2017年中考数学备考《相似与位似》专题复习(含答案解析)

2017年中考备考专题复习：相似与位似 一、单选题（共 12题；共 24分） 1、下列各组线段长度成比例的是（ ） A、 1234、 13、 、 1224、如图，点 C 是线段 黄金分割点（ 下列结论错误的是（ ） A、 B、 B、 D、 、设（ 2y z）：（ z+2x）： y=1： 5： 2，则（ 3y z）：（ 2z x）：（ x+3y） =（ ） A、 1： 5： 7 B、 3： 5： 7 C、 3： 5： 8 D、 2： 5： 8 4、如图，在直角坐标系中，矩形 顶点 O 在坐标原点，边 x 轴上， y 轴上，如果矩形 C与矩形 于点 O 位似，且矩形 C的面积等于矩形 积的 ， 那么点 B的坐标是（ ） A、（ 2， 3） B、（ 2， 3） C、（ 3， 2）或（ 2， 3） D、（ 2， 3）或（ 2， 3） 5、已知 k= ， 且 +=6n，则 关于自变量 x 的一次函数 y=kx+m+ ）象限 A、一、二 B、二、三 C、三、四 D、一、四 6、在 ， C=1， BC=x， A=36值为（ ） A、 B、 C、 1 D、 7、线段 0 C 是线段 黄金分割点，且 关系是（ ） A、 、 、 、 、如图，已知在 ，点 D、 E、 F 分别是边 的点， ， ， 且 ： 5，那么 于（ ） . A、 5： 8 B、 3： 8 C、 3： 5 D、 2： 5 9、在 ， 2， 8， 4，另一个和它相似的 长的一边是 36，则 ） 第 3 页 共 24 页 第 4 页 共 24 页 A、 72 B、 18 C、 12 D、 20 10、如图，在 55 的正方形方格中， 顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，作一个与 似的 ， 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则 最大面积 是（ ） . A、 5 B、 10 C、 D、 11、（ 2016泰安）如图， 接于 O， O 的直径， B=30， 分 ，交 点 D，连接 S S ） A、 1： B、 1： C、 1： 2 D、 2： 3 12、（ 2016台湾）如图的矩形 ， E 点在 ，且 P、 Q 两点分别在 E 上， ： 1， ： 1，直线 R 点，且 Q、 R 两点到 距离分别为 q、 r，则下列关系何者正确？（ ） A、 q r， C B、 q r， 、 q=r， C D、 q=r， 、填空题（共 5题；共 5分） 13、已知 A= D， C= F 且 ： 2，则 _ 14、 ， A=90， C ， 3沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第_张 15、（ 2016苏州）如图，在平面直角坐标 系中，已知点 A、 B 的坐标分别为（ 8， 0）、（ 0， 2 ），C 是 中点，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，动点 P 从点 D 出发，沿 点 C 匀速运动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 在直线与 在直线第一次垂直时，点 P 的坐标为 _ 16、（ 2016宜宾）如图，在边长为 4 的正方形 ， P 是 上一动点（不含 B、 C 两点），将 直线 折，点 B 落在点 E 处；在 有一点 M，使得将 直线 折后，点 C 落在直线 的点 F 处，直线 点 N，连接 以下结论中正确的有 _（写出所有正确结论的序号） 四边形 面积最大值为 10； 当 P 为 点时， 线段 中垂线； 线段 最小值为 2 ； 当 ， 4 17、（ 2016昆明）如图，反比例函数 y= （ k0）的图象经过 A， B 两点，过点 A 作 x 轴，垂足为 C，过点 B 作 x 轴，垂足为 D，连接 接 点 E，若 D，四边形 面积为 2，则 k 的值为 _ 三、作 图题（共 1题；共 5分） 18、（ 2016陕西）如图，已知 0，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将 留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（共 4题；共 20分） 19、已知：如图， ， A=45， C=40求： 度数 20、如图，点 D、 E 分别在 边 ，且 ， ， ，若使 长 21、（ 2016南海区校级模拟）如图，已知 只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个 得 要求保留作图痕迹，不必写出作法） 22、（ 2016 春 薛城区期中）在平面直角坐标系中， 三个顶点坐标分别为 A（ 2， 4），B（ 3， 2）， C（ 6， 3） （ 1）画出 于 x 轴对称的 （ 2）以 M 点为位似中心，在网格中画出 ， 使 ： 1； 第 7 页 共 24 页 第 8 页 共 24 页 （ 3）若每一个方格的面积为 1，则 五、综合题（共 2题；共 25分） 23、（ 2016邵阳）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 中线，且 足为 P，设 BC=a， AC=b， AB=c 求证： a2+同学仔细分析后，得到如下解题思路： 先连接 用 中位线得到 ，设 PF=m，PE=n，用 m， n 把 别表示出来，再在 利用勾股定理计算，消去 m，n 即可得证 (1)请你根据以上解题思路帮尤秀 同学写出证明过程 (2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ， O 为对角线 交点，E， F 分别为线段 中点，连接 延长交于点 M， 别交 点 G，H，如图 2 所示，求 24、（ 2016衢州）如图 1，在直角坐标系 ，直线 l： y=kx+b 交 x 轴， y 轴于点 E， F，点 2， 2），过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 A、 C，点 D 是线段 的动点，以 对称轴，作与 轴对称的 (1)当 5时，求点 C的坐标 (2)当图 1 中的直线 l 经过点 A，且 k= 时（如图 2），求点 D 由 C 到 O 的运动过程中，线段过的图形与 叠部分的面积 (3)当图 1 中的直线 l 经过点 D， C时（如图 3），以 对称轴，作于 轴对称的 ，连结 OC， OO，问是否存在点 D，使得 与 相似？