第三章　概率本章整合（共42张PPT）

专题一 互斥事件与对立事件问题 ( 1 ) 利用基本概念 : 互斥事件不可能同时发生 ; 对立事件首先是互斥事件 , 且必须有一个要发生 . ( 2 ) 利用集合的观点来判断 :设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A , B , 全集为 I. 事件 A 与 B 互斥 , 即集合 A B= ; 事件 对立 , 即集合 A B= , 且 A B = I , 也即 A= B= 对互斥事件 A 与 B 的和 A + B , 可理解为集合 A B. ( 3 ) 对立事件是针对两个事件来说的 , 而互斥则可以是多个事件间的关系 . ( 4 ) 如果 , 那么我们就说 , ( 5 ) 若事件 , 则 P ( =P ( +P ( +P ( . 应用互斥事件的概率加法公式解题时 , 一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥 , 然后求出各事件分别发生的概率 , 再求和 . 对于较复杂事件的概率 , 可以转化为求其对立事件的概率 . ( 6 ) 求复杂事件的概率通常有两种方法 :一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 ; 二是先求其对立事件的概率 , 然后再应用公式P ( A ) = 1 - P ( ) 求解 . 应用 1 从 40 张扑克牌 ( 红桃、黑桃、方块、梅花的点数为 1 10 ,各 10 张 ) 中任取 1 张 . 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件 , 是否为对立事件 , 并说明理由 . ( 1 ) “ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” ; ( 2 ) “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” ; ( 3 ) “ 抽出牌的点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出牌的点数大于 9 ”. 解 : ( 1 ) 是互斥事件 ,不是对立事件 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张 , “ 抽出红桃 ” 和 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同时发生的 ,所以是互斥事件 也不能保证其中必有一个发生 ,这是由于还可能抽出 “ 方块 ” 或者 “ 梅花 ” ,因此二者不是对立事件 . ( 2 ) 既是互斥事件 ,又是对立事件 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张 , “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ”两个事件不可能同时发生 ,且其中必有一个发生 ,因此它们既是互斥事件 ,又是对立事件 . ( 3 ) 不是互斥事件 ,当然不可能是对立事件 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张 , “ 抽出牌的点数为 5 的倍数 ” 与“ 抽出牌的点数大于 9 ” 这两个事件可能同时发生 ,如抽得点数为 10 ,因此 ,这二者不是互斥事件 ,当然不可能是对立事件 . 应用 2 在某一时期内 , 一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表 : 年最高水位 ( 单位 : m ) 8 , 1 0 ) 1 0 , 1 2 ) 1 2 , 1 4 ) 1 4 , 1 6 ) 1 6 , 1 8 ) 概率 0 . 1 0 . 28 0 . 38 0 . 16 0 . 08 计算在同一时期内 , 河流此处的年最高水位在下列范围内的概率 :( 1 ) 10 , 16 )( m ) ; ( 2 ) 8 , 12 )( m ) ; ( 3 ) 14 , 18 )( m ) . 解 :记该河流某处的年最高水位在 8 , 10 ) , 10 , 12 ) , 12 , 14 ) , 14 , 16 ) , 16 , 18 )( 单位 : m ) 分别为事件 A , B , C , D , E ,它们彼此互斥 . ( 1 ) P ( B + C + D ) =P ( B ) +P ( C ) +P ( D ) = 0 . 28 + 0 . 38 + 0 . 16 = 0 . 82 . ( 2 ) P ( A + B ) =P ( A ) +P ( B ) = 0 . 1 + 0 . 28 = 0 . 38 . ( 3 ) P ( D + E ) =P ( D ) +P ( E ) = 0 . 16 + 0 . 08 = 0 . 24 . 所以年最高水位在 10 , 16 )( m ) , 8 , 12 )( m ) , 14 , 18 )( m ) 的概率分别为 0 . 82 , 0 . 38 , 0 . 24 . 专题二 概率与频率关系的应用 频率是概率的近似值 , 随着试验次数的增加 , 频率会越来越接近概率 , 在实际问题中 , 常用事件发生的频率作为概率的估计值 . 频率本身是随机的 , 而概率是一个确定的数 , 是客观存在的 , 因此概率与每次试验无关 . 应用 下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表 , 请完成表格并回答问题 : 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1347 1794 2688 发芽的频率 ( 1 ) 完成上面表格 . ( 2 ) 估计该油菜籽发芽的概率是多少 ? 