吉林市2017届高三第七次模拟考试数学试题（理）含答案

考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 命题人： 审题人： 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序 在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷（选择题 60 分） 一、选择题 （本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只 有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 1） 复数 1i（ i 是虚数单 位）的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） （ A） 第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 解析： （ A） （ 2） 已知集合 ( ) | l g ( ) | A x y y x B x y x a ， ， ， 若 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） （ A） 1a （ B） 1a （ C） 0a （ D） 0a 解析： （ D） （ 3） 已知 ， 是两不重合的平面，直线 m ， 直线 n ， 则 “ ， 相交 ”是“直线 面 ”的（ ） （ A） 充分不必要 条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 解析： （ B） （ 4） 已知函数 2()f x x x， 执行如图所示的程序框图 ， 输出的 k 值是 （ ） （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ C） 7 解析：（ C） （ 5） 已知函数 ( ) s i n c o sf x a x b x（ 为常数 ， 0a ， xR ）在4x 处取得最大值 ，则函数 ()4y f x 是 （ ） （ A）奇函数且它的图象关于点 ( 0)， 对称 （ B）偶函数且它的图象关于点 3( 0)2，对称 （ C）奇函数且它的图象关于点 3( 0)2，对称 （ D）偶函数且它的图象关于点 ( 0)， 对称 解析： （ B） （ 6） 设单位向量12，3，122a e e，23则 a 在 b 方向上的投影为 （ ） （ A） 332（ B） 32（ C） 32（ D） 332解析：（ B） （ 7） 某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为 1 的 等边三角形 ， 俯视图是两个正三角形拼成的菱形 ， 则这个几何 体的体积为 （ ） （ A） 14（ B） 36（ C） 12（ D） 34解析： （ A） （ 8） 已知 2 s 1 c o s 2 ， 则 )4 的值为 （ ） （ A） 3 （ B） 3 （ C） 3 或 3 （ D） 1 或 3 解析 ： （ D） （ 9） 已知圆 C ： 22( 3 ) ( 1 ) 1 和两点 ( 0)， ， ( 0)( 0)t ， 若圆 C 上存在点 P ，使得 0B ， 则 t 的最小值为 （ ） （ A） 3 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 1 解析： （ D） 俯视图侧视图正视图（ 10） 已知等差数列 项是二项式41()展开式的常数项 ， 则9 1113（ ） （ A） 23（ B） 2 （ C） 4 （ D） 6 解析：（ C） （ 11） 过抛物线 2 2y ( 0)p 的焦点 F 的直线与双曲线 22 13的一条渐近线平行 ，并交抛物线于 两点 ， 若 | | | |F ， 且 | | 2， 则抛 物线的方程为 （ ） （ A） 2 2 （ B） 2 3 （ C） 2 4 （ D） 2 解析： （ A） （ 12）已知函数 ()足 ( ) ( ) x xf x x， 且 (1) 0f ， 则函数 () ） （ A）有极大值，无极小值 （ B）有极小值，无极大值 （ C）既有极大值，又有极小值 （ D）既无极大值，也无极小值 解析：（ B） . 因为 ( ) ( ) x xf x x，即 ( ) x x ， 所以 ( ) x x x x c ， 其中 c 为常数 ， 又因为 (1) 0f ，所以 ( ) xf x x x x ， 1( ) f x ，221 1 1() x x x ， 当 01x时 ， ( ) 0 ， 当 1x 时 ， ( ) 0 ， 所以函数 () 1x 时取得极小值 ， 无极大值 . 第 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（ 本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ） （ 13） 在 中 ， 角 A B C， ， 所对边分别为 ， ， 且 42c ， 45B， 面积 2S ，则 b . 解析： 5 （ 14） 已知107 7 000 表示的平面区域为 D ， 若 ( ) 2x y D x y a ， ， 为真命题 ， 则实数 a 的取值范围是 . 解析： 5 )， （ 15） 某单位员工按年龄分为 A B C， ， 三组 ， 其人数之比为 5:4:1 ， 现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本 ， 若 C 组中甲 、 乙二人均被抽到的概率是 145， 则该单位员工总数为 . 