若存在，求出 k、 b 的值；若不存在，请说明理由 答案解析部分 一、单选题 【答案】 D 【考点】比例线段 【解析】【解答】 A、 1423，故错误； B、 1错误； C、 错误； D、 14=22，故正确 故选 D 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段依次分析各项即可 【答案】 B 【考点】黄金分割 【解析】【解答】 较长的线段， 根据黄金分割的定义可知： C： A 正确，不符合题意； B B 错误， ， 故 C 正确，不符合题意； D 正确，不符合题意 故选 B 【分析】 本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段 =原线段的 倍，较长的线段 =原线段的 倍，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ )叫做黄金比 【答案】 B 【考点】分式的化简求值，比例线段 【解析】【解答】 由已知，得 2（ 2y z)=y，即 y= z， 5（ 2y z)=z+2x，即 x=5y 3z， 由 ，得 x= z， 把 代入（ 3y z)：（ 2z x)：（ x+3y)，得 （ 3y z)：（ 2z x)：（ x+3y)=z： z： z=3： 5： 7 故选 B 【分析】先根据已知条件，利用 z 来表示 x 和 y，然后再将其代入所求化简、求值。 【答案】 D 【考点】坐标与图形性质，位似变换 【解析】【解答】 矩形 C与矩形 于点 O 位似， 矩形 C 矩形 矩形 C的面积等于矩形 积的 ， 位似比为： 1： 2， 点 B 的坐标为（ 6)， 点 B的坐标是：（ 3)或（ 2， 故选： D 【分析】 由矩形 C与矩形 于点 O 位似，且矩形 C的面积等于矩形 积的 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形 C与矩形 位似比为 1： 2，又由点 B 的坐标为（ 6)，即可求得答案 【答案】 A 【考点】比例的性质，一次函数的性质，平方的非负性，二次根式的非负性 【解析】【解答】 +=6n， =（ n 3)2 ， m=5， n=3， k= a+b c=a b+c= a+b+c= 相加得： a+b+c=（ a+b+c)k， 当 a+b+c=0 时， k 为任何数， 当 a+b+c0时， k=1， 即： y= 或 y=x+8， 所以图象一定经过一二象限 故选 A 【分析】首先由 +=6n，根据二次根式和完全平方式确定 m n 的值，再由k= ，利用比例的性质确定 K 的值，根据函数的图象特点即可判断出选项 【答案】 D 【考点】黄金分割 【解析】【解答】由题意可得 黄金三角形，根据黄金比即可得到 x 的值，再代入求值即 第 11 页 共 24 页 第 12 页 共 24 页 可 . C=1， A=36 黄金三角形 = = 故选 D. 【分析】解题的关键是熟记顶角为 36的等腰三角形是黄金三角形，黄金比为 【答案】 B 【考点】 黄金分割 【解析】【解答】根据黄金分割的概念知， ， 故本题答案为： B 【分析】 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ )叫做黄金比 【答案】 A 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】 ： 5， ： 8， ， D： ： 8， ， E： ： 8 故选： A 【分析】先由 ： 5，求得 比，再由 ， 根据平行线分线段成比例定理，可得 D： ， 然后由 ， 根据平行线分线段成比例定理，得 B=， 则可求得答案注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键 【答案】 B 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】设 短的一边是 x ， ， 2， 8， 4，另一个和它相似的 长的一边是 36， = ， 解得： x=18 故选 B 【分析】设 短的一边是 x ， 由相似三角形的性质得到 = ，即可求出 x ， 得到 短的边 【答案】 A 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】从图中可以看出 三边分别是 2， ， ， 要让 相似三角形最大，就要让 网格最大的对角线，即是 ， 所以这两，相似三角形的相似比是 : = :5 面积为 212=1， 所以 最大面积是 5故选 A 【分析】要让 相似三角形最大，就要让 网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答 【答案】 D 【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解： O 的直径， 0， B=30， ， 分 O 于 E， ， 过 C 作 E，连接 分 O 于 E， = ， S S E）：（ E） =（ ）：（ ） =2： 3 故选 D 【分析】由 O 的直径，得到 0，根据已知条件得到 ，根据三角形的角平分线定理得到 ，求出 C 作 ，连接 分 O 于 E，得到 出 据三角形的面积公式即可得到结论本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键 【答案】 D 【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解： 在矩形 ， ： 1， ： 1， ， =4， 平行线间的距离相等， q=r， =4， = ， 故选 D 【分析】根据矩形的性质得到 据已知条件得到 ，根据平行线分线段成比例定理得到 =4，根据平行线间的距离相等，得到 q=r，证得 = ，于是得到结论本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键 二、填空题 【答案】 2： 1 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】 ， A= D ， C= F ， ， ： 2， ： 1， 故答案为 2： 1 【分析】利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比 