A ( 3 ， 0， 0)，B (0， 1， 0)， M ( ， 0， 1)， (- 3 ， 1， 0)， ( ， 1)， 设1 ( , , )n x y zr 为平面 一个法向量， 由 00,n M r 得 300,y z ， 取 1x ,则1(1, 3 , 3 ), 2(1,0,0)是平面 一个法向量 , 121222n 1 1c o s ( 3 ) 1 ( 3 ) 4 rr g n n n 03 , 当 0 时， 有最小值 77， 点 M 与点 F 重合时，平面 平面 成二面角最大，此时二面角的余弦值为77 . 20. 解：（ I）设动点 ),(),(00 于 AN x 轴于点 0( , 0)圆 )0(2221 与直线 52321:0 532 切， 35 圆 221 9.C x y：由题意， 222(2 ，得0 0 0( , ) 2 ( , ) ( 2 2 2 ) ( , 0 ) ,x y x x y y x 0 0 0( 3 2 , 3 2 ) ( ( 2 2 2 ) , 0 ) .x x y y x 0003 2 ( 2 2 2 ) ,3 2 0x x 即003 ,223 将 )23,223( 22 得 曲线 C 的方程 为 （ （ 1）假设直线 l 的斜率存在，设其方程为 ，设1 1 2 2( , ) , ( , ) ,P x y Q x 2,1,84y kx ，可得 2 2 2( 1 2 ) 4 2 8 0 .k x k m x m 由求根公式得 21 2 1 2224 2 8, 1 2k m mx x x （ *） 以 直径的圆过坐标原点 O ， Q 即 Q 1 2 1 2 0.x x y y 即1 2 1 2( ) ( ) 0 .x x k x m k x m 化简可得， 221 2 1 2( 1 ) ( ) 0 .k x x k m x x m 将（ *）代入可得 021 883 222 223 8 8 0 即3 )1(822 又 222212 26 4 8 3 21 1 k x x 将3 )1(822 入，可得 22 2 222 2 2 4 22 6 4 3 23 2 ( 4 1 ) ( 1 ) 3 233111 2 3 ( 1 2 ) 3 1 4 4kk k kk k k k 223 2 11 2 3 4 当且仅当 22 41 ，即 22k 时等号成立又由 0441 242 364332 323 64 （ 2）若直线 l 的斜率不存在， 因以 直径的圆过坐标原点 O ，故可设 在直线方程为 ， 联立 22,1,84 解得 2 6 2 6( , ),33 6 2 6( , ) ,33Q 故3 64上，得 323 64 21. 解 :（ I）( ) ( ) xh x x a e a . 1()( ，令0)( 当1,1上0)( ( )( 1)1(. 当111 1,1 (在 ,1 ( )(a 1)1(. 当111,上0)( )1()(. 综上所述，当0a时)(1，当20 1,当2时，)(最小值为 )1(. （ 2( ) ( 1 ) l n( 1 ) 2aF x x x x ， )1(1)1( 2( x. 当0 , )x 上0)( (, )x 递增，()2( F，不可能有 10f x a g x . 当1 令011)( 得：1，此时 121a)( . )(),2 上 递 减 . ( 最 大 值 为 01)2( )()(的最大值为0)( F， 即 f x a g x 成立 . 当01 时 12 1 ,a当)11,2( 时， )(,0)( 递增，当),11( (,0)( 递减 . )11() ma x 0) a，又由于01)2( a, 在)11,2x 上0)( ( 又0)2( F,所以在)11,2 )(F，显然不合题意 . 综上所述：1a. （ I） 由2s i n 2 c o s 0 ，得22s i n 2 c o s . 曲线 C 的直角坐标方程 为 2 （ 将 直线 l 的 参数方程 代入 2 ，得 22s i n 2 c o s 1 0 设 , 则12 22 c o ss ，12 21s ， 21 2 1 2 1 2( ) 4A B