辽宁省沈阳市2017届高三5月教学质量监测数学文科试题(三)含答案

2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测（ 三 ） 数 学 (文科 ) 第 卷 一、选择题： (本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 若集合 21| 023| 2 则 等于 （ A） 21| （ B） )2,1( （ C） 1,2 （ D） 2. 已知 i 是虚数单位，则满足 | 1 2 |z i i 的复数 z 在复平面上对应点所在的象限为 （ A） 第一象限 （ B） 第二象限 （ C） 第三象限 （ D） 第四象限 3. 已知向量 a 与 b 不共线， AB a ， R)，则 线的条件是 （ A） 0 （ B） 0 （ C） 10 （ D） 10 4. 已知函数 c ， xg ，动直线 与 )( )(图象分别交于 A 、 B 两点 ，则 |取值范围是 （ A） 0， 1 （ B） 0， 2 （ C） 0， 2 （ D） 1， 2 5. 在边长为 2 的正方形 部取一点 M ， 则满足 为锐角的概率是 （ A）4（ B）8（ C）41 （ D）81 6. 九章算术是我国 古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？ ”其意思为： “今有 底面为矩形的屋脊状的 楔 体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，无宽，高 1 丈。 现给出该楔体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈 ，则该楔体的体积为 （ A） 4 立方丈 （ B） 5 立方丈 （ C） 6 立方丈 （ D） 8 立方丈 7. 图中阴影部分的面积 S 是 高 h 的函数 (0 h H)，则该函数的大致图 象 是 （ A） （ B） （ C） （ D） 8. 已知 (5,3)A ， F 是抛物线 2 4的焦点， P 是抛物线上的 开始 输入a 0b 1i 动点，则 周长的最小值为 （ A） 9 （ B） 10 （ C） 11 （ D） 15 9. 按右图所 示的程序框图，若输入 110101a ， 则输出的 b （ A） 53 （ B） 51 （ C） 49 （ D） 47 10. 将长宽分别为 2 和 1 的长方形 对角线 起， 得到四面体 ， 则四面体 外接球的 表面 积 为 （ A） 3 （ B） 5 （ C） 10 （ D） 20 11. 已知数列 满足 7,131 设)1(nn a的前 n 项和，则2017 （ A） 3025 （ B） 3024 （ C） 2017 （ D） 9703 12. 设函数 ，若满足条件：存在 ,a b D ，使 ,的值域为 ,22，则称 缩函数” 为“倍缩函数”，则实数 t 的取值范围是 （ A） ( , 1) （ B） ( , 1 （ C） (1 , ) （ D） 1 , ) 第 卷 （非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题 ： （ 本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题 卡 中的横线上 ） 13已知 是第二象限角，且 3) ，则 值为 . 14 已知实数 , 1 32( 3) ， 则 2z x y的最小值为 . 曲线 :C )0,0(12222 ， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P 、 Q 两点 ， 若3 且 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 . 波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：,21,13,8,5,3,2,1,1 ,2 33,1 14,89,55,34 1)2()1( )2()1()( 3( * ，若此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列b，则2017b. 三、解答题 ： （本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （ 本小题满分 12 分 ） 如图， 已知 中， D 为 一点，43 24 （ I） 求 长 ； （ 若 的面积为 14 ， 求 长 18. （ 本小题满分 12 分 ） “共享单车”的出现 ， 为我们提供了一种新型的交通方式。