【答案】 10 【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的应用 【解析】【解答】过点 A 作 点 D ， ， A= ， C ， 3 D= 63= 设这张正方形纸条是从下往上数第 n 张 ， 则 ， ， ，即 ， 解得 n=10 故答案为： 10 第 15 页 共 24 页 第 16 页 共 24 页 【分析】先求出 高，再根据截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比进行求解解答此类题熟练掌握相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 【答案】（ 1， ） 【考点】坐标与图形性质 ，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解： 点 A、 B 的坐标分别为（ 8， 0），（ 0， 2 ） ， ,由C 是 中点，可得 O= = 设 DP=a，则 a 当 在直线与 在直线第一次垂直时， 0 ，即 解得 ， （舍去） 又 P（ 1， ） 故答案为：（ 1， ） 【分析】先根据题意求得 长，再判定 出相关的比例式，求得 后根据 长得到点 P 的坐标本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似 【答案】 【考点】全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定 【解析】【解答】解： 80， 2 80， 0， 0， 0， 0， 四边形 正方形， B=D=4， C= B=90， 正确， 设 PB=x，则 x， = ， x（ 4 x）， S 四边形 4+ x（ 4 x） 4= x+8= （ x 2） 2+10， x=2 时，四边形 积最大值为 10，故 正确， 当 C= 时，设 E=y， 在 ，（ y+2） 2=（ 4 y） 2+22解得 y= ， P，故 错误， 作 G， = ， 小时 小， B B x（ 4 x） = （ x 1） 2+3， x=1 时， 小值 =3， 最小值 = =5，故 错误 ， 在 取一 点 K 使得 K，设 PB=z， 5， 5， K=z， K= z， z+ z=4， z=4 4， 4 故 正确 故答案为 【分析】 正确，只要证明 0即可解决问题 正确，设 PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可 错误，设 E=y，在 ，利用勾股定理求出 y 即可解决 问题 错误，作 G，因为 = ，所以 小时 小，构建二次函数，求得 最小值为 3， 最小值为 5 正确，在 取一点 K 使得 K，设 PB=z，列出方程即可解决问题本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 【答案】 - 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：设点 B 坐标为（ a， b），则 a， BD=b x 轴， x 轴 D b， a 四边形 面积为 2 （ E） ，即 （ b+ b） （ a） =2 将 B（ a， b）代入反比例函数 y= （ k0），得 k= 故答案为： 【分析】先设点 B 坐标为（ a， b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形 上下底边长与高，再 根据四边形 面积求得 值，最后计算 k 的值本题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解本题也可以根据 似比为 1： 2 求得 面积，进而得到 k 的值 三、作图题 【答案】解：如图， 所作 【考点】作图 相似变换 【解析】【分析】过点 A 作 D，利用等角的余角相等可得到 C，则可判断 似本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作 由另一个图形放大或缩小得到解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似 四、解答题 【答案】解答： ， C=40， C=40 在 ， A=180， A=45 即 40+ 5=180， 5 【考点】相似三角形的性质 【解析】【分析】由 ， C=40，根据相似三角形的对应角相等，即可求得 由三角形的内角和等于 180，即可求得 度数 【答案】解答： 若 应 B 时， = ，即 = ， 第 19 页 共 24 页 第 20 页 共 24 页 解得 ； 当 应 B 时， = ，即 = ， 解得 所以 长为 2 或 【考点】相似三角形的性质 【解析】【分析】由于 似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论 【答案】解：画图 是所求三角形 【考点】三角形中位线定理，作图 相似变换 【解析】【分析】作 中位线 作 可 【答案】解：（ 1）如图所示： ， 即为所求； （ 2）如图所示： ， 即为所求； （ 3） 48 24 26 28=14 故答案为： 14 【考点】作图 图 相似变换 【解析】【分析】（ 1）直接利用关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （ 2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （ 3）利用 五、综合题 【答案】 （ 1）解：设 PF=m， PE=n，连结 图 1， 中线， 中位线， b， a， c， ，即 = ， n， m， 在 ， ， ， 在 ， ， ， + 得 5（ n2+= （ a2+ 在 ， ， n2+， 5 （ a2+ a2+ （ 2）解： 四边形 菱形， E， F 分别为线段 中点， 由（ 1）的结论得 32=45， = ， ， 同理可得 ， ， = ， 95， 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定 【解析】【分析】（ 1）设 PF=m， PE=n，连结 图 1，根据三角形中位线性质得 F= c，则可判断 用相似比得到 n， m，接着根据勾股定 理得到， ， 则 5（ n2+= （ a2+而 n2+， 所以 a2+ 2）利用（ 1）的结论得 32=45，