2017年中考数学专题训练《二次函数》含答案解析

二次函数 一、选择题 1已知函数 ，当函数值 y 随 x 的增大而减小时， x 的取值范围是（ ） A x 1 B 2 x 4 C x 1 D x 2 2抛物线 y=2（ x 5）（ x+3）与 x 轴两交点之间的距离为（ ） A 8 B 16 C 5 D 3 3一台机器原价 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两年后这台机器的价位为 y 关于 x 的函数关系式为（ ） A y=60（ 1 x） 2 B y=60（ 1 C y=60 y=60（ 1+x） 2 4若抛物线 y=x+顶点在 x 轴上，则（ ） A h=0 B h= 16 C h= 4 D h=4 5二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象如图所示，则点 P（ ， c）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6如图，函数 y=（ x 1） 2+k 与 （ k 是非零常数）在同一坐标系中大致图象有可能 是（ ） A B C D 7把抛物线 y=x2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线y=2x+1，则 b， c 的值分别是（ ） A b=2， c= 2 B b= 6， c=6 C b= 8， c=14D b= 8， c=18 8二次函数 y= 6 2m） x+m 3 的图象如图所示，则 m 的取值范围是（ ） A m 3 B m 3 C 0 m 3 D 0 m 3 二、填空题 9抛物线 y=2（ x 1）（ x+2）开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为 10抛物线 y=bx+c 的顶点坐标是（ 2， 3），且经过点（ 3， 1），则 a= ，b= ， c= 11二次函数 y=4x+3 的图象交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C， 面积为 12已知点（ m+1， 函数 y=x 的图象上，则 m= 13若抛物线 y= x+k 的最大值为 3，则 k= 14将函数 y=6x+3 向上平移 6 个单位，再向左平移 3 个单位，就得到函数 的图象 15函数 y=bx+c 的图象如图所示，且线段 等，则 a， b， c 之间的关系为 三、解答题 16如图是直角坐标中某抛物线的部分图象，请写出抛物线再次与 x 轴相交时交点的坐标；判断点（ 3， 6）是否在抛物线上，写出判断过程 17已知抛物线 y=有 A、 B 两点， A 点横坐标为 1， B 点横坐标为 2，过 C x 轴，交抛物线于 C 点，试求四边形 面积 18如图所示，二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于 C（ 0， 2），若 0， 试求：（ 1） A、 B 两点的坐标； （ 2）二次函数的表达式 19某学校要在圆形水池的中心点 O 处安装水管 ，要建音乐喷泉，其水流路径呈抛物线型（如图），且在离 O 点 1 米处水喷得最高 ，要使水流不溅到池外，水池的半径应不少于多少米？ 20已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 图），其中 ，试在 求一点 P，使矩形 最大面积 二次函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知函数 ，当函数值 y 随 x 的增大而减小时， x 的取值范围是（ ） A x 1 B 2 x 4 C x 1 D x 2 【考点】 次函数的性质 【分析】 a 0，抛物线开口向上，在对称轴左边， y 随 x 的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围 【解答】解： a= 0，抛物线开口向上，对称轴 x= =1， 当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小 故选 C 【点评】抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断 2抛物线 y=2（ x 5）（ x+3）与 x 轴两交点之间的距离为（ ） A 8 B 16 C 5 D 3 【考点】 物线与 x 轴的交点 【分析】由题意令 y=0，得方程 2（ x 5）（ x+3） =0，求出方程的两根，即为抛物线与 x 轴的交点，从而求出抛物线与 x 轴两交点之间的距离 【解答】解：令 y=0 得方程， 2（ x 5）（ x+3） =0， 解得 x=5 或 3， 抛物线 y=2（ x 5）（ x+3）与 x 轴的交点为：（ 5， 0），（ 3， 0）， 抛物线 y=2（ x 5）（ x+3）与 x 轴两交点之间的距离为： | 3 5|=8， 故选 A 【点评】此题主要考查抛物线的基本性质，解题的关键是求出抛物线与 x 轴的交点，把函数的方程结合起来出题，是一种比较好的题型 3一台机器原价 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两年后这台机器的价位为 y 关于 x 的函数关系式为（ ） A y=60（ 1 x） 2 B y=60（ 1 C y=60 y=60（ 1+x） 2 【考点】 据实际问题列二次函数关系式 【分析】原价为 60，一年后的价格是 60 （ 1 x），二年后的价格是为： 60（ 1 x） （ 1 x） =60（ 1 x） 2，则函数解析式求得 【解答】解：二年后的价格是为： 60 （ 1 x） （ 1 x） =60（ 1 x） 2， 则函数解析式是： y=60（ 1 x） 2 故选 A 