提示 : ( 1 ) 代入公式得频率 ,( 2 ) 估计频率的稳定值即为概率 . 解 : ( 1 ) 从左到右依次填入 : 1 , 0 . 8 , 0 . 9 , 0 . 857 , 0 . 892 , 0 . 897 , 0 . 898 , 0 . 897 , 0 . 896 . ( 2 ) 由于每批种子发芽的频率稳定在 0 . 897 附近 , 所以估计该油菜籽发芽的概率为 0 . 897 . 专题三 古典概型问题 古典概型是一种最基本的概型 , 也是学习其他概型的基础 , 要掌握古典概型的两个基本特征 , 即有限性和等可能性 . 在应用公式P ( A ) =时 , 关键是要正确理解基本事件与事件 A 的关系 , 从而求出n , m. 在求基本事件的总数时 , 可以用列举法、列图表或设有序数对的方法来求 . 应用 1 如图 , a , b , c , d , e 是处于断开状态的开关 , 任意闭合两个 , 则电路被接通的概率是 . 解析 : “ 任意闭合两个开关 ” 所包含基本事件有 :闭合 共有 10 个 , “ 电路被接通 ” 包含 6 个基本事件 ( 闭合 , 所以电路被接通的概率 P=610=35. 答案 :35应用 2 一个均匀的正四面体面上分别涂有 1 , 2 , 3 , 4 四个数字 , 现在随机投掷两次 , 正四面体面朝下的数字分别为 b , c. ( 1 ) 记 z= ( b - 3 )2+ ( c - 3 )2, 求 z= 4 的概率 ; ( 2 ) 若方程 c= 0 至少有一根 x 1 , 2 , 3 , 4 , 就称该方程为 “ 漂亮方程 ” , 求方程为 “ 漂亮方程 ” 的概率 . 解 : ( 1 ) 因为是投掷两次 ,因此基本事件是 ( b , c ), 有( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 1 ) , (4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) 6 个基本事件 . 当 z= 4 时 ,( b , c ) 的所有取值为 ( 1 , 3 ) 、 ( 3 , 1 ), 所以 P ( z= 4 ) =216=18. ( 2 ) 若方程一根为 x= 1 ,则 1 - b - c= 0 ,即 b+ c = 1 ,不成立 . 若方程一根为 x= 2 ,则 4 - 2 b - c= 0 ,即 2 b+ c = 4 ,所以 = 1 , = 2 . 若方程一根为 x= 3 ,则 9 - 3 b - c= 0 ,即 3 b+ c = 9 ,所以 = 2 , = 3 . 若方程一根为 x= 4 ,则 16 - 4 b - c= 0 ,即 4 b+ c = 16 ,所以 = 3 , = 4 知 ,( b , c ) 的所有可能取值为 ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ), 所以 “ 漂亮方程 ” 共有 3 个 ,方程为 “ 漂亮方程 ” 的概率为 P=316. 应用 3 已知实数 a , b - 2 , - 1 , 1 , 2 , ( 1 ) 求直线 y = a x + b 不过第四象限的概率 ; ( 2 ) 求直线 y = a x + b 与圆 x 2 +y 2 = 1 有公共点的概率 . 解 :实数对 ( a , b ) 的所有取值为 ( - 2 , - 2 ) , ( - 2 , - 1 ) , ( - 2 , 1 ) , ( - 2 , 2 ) , ( - 1 , - 2 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , 2 ) , ( 1 , - 2 ) , ( 1 , - 1 ) , (1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , - 2 ) , ( 2 , - 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ), 共 16 种 . 设 “ 直线 y = b 不经过第四象限 ” 为事件 A , “ 直线 y = b 与圆x2+1 有公共点 ” 为事件 B. ( 1 ) 若直线 y = b 不经过第四象限 ,则必须满足 0 , 0 a , b ) 有 ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ), 共 4 种 . 则 P ( A ) =416=14. 故直线 y = b 不经过第四象限的概率为14. ( 2 ) 若直线 y = b 与圆 x2+1 有公共点 , 则必须满足| | 2 + 1 1 ,即 1 . 若 a= - 2 ,则 b= - 2 , - 1 , 1 , 2 符合要求 , 此时实数对 ( a , b )有 4 种不同取值 ; 若 a= - 1 ,则 b= - 1 , 1 符合要求 ,此时实数对 ( a , b ) 有 2 种不同取值 ; 若 a= 1 ,则 b= - 1 , 1 符合要求 ,此时实数对 ( a , b )有 2 种不同取值 ; 若 a= 2 ,则 b= - 2 , - 1 , 1 , 2 符合要求 ,此时实数对 ( a , b ) 有 4 种不同取值 . 满足条件的实数对 ( a , b ) 共有 12 种不同取值 . P ( B ) =1216=34. 故直线 y = b 与圆 x2+1 有公共点的概率为34. 专题四 几何概型问题 若试验同时具有基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征 , 则此试验为几何概型 , 由于基本事件个数的无限性 ,其概率就不能应用 P ( A ) =求解 , 因此需转化为几何度量 ( 如长度、面积、体积等 ) 的比值求解 . 