解析： 100 （ 16） 设函数 ()定义域为 R ， 若存在常数 0 ， 使 | ( ) | | |f x x 对一切实数 x 均成立 ， 则称 () “条件 约束函数” . 现给出下列函数： ( ) 4f x x ； 2( ) 2f x x； 2 2() 25； ()定义在实数集 R 上的奇函数 ， 且对一切12有1 2 1 2( ) ( ) 4 | |f x f x x x. 其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号） . 解析： . 对于，取 4 即可 ； 对于，因为 0x 时 ， ()|， 所以不存在 0 ， 使 | ( ) | | |f x x 对一切实数 x 均成立 ； 对于，因为222 | | 2 | | 1| ( ) | | |2 5 ( 1 ) 4 2x xx x x ， 取 12 即可 ； 对于，由于 ()奇函数 ， 故 (0) 0f ， 令120x x x，得 ( ) 4 | |f x x ， 故 ( ) 4 | |f x x ，即 ( ) 4 | |f x x ， 所以 | ( ) | 4 | |f x x ，取 4 即可 . 三、解答题（本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17） （本小题满分 12 分） 在各项均为正数的等比数列 1 2a， 且1 3 223a a a， ，成等差数列 . （）求等比数列 （）若数列 2 数列前 n 项和为 求证 ： 2. 解析： （）设数列 q ， 因为1 3 223a a a， ，成等差数列 ， 所以1 2 32 3 2a a a，即 21 1 12 3 2a a q a q， 所以 22 3 2 0 ， 解得 2q 或 12q，因为 0q ， 所以 2q ，所以数列 . （）证明：因为2a n，所以 1()2 ， 所以 121 1 11 ( ) 2 ( ) ( )2 2 2 ，2 3 + 11 1 11 ( ) 2 ( ) ( )2 2 2 ， 相减得 1 2 1 1 111 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 122( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 ) ( )12 2 2 2 2 2 212nn n n n n n . 因此 12 ( 2 ) ( ) 22 . （ 18） （本小题满分 12 分） 如图，直角三角形 ， 60A ， 90 ， 2， E 为线段 一点 ，且 13C， 沿 上的中线 折起到 的位置 . （）求证： D ； （）当平面 平面 ， 求二面角 C 的余弦值 . 解析：由已知得 2D C P D P B B D ， 23. （）证明：取 点 O ， 连接 O， ， 因为 1， 233 30 ，3 所以 D . 又因为 D ， O 为 中点 ， 所以 D ， 又E O ， 所以 平面 又 平面 所以 E . （）因为平面 平面 平面 面 D ， D ， 平面 所以 平面 所以 B ， 两两垂直 . 以 O 为坐标原点 ， 以 在直线分别为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 (0 1 0)B ， ， ， (0 0 3 )P ， ， ， ( 3 2 0 )C ， ， ， ( 0 1 3 )， ， ， ( 3 3 0 )， ， ， 设平面 法向量为 ()x y z ， ，n ， 则303 3 0 ， 不妨令 3y ， 得 (3 3 1) ， ，n . 又平面 一个法向量为(1 0 0) ， ，m ， 所以 3 1 3c o 即二面角 C 的余弦值为 31313. （ 19）（本小题满分 12 分） 某厂每日生产一种大型产品 2 件 ， 每件产品的投入成本为 2000 元 . 产品质量为一等品的概率为 二等品的概率为 每件一等品的出厂价为 10000 元 ， 每件二 等品的出厂价为 8000 元 ， 若产品质量不能达到一等品或二等品 ， 除成本不能收回外 ， 每生产 1 件产品还会带来 1000 元的损失 . （）求在连续生产的 3 天中 ， 恰有一天生产的 2 件产品都为一等品的概率 ； （）已知该厂某日生产的这种大型产品 2 件中有 1 件为一等品 ， 求另 1 件也为一等品的概率 ； （）求该厂每日生产这种产品所获利润 （元）的分布列和期望 . 解析： （）一天中 2 件都为一等品的概率为 . 设连续生产的 3 天中 ， 恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件 A ， 则123 1 3 2 7( ) C ( )4 4 6 4 . （） 2 件中有 一等品的概率为 1 1 312 2 4 ， 则 2 件中有 1 件为一等品 ， 另 1 件也为一等品的概率为 1 3 14 4 3. （） 的可能取值为 1 6 0 0 0 1 4 0 0 0 1 2 0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 0 6 0 0 0， ， ， ， ，. 则 2( 1 6 0 0 0 ) 0 . 5 0 . 2 5P ； 12( 1 4 0 0 0 ) C 0 . 5 0 . 4 0 . 4P ； 2( 1 2 0 0 ) 0 . 4 0 . 1 6P ； 12( 5 0 0 0 ) C 0 . 5 0 . 1 0 . 1P ； 12( 3 0 0 0 ) 0 . 1 0 . 4 0 . 0 8 ；2( 6 0 0 0 ) 0 . 1 0 . 0 1P . 故 的分布列为 16000 14000 12000 5000 3000 6000 P ( ) 1 6 0 0 0 0 . 2 5 1 4 0 0 0 0 . 