【点评】本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的 4若抛物线 y=x+顶点在 x 轴上，则（ ） A h=0 B h= 16 C h= 4 D h=4 【考点】 次函数图象与系数的关系 【分析】顶点在 x 轴上，可知顶点的纵坐标为 0，即可解得 h 的值 【解答】解：根据题意，抛物线可转化为： y=x+ x+4） 2+16， 顶点坐标为（ 4， 16）， 顶点在 x 轴上， 16=0， h= 4， 故选 C 【点评】本题考查了二次函数系数与顶点关系，是基础题型 5二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象如图所示，则点 P（ ， c）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 次函数图象与系数的关系 【专题】 16 ：压轴题 【分析】根据抛物线的开口向下可得： a 0，根据抛物线的对称轴在 y 轴左边可得： a， b 同号，所以 0，根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得： c 0所以点 p（ ， c）在第一象限 【解答】解： 抛物线的开口向下， a 0， 对称轴在 y 轴左边， a， b 同号即 0， 抛物线与 y 轴的交点在正半轴， c 0， 点 p（ ， c）在第一象限 故选 A 【点评】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围 6如图，函数 y=（ x 1） 2+k 与 （ k 是非零常数）在同一坐标系中大致图象有可能是（ ） A B C D 【考点】 次函数的图象； 比例函数的图象 【分析】利用二次函数和反比例函数性质判断 【解答】解：由函数 y=（ x 1） 2+k 得对称轴为 x=1，所以 A， D 错 对于选项 B，由 y= 得 k 0，且抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，所以 B 可存在； 对于 C 选项，从反比例图象得 k 0，而从抛物线得 k 0，所以 C 错 故选 B 【点评】熟练掌握反比例函数的和二次函数的性质熟悉二次函数的顶点式 7把抛物线 y=x2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线y=2x+1，则 b， c 的值分别是（ ） A b=2， c= 2 B b= 6， c=6 C b= 8， c=14D b= 8， c=18 【考点】 次函数图象与几何变换 【分析】把抛物线 y=2x+1 化为顶点坐标式，再按照 “左加右减，上加下减 ”的规律，向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得抛物线 y=x2+bx+c 则可 【解答】解： y=2x+1=（ x 1） 2 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得y=（ x 1 2） 2 3=6x+6所以 b= 6， c=6 故选 B 【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力 8二次函数 y= 6 2m） x+m 3 的图象如图所示，则 m 的取值范围是（ ） A m 3 B m 3 C 0 m 3 D 0 m 3 【考点】 次函数图象与系数的关系 【分析 】由抛物线的开口向上知 m 0，由对称轴在 x= 0，由二次函数与 y 轴交于负半轴可以推出 m 3 0，又抛物线与 x 轴有两个交点（ 40），可以得到（ 6 2m） 2 4m（ m 3） 0，然后利用前面的结论即可确定 m 的取值范围 【解答】解： 抛物线的开口向上， m 0， 对称轴在 y 轴的左侧， x= 0， 二次函数与 y 轴交于负半轴， m 3 0， 抛物线与 x 轴 有两个交点（ 40）， （ 6 2m） 2 4m（ m 3） 0， ， 联立 解之得： 0 m 3 m 的取值范围是 0 m 3 故选 D 【点评】此题考查了二次函数图象的性质 二、填空题 9抛物线 y=2（ x 1）（ x+2）开口向 上 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为 【考点】 次函数的性质 【分析】 将抛物线的交点式转化为顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴方程 【解答】解： y=2（ x 1）（ x+2） =2x 4 =2（ x+ ） 2 a=2 0，抛物线开口向上， 顶点坐标为（ ， ），对称轴为直线 x= 【点评】本题考查了抛物线解析式三种形式的变形方法，其中，顶点式可直接判断抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，函数的增减性 10抛物线 y=bx+c 的顶点坐标是（ 2， 3），且经过点（ 3， 1），则 a= 2 ，b= 8 ， c= 5 【考点】 定系数法求二次函数解析式 【分析】已知抛物线的顶点坐标，设顶点式 y=a（ x 2） 2+3，将点（ 3， 1）代入求 a，将顶点式化为一般式，可确定 a、 b、 c 的值 【解答】解：顶点式 y=a（ x 2） 2+3，将点（ 3， 1）代入得， a（ 3 2） 2+3=1，解得 a= 2， y= 2（ x 2） 2+3，即 y= 2x 5， a= 2， b=8， c= 5 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式的一般方法，需要根据题目条件，合理地选择解析式 11二次函数 y=4x+3 的图象交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C， 