11_6435712_毕业论文-单级倒立摆的PID控制

本科生毕业设计 单级倒立摆的 制 学 院、系： 电气与信息工程 学院 专 业： 自动化 学 生 姓 名： 班 级： 学号 : 指导教师姓名： 职称 : 最终评定成绩 本科 生 毕业设计 单级倒立摆的 制 院 （系）：电气与信息工程 学院 专 业： 自动化 学 号： 学生姓 名： 指导教 师： 教授 I 毕业设计课题任务书 院 (系 )：电气与信息工程学院 专业：自动化 指导教师 学生姓名 课题名称 单级倒立摆的 制 内 容 及 任 务 通过分 析单级倒立摆的物理过程与力学系统，建立相应的数学模型，熟悉制器的控制原理，在此基础上设计 制算法，构成相应的控制器。学会使用 的 数学模型的仿真，在该软件中进行仿真，得到能稳定控制倒立摆的 制器。 主要内容为： 单级倒立摆的数学建模 单级倒立摆的 制策略 仿真程序及分析 达 到 的 要 求 或 技 术 指 标 要求 对单级倒立摆进行精确的数学建模 分析单级倒立摆的 制策略，选择适当的控制算法 学习使用仿真工具 对单级倒立摆进行 真分析 得到对倒立摆稳定控制的 制器 设计技术指标 设计 制器，具有较强的抗干扰能力和鲁棒性，使得当在小车上施加1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： 稳定时间小于 5 秒 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于 度 进 度 安 排 起止日期 工作内容 业实习，收集资料、熟悉毕业论文课题 定论文研究思路 学建模，进行可控性分析 悉 悉 的 真工具 行倒立摆 行控制仿真分析，在仿真的结果上得出控制方案 写毕业论文，进行论文总结、准备答辩，毕业论文答 辩 要 参 考 资 料 李少远，王景成智能控制 机械工业出版社， 2005 赖寿宏微型计算机控制技术 机械工业出版社， 2000 陈晓平，李长杰 其在电路与控制理论中的应用 中国科学技术大学出版社， 2004 刘豹现代控制理 论 机械工业出版社， 2000 黄坚自动控制原理及其应用 高等教育出版社， 2004 倒立摆与自动控制原理实验 刘金琨先进 制 真 电子工业出版社， 2004 教研室 意见 签名： 年 月 日 院 (系 )主管领导意见 签名： 年 月 日 学 本科毕业设计开题报告 学 院、系： 电气与信息工程学院 专 业： 自动化 学 生 姓 名： 班 级： 自本 学号 指导教师姓名： 职称 教授 V 题目：单级倒立摆的 制 阅文献资料，撰写 1500 2000 字左右的文献综述。 倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、绝对 不稳定系统。早在 20世纪 50年代，麻省理工学院 (控制论专家就根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验设备 , 此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途 , 如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题等，均涉及到“倒立摆问题”。事实上，人们一直在试图寻找不同的控制方法来实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。 倒立摆 的稳定控制，在控制方法上会涉及到控制中的许多关键问题，比如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题以及鲁棒性问题等。同时，倒立摆作为一个简单的实验装置，成本低廉，结构简单，在实验室条件下易于实现。对于倒立摆系统的稳定控制，可以充分验证新的控制方法的有效性及可靠性，为新型控制理论的研究提供了一个不可多得的载体。对于倒立摆的稳定控制，其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业工程上也有很广泛的用途，比如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到类似倒立摆这样的重心在上， 支点在下的倒置问题。 在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行以及机器人的控制等现代高科技技术的研究具有重要的实践意义。目前对倒立摆系统的研究己经引起国内外学 者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一 倒立摆系统稳定控制研究有重要的理论和实际意义，因此，倒立摆成为了控制理论中历久不衰的研究课题。 早在上世纪 60 年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，讨论了多级倒立摆的稳定控制，提出了 稳定控制。在 60 年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而 不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。 从上世 纪 70 年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。但是由于状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。 这种状况从上世纪 80年代后期开始有了很大的变化。随着模糊控制理论的发展，以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的适应能力。在这一阶段，利用模糊理论用于控制单 级倒立摆取得了很大的成功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制单级倒立摆，很好地解决了这个问题。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍利用变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳定控制。 神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪 90年代开始有了快速的发展。早在 1963年， 开始将神经网络用于倒立摆小车的控制。