某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度 ， 从交通拥堵不严重的 A 城市和交通拥堵严重的 B 城市分别随机调查了20 个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下： A 城市 B 城市6 8 41 3 6 4 5 32 4 5 5 6 6 4 23 3 4 6 9 7 6 8 8 6 4 33 2 1 8 9 2 8 6 5 11 3 9 7 5 5 2 （ ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值和方差（不要求计算出具 体值，得出结论即可）； （ ）若得分不低于 80 分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成下列 2 2 列联表，并据此样本分析 你是否有0095 的把握 认为 城市拥堵与认可共享单车有关 . （参考公式： 221 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2()n n n n nn n n n ） （ ） 在 A 和 B 两个城市满意度在 90 分以上的用户中任取 2 户，求来自不同城市的概 2 k 认可 合计A 城市B 城市合计率 . 19. （ 本小题满分 12 分 ） 在四棱锥 P 中 ，底面 菱形 ， ， O ， （ I）求证：平面 平面 （ 长 G ，使 G ，连结 试 在 棱 确定一点 E ，使/面 并 求此时 . 20. （ 本小题满分 12 分 ） 已知 椭 圆 :C 12222 0( e，且与 直线 :3l y x相切 . （ ）求椭圆的标准方程； （ ） 过 椭圆上 点 (2,1)A 作椭圆的 弦 ,Q ，若 ,Q 的中点分别为 ,若行于 l ，则 ,N 斜率之和是否为定值？ 21. （ 本小题满分 12 分 ） 已知 ( ) (xf x e a x a R) （ I）求 ()调 区间 ； （ 知 常数 ， 求证： 对于 (1, )x ， 都有 2( ) ( 1)f x x恒 成立 . 考生在 22、 23 两 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 2 c o s3 s i 为 参 数， 在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换1213 得到曲线 C ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （ ） 求曲线 C 的极坐标方程； （ ） 若过点 ),23( A（极坐标）且倾斜角为6的直线 l 与曲线 C 交于 , 中点为 P ，求 | | | |N的值 23.（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知正实数 ,函数 ( ) | | | |f x x a x b （ ） 若 1, 3， 解关于 x 的不等式 ( ) 1 0f x x ； （ ） 求证： (1 ) ( ) 1 6f f c a b c . 2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数学（文科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 . 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 . 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 . 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. C 2. A 4. B 6. B 7. B 8. C 9. A 11. A 12. C 简答与提示： 1. 【命题意图】 本题考查 一元 二次 方程 及 集合 的 运算 . 【试题解析】 由 0232 1x 或 2x . 故选 C. 2. 【命题意图】 本题考查复数 的模 . 【试题解析】 由 | 1 2 |z i i 得 5 . 3. 【命题意图】 本题考查 向量共线的条件 . 【试题解析】 由 AB a ， ( , )A C n a b m n R 共线 得 )( 即 10 . 4. 【命题意图】 本题主要 考查 三角函数辅助角公式 . 【试题解析】 由 |)4s |c )()(| 2,0 . 5. 【命题意图】 本题考查 几何概型 . 【试题解析】 由 为锐角得 M 位于半圆外， 81 . 6. 【命题意图】 本题主要 考查 三视图中几何体体积 . 【试题解析】 可 以通过割补法得到两个四棱锥和一个三棱柱 . 7. 【命题意图】 本题 主要考查 函数图象 问题 . 【试题解析】 当 时，对应的阴影面积为 0，排除 C 和 D，当2，对应阴影部分的面积小于整个面积的一半，且随着 h 的增大，减小的幅度不断变小 . 8. 【命题意图】 本题考查 抛物线 . 【试题解析】 6|)|(| m 故选 C. 9. 【命题意图】 本题考查 程序框图 . 【试题解析】 由题意知 0 1 2 3 4 51 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 5 3b . 故选 A. 10. 【命题意图】 本题主要考查 几何体的外接球 的相关知识 . 【试题解析】 球心 O 为 点，25. 11. 【命题意图】 本题主要考查 等差数列的性质 . 【试题解析】 1 3 1 3 2na n n , 2 1 2 3 2 2 3 2 1 2 3a n n 数列 1 前 2017 项和 3 0 2 56 0 4 91 0 0 83 . 12. 【命题意图】 本题 主要考查 函数的单调性及导数相关知识 . 【试题解析】 02 ,0( 上有两根 . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 72414. 2 15. 16. 1 简答与提示： 13. 【命题意图】 本题考查 三角函数 相关知识 . 【试题解析】53，54，7242. 14. 【命题意图】 本题考查 线性规划的 相关知识 . 【试题解析】 试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，由12( 3)，解得 2, 4 ，即点 (2, 4)A ，当目标函数经过点 A 时，取得最小值，此时最小值为m i n 2 2 ( 4 ) 2z 15. 【命题意图】 本题主要考查 点到直线距离及双曲线的几何性质 . 【试题解析】 )0,(a 到直线 0距离 22 故3 . 16. 【命题意图】 本题考查 数 列的 相关知识 . 【试题解析】 数列,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列周期为 8，因此2017 1 1. 三 、解答题 17. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题考查 正 余弦 定理 及三角形面积公式 等 . 【试题解析】 解： （ I） 3c o A ， 4, （ 1分 ） s i n s i n ( )4C B D A 4s o o ss B A 4 2 3 2 7 25 2 5 2 1 0 ， （ 4 分 ） 由正弦定理得s 即10275424 ，得 7 ; （ 6分 ） （ 1454721s i B D,得 5 （ 8分 ） 由余弦定理得116)53(5722549c o A D （ 10 分 ） 292 （ 12 分 ） 18. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题主要考查概率 统计 的相关知识 . 【试题解析】 解： （ ） A 城市评分的平均值小于 B 城市评分的平均值； （ 2分 ） A 城市评分的方差大于 B 城市评分的方差； （ 4 分 ） （ ） （ 5 分 ） 1510105(40 22 （ 7 分 ） 所以认为有 0095 的把握 认为 城市拥堵与认可共享单车 无 关 （ 8 分 ） （ ） 设事件 M “ 来自不同城市 ”,设 A 城市的 2 户记为 a ， b ， B 城市的 4 户记为 c ，d ， e ， f ，其中 从中任取 2 户 的基本事件分别为 ( , ) ( , ) ( , ) ),( ),( ( , ) ( , ) ),( ),( ( , ) ),( ),( ),( ),( ),( 共15 种 （ 10 分 ） 其中事件 M “ 来自不同城市 ”包含的基本事件为， ( , ) ( , ) ),( ),( ( , ) ( , ) ),( ),( 8 种，所以事件 M “ 来自不同城市 ”的概率是 158)( （ 12分 ） 19. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 . 【试题解析】 解： （ I） ， ， ，得 ，O 为 点， ， （ 2分 ） 底面 菱形 , ， ， 面 （ 4分 ） 平面 平面 平面 （ 6分 ） （ 接 M ，在 中，过 M 作 交 E ,连接 平面 面 /平面 （ 8认可 不认可 合计A 城市 5 15 20B 城市 10 10 20合计 15 25 40分 ） ， ， 1 （ 10分 ） ，21 1（ 12分 ） 20. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本 题考查 直线与椭圆 的 位置关系及 标准方程 . 【试题解析】 解： （ ）22e，211 222222 ea 22 2 （ 2分 ） 由12322220218123 22 0)218(34144 2 b ， （ 4分 ） 得 32b ， 62a ， 所以椭圆方程为 22163； （ 5分 ） （ ）设直线 方程 ，联立方程组13622 得 06243 22 两根为 ),( 11 ),( 22 （ 7分 ） 由题意得 )2 1,2 2( 11 )2 1,2 2( 22 由题意可知 ， 所以 1， （ 8分 ） 3421 ，3 62221 2 12 12121 22112 21 1 x )(2( )1(4)(21(2 21 2121 xx 10 分 ） 0)2)(2()1(434)21(3 622212 所以 , （ 12 分 ） 21. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题主要考 查函数与导数的知识，考查学生解决问题的综合能力 . 【试题解析】 （ ） x )( （ 1分 ） 当 0a 时，因为 0)( 所以 )( ),( 上单增， （ 2分 ） 当 0a 时，令 0)( 得 )ln( ， )( )( a 上单减，在),(a 上单增， 综上： 当 0a 时，增区间为 ),( ； 当 0a 时，减区间为 )( a ，增区间为 ),(a . （ 4 分 ） （ ） 证明： 设 12)1()()( 22 x， 22)( x ， （ 6 分 ） 设 22)( x ， 02)( 在 ),1( 上恒成立， )(在 ),1( 单调递增， （ 8 分 ） 0)1()( ， 0)( ),1( 恒成立， 即 )( ),1( 上单调