面积为 3 【考点】 次函数综合题； 次函数图象上点的坐标特征 【分析】由二次函数 y=4x+3 求出 A、 B 两点的 x 轴坐标，再求出 C 点的 y 轴坐标，根据面积公式就解决了 【解答】解：由表达式 y=4x+3=（ x 1） （ x 3）， 则与 x 轴坐标为： A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， 令 x=0，得 y=3，即 C（ 0， 3） 面积为： 【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了 12已知点（ m+1， 函数 y=x 的图象上，则 m= 【考点】 次函数图象上点的坐标特征 【分析】将点（ m+1， 入函数 y=x 中，解方程求 m 【解答】解：依题意，得（ m+1） 2+2（ m+1） = 解得 m= 【点评】本题考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，函数图象上的点的坐标满足函数解析式 13若抛物线 y= x+k 的最大值为 3，则 k= 1 【考点】 次函数的最值 【专题】 16 ：压轴题 【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接解答 【解答】解： 抛物线 y= x+k 的最大值为 3， =3， k= 1 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法 14将函数 y=6x+3 向上平移 6 个单位，再向左平移 3 个单位，就得到函数 y=图象 【考点】 次函数图象与几何变换 【分析】由于抛物线向上平移 6 个单位，再向左平移 3 个单位，则 x=x 3， y=y+6，代入原抛物线方程即可得平移后的方程 【解答】解：由题意得： ， 代入原抛物线方程得： y 6=（ x+3） 2 6（ x+3） +3， 整理得： y= 【点评】本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系 15函数 y=bx+c 的图象如图所示，且线段 等，则 a， b， c 之间的关系为 b+1=0 【考点】 次函数图象与系数的关系 【分析】点 N 坐标为（ 0， c），由线段 等，以及点 M、 N 的位置可知点 M 坐标为（ c， 0），将点 M 坐标代入抛物线解析式即可 【解答】解： 线段 等，点 N 坐标为（ 0， c）， 点 M 坐标为（ c， 0）， 将点 M 坐标代入抛物线解析式， a（ c） 2+b（ c） +c=0， c 0，解得： b+1=0 【点评】本题考查了抛物线上点的坐标的关系，点的坐标与函数解析式的关系 三、解答题 16（ 9 分）如图是直角坐标中某抛物线的部分图象，请写出抛物线再次与 x 轴相交时交点的坐标；判断点（ 3， 6）是否在抛物线上，写出判断过程 【考点】 物线与 x 轴的交点 【分析】由图象可知：抛物线的对称轴是直线 x=1，根据对称性可知抛物线与 x= 3 代入抛物线求出 y 值正好是 6，可判断它就在抛物线上 【解答】解：由图象可知：抛物线与 x 轴的一个交点是（ 3， 0），对称轴是直线x=1，根据抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（ 1， 0）； 由顶点式可设抛物线为： y=a（ x 1） 2 2 把点（ 3， 0）代入可求出 a= 抛物线为 ， 当 x= 3 时， y= （ 6） （ 2） =6 点（ 3， 6）在抛物线上 【点评】数形结合，根据二次函数的性质作出正确的判断 17（ 10 分）（ 2012 秋 宁德校级月考）已知抛物线 y=有 A、 B 两点， A 点横坐标为 1， B 点横坐标为 2，过 A 作 x 轴，交抛物线于 C 点，试求四边形 面积 【考点】 次函数综合题 【专题】 15 ：综合题 【分析】由图可知四边形 面积为三角形 三角形 面积和，由题中的条件很容易便求的 A、 B、 C 的坐标，三角形 面积为是以 底，A 到 x 轴的纵坐标为高的乘积求得，三角形 面积为以 底 B 到 距离为高求得 【解答】解： A、 B、 C 均在抛物线 y=， A 点的横坐标为 1， B 的横坐标为 2， x 轴， C 点的横坐标为 1， 为 2， B 点的纵坐标为 4， A、 C 点的总坐标为 1， B 到 距离为 3， 面积为： | 1=1， 面积为： 3 |3， 所以四边形 面积为 面积 + 面积 =1+3=4 【点评】本题考查的是二次函数在几何题中的应用，数形结合，很容易便可解题 18（ 2015 秋 当涂县校级期中）如图所示，二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C（ 0， 2），若 0， 试求：（ 1） A、 B 两点的坐标 ； （ 2）二次函数的表达式 【考点】 定系数法求二次函数解析式 【分析】（ 1）根据题意可知， ， ，由勾股定理可求 由 用相似比求 确定 A、 B 两点坐标； （ 2）根据 A、 B 两点坐标，设抛物线解析式的交点式，将 C（ 0， 2）代入求 a 即可 【解答】解：（ 1）在 ， ， ， 由勾股定理得 =1， 由 = ， 即 = ，解得 ， A（ 4， 0）， B（ 1， 0）； （ 2） 抛物线与 x 轴交于 A（ 4， 0）， B（ 1， 0）两点， 设抛物线解析式 y=a（ x+4）（ x 1）， 将 C（ 0， 2）代入解得 a= ， y= （ x+4）（ x 1），即 y= x+2 【点评】本题考查了点的坐标的求法根据抛物线上点的坐标的特点，合理地选择抛物线解析式，能使求解更简便 19某学校要在圆形水池的中心点 O 处安装水管 ，要建音乐喷泉，其水流路径呈抛物线型（如图）， 且在离 O 点 1 米处水喷得