神经网络控制倒立摆是以 自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出了巨大的潜力。 另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。利用云模型实现智能控制倒立摆，利用云模型的方法，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题。 倒立摆的研究现在主要在各种的复合控制和智能控制方面进行研究。 要研究内容、研究思路及方案。 选题依据 如何对倒立摆系统进行控制，这 20 多年 来，现代控制理论的发展为这个问题提供了丰富的解决方法。鲁棒控制、自适应控制、模糊控制、智能控制等方法，就是解决倒立摆控制的先进控制手段。但是，这些先进的控制系统设计往往建立在比较抽象且繁琐的数学基础上，使得实际工程中掌握和运用这些方法就远不如 制那样简单。纵观自动控制领域的现状，仍然是理论成果丰硕，但在实际现场中运行的控制系统仍然有超过 90%的是 制器。在实际控制领域，有许多研究者认为“ 制器往往并不比先进控制器差”。 目前，已经看到了多种先进的控制算法如最优控制、自适应控制、智能控制、自抗扰控制在倒立摆系统上成功应用的报道 ,但是很难看到采用常规 制成功地控制倒立摆系统的报道。而且还听到“用常规 能成功地控制倒立摆”的说法。那么，究竟是否可以确认“常规 能成功地控制倒立摆”的结论成立呢？ 主要研究内容 单级倒立摆的数学建模 单级倒立摆的 制策略 仿真程序及分析 研究思路及方案 对倒立摆模型进行认识，查阅资料了解倒立摆的发展研究现状 对倒立摆进行数学建模 对 制及仿真工具 的 行熟悉和掌握应用 对倒立摆模型进行 制分析 对倒立摆进行仿真分析 选择对倒立摆 制的单回路方案和双回路方案进行具体的仿真分析。 主要参考资料 刘豹现代控制理论 机械工业出版社， 2000 黄坚自动控制原理及其应用 高等教育出版社， 2004 倒立摆与自动控制原理实验 刘金琨先进 制 真 电子工业出版社， 2004 陈桂明应用 模与仿真 科学出版社， 2001 第 1， 2， 3， 4周，毕业实习，收集资料、熟悉毕业论文课题； 第 5周，制定论文研究思路； 第 6周，数 学建模，进行可控性分析； 第 7周，熟悉 制器，熟悉 的 真工具； 第 8， 9周，进行倒立摆 第 10， 11， 12周，进行控制仿真分析，在仿真的结果上得出控制方案； 第 13， 14， 15周，编写毕业论文，进行论文总结、准备答辩，毕业论文答辩。 指导教师： 年 月 日 要 倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，一直是控制 理论中的研究热点。 本文采用牛顿 精确模型在工作点附近进行线性化与降阶处理，利用固高公司的单级倒立摆参数，计算出其传递函数。简单介绍了 制器的工作原理和 真工具的特点。在数学模型的基础上进行了 制的理论分析。利用 的 真工具对单级倒立摆的单回路及双回路 制进行仿真分析，在仿真中整定出合理的制参数， 单回路 制方案能满足对摆 杆角度的控制，而对小车位置没进行控制，得出系统最终不能达到稳定的结 论；而以摆角为内环，小车位移为外环的双回路的 制 能稳定地控制摆 杆的角度和小车的位移，单级倒立摆系统能达到稳定的控制。 关键词： 倒立摆， 建模， 制 ， 仿真， X is a of of a in on to of s of ID s of on of ID on on of s ID ID in ID of to of of to of of to be to of as of as of ID of of to ID 录 第 1 章 绪论 . 1 倒立摆系统介绍 . 1 倒立摆的分类 . 1 单级倒立摆系统组成 . 3 倒立摆研究的意义 . 5 倒立摆研究现状 . 6 选题依据及意义 . 7 第 2 章 单级倒立摆系统的建模 . 9 单级倒立摆的数学模型 . 9 单级倒立摆的物理模型 . 13 单级倒立摆系统物理参数 . 13 单级倒立摆实际系统模型 . 14 第 3 章 制器 简介 . 15 常规 制器 简介 . 15 常规 制器概述 . 15 常规 制器的整定方法 . 18 第 4 章 介 . 21 仿真工具 的 述 . 21 仿真程序 . 22 仿真中的特点 . 23 第 5 章 单级倒立摆的 制及仿真 . 25 单级倒立摆的可控性分析 . 25 单级倒立摆的 制理论分析 . 27 单级倒立摆的 制分析 . 27 单级倒立摆的 制方法讨论 . 30 单级倒立摆的 制仿真分析 . 31 单回路 制仿真 . 31 双回路 制仿真 . 35 结论 . 38 致谢 . 39 参考文献 . 40 1 第 1 章 绪论 倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。早在 20世纪 50年代 ，麻省理工学院 (控制论专家就根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验设备 ， 此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途 ， 如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题等 ， 均涉及到“倒立摆问题”。事实上 ， 人们一直在试图寻找不同的控制方法来实现对倒立摆的控制 ， 以便检查或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。 立摆系统 简介 立摆的分类 倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多6。 A按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆： 直线倒立摆系列 直线倒立摆是在直线运 动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。如图 2 图 线倒立摆系列 环形倒立摆系列 环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式 的倒立摆。如图 图 形倒立摆系列 平面倒立摆系列 平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是 动平台，另一类是两自由度 体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。