几何概型是新增内容 , 在高考中很少考查随机模拟 , 主要涉及几何概型的概率求解问题 , 难度不会太大 , 题型可能较灵活 , 涉及面可能较广 . 几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型 , 在解题时要准确把握 , 要把实际问题作合理的转化 ; 要注意古典概型和几何概型的区别 , 正确地选用几何概型解题 . 应用 1 A B C D 为长方形 , A B = 2 , B C = 1 , O 为 中点 , 在长方形A B C D 内随机取一点 P , 取到的点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为( ) 1 1 如图所示 ,若取到的点 P 到 O 的距离大于 1 ,则点 P 在阴影部分内 ,阴影部分的面积为 2 1 12= 2 所以所求的概率为2 1 答案 : B 应用 2 在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 , 从中随机取出 10 含有麦锈病种子的概率是多少 ? 解 :取出 10 种 ,其中 “ 含有麦锈病种子 ” 这一事件记为 A ,则P ( A ) =取出种子的体积所有种子的体积=101000=1100. 答 :含有麦锈病种子的概率为1100. 专题五 概率与统计的综合问题 概率与统计相结合 ,是新课标数学高考试题的一个亮点 , 其中所涉及的统计知识是基础知识 , 所涉及的概率是古典概型 , 虽然是综合题 , 但是难度不大 , 属于中档以下难度 . 应用 1 ( 2013 四川资阳一模 ,文 16 ) 某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动 , 且每个小组有 5 名同学 , 在实践活动结束后 ,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评 ,该班的 A , B 两个小组所有同学所得分数 ( 百分制 )的茎叶图如图所示 ,其中 B 组一同学的分数已被污损 ,但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分 . ( 1 ) 若在 B 组学生中随机挑选 1 人 , 求其得分超过 85 分的概率 ; ( 2 ) 现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学 ,设其分数分别为m , n ,求 |m - n| 8 的概率 . 解 : ( 1 ) A 组学生的平均分为94 + 88 + 86 + 80 + 775= 85 ( 分 ), B 组学生平均分为 86 分 , 设被污损的分数为 x ,则91 + 93 + 83 + + 755= 86 ,解得 x= 88 , B 组学生的分数分别为 93 , 91 , 88 , 83 , 75 ,其中有 3 人的分数超过 85 分 , 在 B 组学生随机选 1 人 ,其所得分超过 85 分的概率为35. ( 2 ) A 组学生的分数分别是 94 , 88 , 86 , 80 , 77 , 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学 ,其分数组成的基本事件 ( m , n )有( 94 , 88 ) , ( 94 , 86 ) , ( 94 , 80 ) , ( 94 , 77 ) , ( 88 , 86 ) , ( 88 , 80 ) , ( 88 , 77 ) , ( 86 , 80 ) , ( 86 , 77 ),( 80 , 77 ), 共 10 个 , 随机抽取 2 名同学的分数 m , n 满足 |m - n| 8 的基本事件有( 94 , 88 ) , ( 94 , 86 ) , ( 88 , 86 ) , ( 88 , 80 ) , ( 86 , 80 ) , ( 80 , 77 ), 共 6 个 . |m - n| 8 的概率为610=35. 应用 2 某班同学利用国庆节进行社会实践 , 对 25 , 55 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 , 若生活习惯符合低碳观念的称为 “ 低碳族 ” , 否则称为 “ 非低碳族 ” , 得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图 : 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25 , 30 ) 120 0 . 6 第二组 30 , 35 ) 195 p 第三组 35 , 40 ) 100 0 . 5 第四组 40 , 45 ) a 0 . 4 第五组 45 , 50 ) 30 0 . 3 第六组 50 , 55 15 0 . 3 ( 1 ) 补全频率分布直方图并求 n , a , p 的值 ; ( 2 ) 从年龄段在 40 , 50 ) 的 “ 低碳族 ” 中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动 , 其中选取 2 人作为领队 , 求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 40 , 45 ) 岁的概率 . 解 : ( 1 ) 第二组的频率为 1 - ( 0 . 04 + 0 . 04 + 0 . 03 + 0 . 02 + 0 . 01 ) 5 = 0 . 3 ,所以高为0 . 35= 0 . 06 第一组的人数为1200 . 6= 200 ,频率为 0 . 04 5 = 0 . 2 , 所以 n=2000 . 2= 1000 . 由题可知 ,第二组的频率为 0 . 3 ,所以第二组的人数为1000 0 . 3 = 300 ,所以 p=195300= 0 . 65 . 第四组的频率为 0 . 