七年级数学思维探究（22）角（含答案）

毕达哥拉斯（约公元前 580 前 500），古希腊数学家 他既是哲学家、数学家、又是天文学家，创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派 他提出了“万物皆数”的著名论断，被誉为西方理性数学的创始人 毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的一大贡献，他还首创地圆说，认为日、月、星都是球体，悬浮在太空之中 22 角 解读课标 角也是一种最基本的几何图形，它在现实生活中随处可见 张开的剪刀、纵横交错的公路、钟面上的时针和分针等都给我们以角的形象 角既可以看作有公共端点的两条射线组成的图形，又可看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形 与角相关的知识有： 1 角平分线的概念； 2 角的分类； 3 互余、互补等数量关系角 类似于解与线段相关的问题，解与角相关的问题时，往往用到相关概念、分类与讨论、代数式 的思想等知识方法 问题解决 例 1 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到 70 ，则 _ 试一试 折痕 旁的部分能互相重合，即 平分线，这是解本例的关键 例 2 如图， A 、 O 、 B 在一条直线上， ，若 12 ，则图中互余的角共有 （ ） A 5 对 B 4 对 C 3 对 D 2 对 试一试 从互余的概念 入 手，应注意等量代换，避免漏掉互余的角 例 3 如图，已知 2 ， 分 ，且 19 ，求 的度数 试一试 设 x，建立方程，用代数方法计算 例 4 将一副三角板的两三角板如图放置， 分 ， 分 （ 1） 将 45 三角板绕 O 点旋转（ 30 角的三角板不动），求 的大小 （ 2） 若将 30 角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变， （ 1） 中的结论是否变化？（直接写出结论，不必说明理由） 试一试 三角板绕 O 点旋转过程中，有下列情形： B 重合， 内部， 包含在内部，故分类讨论是解本例的关键 21B C 例 5 已知： O 是直线 的一点， 是直角， 分 （ 1） 如图，若 30 ，求 的度数； （ 2） 在图中，若 ，直接写出 的度数（用含 的代数式表示）； （ 3） 将图中的 绕顶点 O 顺时针旋转至图的位置 探究 与 的度数之间的关系 ； 在 的内部有一条射线 满足 42A O C A O F B O E A O F ，试确定 与 度数之间的关系，并说明理由 分析与解 对于 （ 3） ，为方便设 x， y，将条件等式变形为只含 x ， y 的等式 （ 1） 15 （ 2）2（ 3） 12D O E 左边 2 4 2 4D O E A O F x y ，右边 2 2 9 0 1 8 0 2B O E A O F x y x y ， 即 2 4 1 8 0 2x y x y ，得 4 5 180 ， 4 5 1 8 0D O E A O F 钟表上的角度 例 6 在 0 时到 12时之间，钟面上的时针与分针 在 什么时候成 60 的角？试尽可能多地找出答案，又秒针 与 时针共有几次成 60 的角？ 分析与解 直觉作答或近似估计，可得到一些答案，而通过方程可使我们找到问题全部的解 而列方程解答，又有几种不同的解题策略： （ 1） 分别对两个整点之间的答案列出方程求解； （ 2）在上述 某础上寻找规律求出全部解； （ 3） 将问题看成圆周追及问题 设分针的速度为每分钟 1个单位长度，则时针的速度为 112，将时针、分针看成两个不同速 度 的人在环形跑道上同时 （ 从 0 时开始 ） 开始同向而行，要求使两者相距 10个单位长度所用的时间 设从 0 时开始，过 x 分钟后分针与时针成 60 的角，此时分针比时针多走了 n 圈 0 , 1 , 2 , 3 , , 1 1n L，30 45 0 1 012 ， 或 6 0 5 012 ， 解得 12 6 0 1 011或 12 6 0 5 011 分别令以 0n ， 1， 2 ， 3 ， 11，即得本题的所有 22 个解（精确到秒）： 0:54:33 ， 2:00:00 ， 3:05:27 ， 4:10:55 ， 5:16:22 ， 6:21:49 ， 7:27:16 ， 8:32:44 ， 9:38:11 ， 10:43:38 ，11:49:05 ； 1:16:22 ， 2:21:49 ， 3:27:16 ， 4:32:44 ， 5:38:11 ， 6:43:38 ， 7:49:05 ， 8:54:33 ， 10:00:00 ，11:05:27 ， 0:10:55 在 12小时内，秒针相对于时针走了 60 12 1 719 圈，所以秒针与时针共有 719 2 1438 次成 60 的角 数学冲浪 知识技能广场 1 一个角的余角比它的补角的 13还少 20 ，则这个角是 _ 2 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上 （ 1） 若 145 ，则 _ （ 2） 若 ，则 _ 3 如图， 是钝角， 三条射线， 若 A ， 分 ， 分 ，那么 的度数是 _ 4 如图， O 是直线 一点， 120 ， 90 ， 分 ，则图中彼此互补的角有 _对 5 在时刻 8:30 ，时钟上的时针与分针之间的夹角为 （ ） A 85 B 75 C 70 D 60 6 如图所示的 44 的方格表中，设 ， ， ，则 （ ） A B C D 如图， A 、 O 、 B 在一条直线上， 1 是锐角，则 1 的余角是 （ ） A 1 212 B 132122 C 1 212 D 1 213 8 如图，把一个长方形纸片沿 叠后，点 D 、 C 分别落在 D 、 C 的位置 若 65 ，则 于 （ ） A 70 B 65 C 50 D 25 9 如图，已知 内三条射线 （ 1） 图中共有多少个角？ （ 2） 若 四等分线，且图中所有锐角的和为 400 ，求 的度数 ； （ 3） 若 89 ， 30 ，求图中所有锐角的和 10 如图，两个形状、大小完全相同的含有 30 、 60 的三角板如图放置， 直线 合，且三角板 三角板 可以绕点 P 逆时针旋转 1 2DCP 1） 试说明： 90 ； （ 2） 如图，若三角板 的边 N 处开始绕点 P 逆时针旋转一定角度， 分 ， ，求 ； （ 3） 如图，若三角板 边 N 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 3/s ，同时三角板 M 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 2/s ，在两个三角形旋转过程中（ 到与 合时，两三角板都停止转动），问 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由 思维方法天地 11 以 的顶 点 O 为端点引射线 使 : 5 : 4A O C B O C ，若 15 ，则 的度数是 _ 12 在上午 10时 30 分到 11时 30 分之间，时针和分针成直角的时刻是 _ 13 如图，在 33 的网格中标出了 1 和 2 ，则 12 _ 14 如 图， 45 ， 90 ，那么不大于 90 的角有 _个，它们的度 数 之和是 _ 15 如图，在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线 那么这两条对角线的夹角等于 （ ） A 60 B 75 C 90 D 135 16 如图，直线 交于点 O ， B 于点 O ， 分 ， 1 15 31 ，则下列结论中不正确的是 （ ） A 2 45 B 13 C 与 1 互为补角 D 1 的余角等于 7531 17 如图是一个 33 的正方形，则图中 1 2 3 9 ） A 270 B 315 C 360 D 405 218 如图， 的任意两条射线， 分 ， 分 ，若 ，则表示 的式子是 （ ） A 2 B C D 以上都不正确 19 如图，在直线 取一点 O ，在 侧引射线 使 和 互余，射线 别平分 和 ，试探究 与 的关系，并说明理由 20 如 图，点 O 为直线 一点 过 O 点作射线 使 120 ，将一直 角 三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 射线 ，另一边 直线 下方 （ 1） 将图中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转至图，使一边 的内部，且恰好平分 问：直线 否平分 ?请说明理由； （ 2） 将图中的三角板绕点 O 按每秒 6 的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线 好平分 ，求 t 的值； （ 3） 将图中的三角板绕点 O 按顺时针方向旋转至图的位置，使 的内部 请探究：与 之间数量关系，并说明理由 应用探究乐园 21 （ 1） 时钟在 2 点 15分时，时针和分针的夹角是多少度？ （ 2） 晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是 6 点多，时针与分针成 90 角，散完步后回家，小明又看了一下钟，还不到 7 点，而时针与分针又恰好成 90 角，问小明外出多少分钟？ 22 已知 150 ， 内的一条射线，射线 分 ，射线 分 9876543211） 若 （ 如图 ） ，求 的度数； （ 2） 设 50A O D ，求 C O E 的值 问题解决 例 1 1 1 1 1 8 0 1 8 0 7 0 5 52 2 2B O G B O B A O B 例 2 B 90A O C B O C ， 12 ， 例 3 2x， 3x， 32x，由 A O D A O C C O D ，得 3 192 ，解得38x，故 3 3 8 1 1 4A O B 例 4 （ 1）在旋转的过程中， 12M O N A O D 这一关系不变，从而 （ 2）略 数学冲浪 1 75 2 （ 1） 35 ；（ 2） 54 3 1 452D O E A O C 4 6 5 B 6 B 7 C 8 C 9 （ 1）有 10个角；（ 2） 80 ；（ 3） 416 10 （ 1）略 （ 2） 30 ，设 C PE x ， y （ 3）设运动时间为 t 秒，则 2t， 1 8 0 2t ， 3 0 2t ， 3t，1 8 0 9 0C P D D P M C P A A P N t 9 0 11 8 0 2 2C P D N t ，为定值 11 若射线在 的内部，则 8 20 ；若射线 的外部，则 75 12 10点 23811分或 11点 101011分 设 10点 30 分以后，过 x 分钟，时针与分针的夹角为 90 ，由6 0 3 5 9 0 或 6 0 3 5 9 0 得 2811x 或 104011 13 45 通过拼补计算 14 10； 450 15 A 16 D 17 D 沿 对折时，上、下图形能够重合，得 1 9 2 6 4 8 9 0 18 A 19 90C O E B O E ， 45 ， 135A O F B O D ，从而 3A O F B O D D O F 20 （ 1） 分 ； （ 2） 10t 或 40 ；（