如图 3 图 面倒立摆系列 复合倒立摆系列 复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是前面所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转 90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆 。 B按倒立摆的级数来分： 有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。 级倒立摆系统组成 固高公司直线单级倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通 6。系统组成框图如图 4 图 统组成框图 各硬件结构如下： 倒立摆本体 小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。 电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。如图 图 立摆本体 电气控制箱 电控箱主要有：交流伺服驱动器、 I/O 接口板、开关电源、开关、指示灯等电气元件。 计算机 计算机可以是我们使用的普通的计算机，其应该具有 驱等。 5 其它部件 倒立摆使用的电机是由日本松下公司提供的小型小惯量电机（ 200W）。电机配有专门的驱动器。 倒立摆系统使用的是光电编码器。其工作原理是： 利用一块特制的光栅板作为位移检测元件，光栅板上方格之间的距离为 右 。 编码器 内部有一个发光元件和两个聚焦透镜，发射光经过透镜聚焦后从底部的小孔向下射出，照在 编码器 下面的光栅板上，再反射回 编码器 器内。当在光栅板上 转动编码器 时，由于光栅板上明暗相间的条纹反射光有强弱变化， 编码器 内部将强弱变化的反射光变成电脉冲，对电脉冲进行计数即可测出 移动 的距离。 立摆研究的意义 如前文所述，倒立摆系统是一个具有非线性、时变、多变量祸合性质的绝对不稳定系统。对于倒立摆系统的稳定控制，不仅具有重要的理论意义，而且还具有很重要的工程实践意义。 首先对于倒立摆的稳定控制，在控制方法上会 涉及到控制中的许多关键问题，比如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题以及鲁棒性问题等。同时，倒立摆作为一个简单的实验装置，成本低廉，结构简单，在实验室条件下易于实现。对于倒立摆系统的稳定控制，可以充分验证新的控制方法的有效性及可靠性，为新型控制理论的研究提供了一个不可多得的载体。 其次，对于倒立摆的稳定控制，其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业工程上也有很广泛的用途，比如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到类似倒立摆这样的重心在上，支点在下的倒置问题 。 正是由于对倒立摆系统稳定控制研究有重要的理论和实际意义，因此，倒立摆成为了控制理论中历久不衰的研究课题。 倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人 的行走有很大相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行以及机器人的控制等现代高科技技术的研究具有重要的实践意义。目前对 6 倒立摆系统的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。 立摆研究现状 由于对倒立摆系统的稳定控制有着重要的理论意义和实际意义，国内外的学者对此给予了广泛的关注和研究。 早在上世纪 60年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，讨论了多级倒立摆的稳定控制，提出了 稳定控制。在 60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，控制理论界提出了倒立摆 的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。 从上世纪 70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。但是由于状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。 这种状况从上世纪 80 年代后期开始有了很大的变化。随着模糊控制理论的发展，以及将模糊控制理论应用于倒 立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的适应能力。在这一阶段，利用模糊理论用于控制单级倒立摆取得了很大的成功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制单级倒立摆，很好地解决了这个问题。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍利用变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳 定控制 10。 神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪 90 年代开始有了快速的发展。早在 1963年， 开始将神经网络用于倒立摆小车的控制。神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出了巨大的潜力。 另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。利用云模型实现智能控制倒立摆，利用云模型的方法，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题。总 之，对于倒立摆控制方法可以总结如下 1245: 制：通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使 7 用状态空间理论推导出非线性模型，在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，就可以设计出 制器来实现其控制。 状态反馈控制：其主要是通过极点配置将系统的极点分布到 S 左半平面而使系统达到稳定，其中也可以使用状态观测器，或状态反馈和 波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。 