03 5 = 0 . 15 ,所以第四组的人数为1000 0 . 15 = 150 ,所以 a= 150 0 . 4 = 60 . ( 2 ) 因为 40 , 45 ) 岁年龄段的 “ 低碳族 ” 与 45 , 50 ) 岁年龄段的 “ 低碳族 ” 的比值为 60 30 = 2 1 , 所以采用分层抽样法抽取 6 人 , 40 , 45 ) 岁中有 4 人 , 45 , 50 ) 岁中有 2 人 . 设 40 , 45 ) 岁中的 4 人为 a , b , c , d , 45 , 50 ) 岁中的 2 人为 m , n ,则选取2 人作为领队的选法有( a , b ) , ( a , c ) , ( a , d ) , ( a , m ) , ( a , n ) , ( b , c ) , ( b , d ) , ( b , m ) , ( b , n ) , ( c , d ) , ( c , m ) , ( c , n ) , ( d , m ),( d , n ) , ( m , n ), 共 15 种 ;其中恰有 1 人年龄在 40 , 45 ) 岁的有( a , m ) , ( a , n ) , ( b , m ) , ( b , n ) , ( c , m ) , ( c , n ) , ( d , m ) , ( d , n ), 共 8 种 . 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 40 , 45 ) 岁的概率为815. 1 . ( 2013 全国新课标 高考 ,文 3 ) 从 1 , 2 , 3 , 4 中任取 2 个不同的数 , 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( ) A 13C 16解析 :由题意知总事件数为 6 ,且分别为( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ), 满足条件的事件数是 2 ,所以所求的概率为13. 答案 : B 1 2 . ( 2013 安徽高考 ,文 5 ) 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人 , 这五人被录用的机会均等 , 则甲或乙被录用的概率为( ) 五人录用三人共有 10 种不同方式 ,分别为 : 丙 ,丁 ,戊 , 乙 ,丁 ,戊 , 乙 ,丙 ,戊 , 乙 ,丙 ,丁 , 甲 ,丁 ,戊 , 甲 ,丙 ,戊 , 甲 ,丙 ,丁 , 甲 ,乙 ,戊 , 甲 ,乙 ,丁 , 甲 ,乙 ,丙 . 其中含甲或乙的情况有 9 种 ,故选 D . 答案 : D 3 . ( 2013 陕西高考 ,文 5 ) 对一批产品的长度 ( 单位 :毫米 ) 进行抽样检测 ,下图为检测结果的频率分布直方图 . 根据标准 , 产品长度在区间 20 , 25 ) 上为一等品 , 在区间 15 , 20 ) 和 25 , 30 ) 上为二等品 , 在区间 10 , 15 ) 和 30 , 35 上为三等品 . 用频率估计概率 , 现从该批产品中随机抽取 1 件 , 则其为二等品的概率是 ( ) A . 0 . 09 B . 0 . 20 C . 0 . 25 D . 0 . 45 解析 :由题中频率分布直方图可知 :在区间 15 , 20 ) 和 25 , 30 ) 上的概率为 0 . 04 5 + 1 - ( 0 . 02 + 0 . 04 + 0 . 06 + 0 . 03 ) 5 = 0 . 45 . 答案 : D 4 . ( 2013 福建高考 ,理 11 ) 利用计算机产生 0 1 之间的均匀随机数 a ,则事件 “ 3 a - 1 0 ” 发生的概率为 . 解析 :由 3 a - 1 0 得 a13,由几何概型知 P=1 3. 答案 :235 . ( 2013 浙江高考 ,文 12 ) 从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名 ( 每名同学被选中的机会均等 ), 这 2 名都是女同学的概率等于 . 解析 :从 3 男 , 3 女中任选两名 ,共有 15 种基本情况 ,而从 3 女中任选 2名女同学 ,则有 3 种基本情况 ,故所求事件的概率为315=15. 答案 :156 . ( 2013 辽宁高考 ,文 19 ) 现有 6 道题 , 其中 4 道甲类题 , 2 道乙类题 , 张同学从中任取 2 道题解答 . 试求 : ( 1 ) 所取的 2 道题都是甲类题的概率 ; ( 2 ) 所取的 2 道题不是同一类题的概率 . 解 : ( 1 ) 将 4 道甲类题依次编号为 1 , 2 , 3 , 4 ; 2 道乙类题依次编号为 5 , 6 道题 ,基本事件为 : 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 3 , 2 , 4 , 2 , 5 , 2 , 6 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 5 , 4 , 6 , 5 , 6 , 共 15 个 ,而且这些基本事件的出现是等可能的 . 用 A 表示 “ 都是甲类题 ” 这一事件 ,则 A 包含的基本事件有 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3 , 4 , 共 6 个 ,所以 P ( A ) =615=25. ( 2 ) 基本事件同 ( 1 ), 用 B 表示 “ 不是同一类题 ” 这一事件 ,则 B 包含的基本事件有 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 5 , 2 , 6 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 5 ,