4 1 2 0 0 0 0 . 1 6 5 0 0 0 0 . 1 3 0 0 0 0 . 0 8 ( 6 0 0 0 ) 0 . 0 1 1 2 2 0 0E . （ 20） （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 ， 已知椭圆1C： 221( 1)的离心率 32e， 且椭圆1 到点 (0 3)Q ， 的距离的最大值为 4 . （）求椭圆1 （）设 1(0 )16A ， N 为抛物线2C： 2上一动点 ， 过点 N 作抛物线2C， 两点 ， 求 面积的最大值 . 解析： （） 因为 2 2 22 22 34c a be ，所以 224， 则椭圆方程为 2214， 即2 2 244x y b. 设 ()M x y， ， 则2 2 2 2 2 2 2 2 2| | ( 0 ) ( 3 ) 4 4 ( 3 ) 3 6 4 9 3 ( 1 ) 4 1 2M Q x y b y y y y b y b . 当 1y 时 ， |最大值为 24 12 4b . 解得 2 1b ， 则 2 4a . 所以椭圆12 14x y. （）设曲线 C ： 2上的点 2()N t t， ， 因为 2 ， 所以直线 方程为 2 2 ( )y t t x t ， 即 22y tx t， 代入椭圆方程 22 14x y得 2 2 3 4( 1 1 6 ) 1 6 4 4 0t x t x t ， 则有 3 2 2 4 4 2( 1 6 ) 4 ( 1 1 6 ) ( 4 4 ) 1 6 ( 1 6 1 )t t t t t . 设1 1 2 2( ) ( )B x y C x y， ， ，则 312 2161 1 6t， 412 2441 16t . 所以 2 4 22 2 21 2 1 2 1 2 24 1 4 1 6 1| | 1 4 | | 1 4 ( ) 4 1 1 6t t t x x t x x x x t . 设点 A 到直线 距离为 d ， 则 221 1616 1 4. 所以 的面积 2 4 2 2 422 21 1 4 1 4 1 6 1 1 1 6 1| | 1 6 12 2 1 1 6 81 6 1 4t t t C d t tt t 221 6 5( 8 ) 6 588t . 当 22t 时 ， 等号成立 ， 经检验此时 0 ， 满足题意 . 综上， 面积的最大值为 658. （ 21） （本小题满分 12 分） 已知2( ) e 4x ， 其中 e 为自然对数的底数 . （）设 ( ) ( 1) ( )g x x f x （其中 ()为 ()导函数 ），判断 () 1 ) ， 上的单调性 ； （）若 ( ) l n ( 1 ) ( ) 4F x x a f x 无零点 ， 试确定正数 a 的取值范围 . 解析 ：（）因为2( ) e 4x ，则211( ) ，21( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 e 1 )4 xg x x f x x ， 所以 12 2 21 1 1( ) e ( 3 ) 1 ( 2 e 1 ) ( 2 e 1 ) 04 4 4x x ， 所以 () 1 ) ， 上单调递增 . （）由 ( ) l n ( 1 ) ( ) 4F x x a f x 知 11( ) ( ) ( ) aF x a f x g xx x a ， 由 （）知 () ( 1 ) ， 上单调递增 ， 且 ( 1) 0g ， 可知当 ( 1 )x ， 时 ，( ) (0 ) ， ， 则 1( ) ( ) 1aF x g 有唯一零点 ， 设此零点为 . 易知 ( 1 )， 时 ， ( ) 0 ， () ()， 时 ， ( ) 0 ， () 故m a x( ) ( ) l n ( 1 ) ( ) 4F x F t t a f t ， 其中 1()a 令 ()( ) l n ( 1 ) 4()x x ， 则221 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() 1 ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x g x g x ， 易知 ( ) 0在 ( 1 ) ， 上恒成立 ， 所以 ( ) 0 ， () ( 1 ) ， 上单调递增 ， 且(0) 0G . 当 04a 时 ， 11( ) ( 0 )4g t ， 由 () 1 ) ， 上单调递增知 0t ， 则m a x( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0F x F t G t G ，由 () ( 1 )t， 上单调递增 ，44( e 1 ) ( e 1 ) 0F a f ， 所以 4( ) ( e 1) 0F t F ， 故 () 1 )t， 上有零点 ， 不符合题意 ； 当 4a 时 ， 11( ) ( 0 )4g t ， 由 ()单调性知 0t ， 则m a x( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0F x F t G t G ， 此时 () 不符合题意 ； 当 4a 时 ， 11( ) ( 0 )4g t ， 由 ()单调性知 0t ， 则m a x( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0F x F t G t G ， 此时 () 综上所述，当 ( ) l n ( 1 ) ( ) 4F x x a f x 无零点时 ， 正数 a 的取值范围是 (4 )a ， . 请考生在第 22、 23 题中 任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计