云模型控制：利用云模型构成语言值，再用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制 。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。 神经网络控制：神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或者定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可以将 R 学习算法和 经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。 自适应控制：采用设计出自适应控制器的方法对倒立摆 进行控制。 模糊控制：首先确定基本语言值，接着确定语言值的隶属函数，在隶属函数建立后，就可以建立模糊控制规则，它主要是依据人的传统控制经验和直觉推理来建立的，主要采用了“ 则以及连接词 。完成了上述步骤后，就基本上建立了倒立摆系统的模糊控制器，给定输入后，经过模糊控制规则的作用后，就产生了输出，当然必须对输出进行解模糊化，才能得到我们所需要的能够直接作用于被控对象的信号。 题依据及意义 如何对倒立摆系统进行控制，这 20多年来，现代控制理论的发展为这个问题提 供了丰富的解决方法。鲁棒控制、自适应控制、模糊控制、智能控制等方法，就是解决倒立摆控制的先进控制手段。但是，这些先进的控制系统设计往往建立在比较抽象且繁琐的数学基础上，使得实际工程中掌握和运用这些方法就远不如 制那样简单。纵观自动控制领域的现状，仍然是理论成果丰硕，但在实际现场中运行的控制系统仍然有超过 90%的是 制器。在实际控制领域 ， 有许多研究者认为 “ 制器往往并不比先进控制器差”。 目前 , 已经看到了多种先进的控制算法如最优控制、自适应控制、智能控制、自抗扰控制在倒立摆系统上成功应用的 报道 ,但是很难看到采用常规 制成功地控制倒立摆系统的报道。而且还听到“ 用常规 能成功地控制倒立摆 ” 的说法。那 8 么 ， 究竟是否可以确认“常规 能成功地控制倒立摆”的结论成立呢 ？ 本文 将研究常规 制倒立摆的方法 。 9 第 2 章 单级倒立摆系统的建模 级倒立摆的数学模型 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型单级倒立摆系统的数学模型。 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统， 如图 图 级倒立摆模型 我们不妨做以下假设： M 小车质量 10 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 系统中小车和摆杆的受力分析如图 示。其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方 向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图 车与摆杆的受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （ 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )s 2 （ 即： s o s 2 （ 把这个等式代入式 (，就得到系统的第一个运动方程： s o s)( 2 （ 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以 11 得到下面方程： )c o s(22 （ c o ss （ 力矩平衡方程如下： c o ss （ 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s in,c o sc o s, 故等式前面有负号。合并这两个方程，约 P 和 N，得到第二个运动方 程： c o ss 2 g （ 设 ( 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 ）， 假设 与 1（ 单位是弧度）相比很小 ， 1，则可以进行近似处理 ： 2c o s 1 , s i n , ( ) 0 。 用来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下： g 2 （ 对式（ 行拉 普拉斯变换，得到 )()()()()()()(22222（ 注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )()()(22 （ 或 m 222)()()( （ 如果令 x ，则有 m g s22 )()()( （ 12 把上 式代入方程组的第二个方程，得到： )()()()()()( 222222 （ 整理后得到传递函数： mg 23242)()()()( （ 其中 )()( 22 设系统状态空间方程为： （ 方程组对 ,x 解代数方程，得到解如下： uM m m g m b m m m )()()()()()()()(（ 整理后得到系统 状态空间方程： uM m m m g lM m l bM m m 2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(000100001000001 （ 由（ 第一个方程为： 13 )( 2 （ 对于质量均匀分布的摆杆有： 231（ 于是可以得到： g )31( 22（ 化简得到： 4343 （ 设 , 则有： 43010043001000000000100001000001 （ 级倒立摆的物理模型 级倒立摆系统物理参数 固高公司实际系统的模型参数如下 6： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 m/l 摆杆转动轴心到质心 的长度 摆杆惯量 m*m 14 级倒立摆实际系统模型 把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数： 2 6 7 0 0 2 1 2 7 2 )(22 （ 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 3 0 9 4 6 8 3 1 6 5 6 5 )( 23 s（ 小车位移和小车所受力的传