人教版九年级上《22.1二次函数的图象和性质》练习题含答案

二次函数图象与性质（ 1） 1. 二次函数的定义 ：一般地，形如 2 0y a x b x c a b c a ， ， 为 常 数 ， 且的函数叫做二次函数，其中 a 为 二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项 。 2. 当 b 0 且 c 0 时 ：二次函数变为 2 0y a x a， （ 1）当 a 0 时，其图象如下： = 2 = = 12= 1102）当 a 0 时，其图象如下： 可以看到 ：对于抛物线 2y ， a 越大，开口越小。 3. 二次函数 2 0y a x a的图象与性质 2 0y a x a 2 0y a x a 开口方向 上 下 顶点坐标 （ 0， 0） 对称轴 y 轴 性质 在 y随 y 轴的右侧， y 随 x 的增大而增大 在 y随 y 轴的右侧， y 随 x 的增大而减小 最值 函数有最小值，最小值为 0 函数有最大值，最大值为 0 例题 1 已知函数 42)2( 二次函数，且当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 。 （ 1）求 k 的值；（ 2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴 。 思路分析： 由二次函数的定义，求出 k 的值，然后 写出顶点坐标和对称轴 。 答案： （ 1）由二次函数的定义，得 2 42 ，解得1 3k ，2 2k ； 当 3k 时，原函数为 2 ， 当 0x 时， y 随 x 的增大而减小 ，故 3k 不合题意，舍去； 当 2k 时，原函数为 24当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 ，符合题意； 故 2k 。 （ 2）抛物线 240， 0），对称轴为 y 轴。 点评： 注意对 k 的值进行合理的取舍。 例题 2 （ 1）已知 A（ 1， B（ 2， C（ 2 ， 函数 y 241 上，则 。 （ 2）（潍坊）已知函数 12x 3 的图象大致如图，若 自变量 。 5思路分析： （ 1）最直接的思路是将自变量的值代入函数 表达式，求出每个点的相应的纵坐标，然后进行比较；当然也可以利用数形结合、以形助数的方法 。 （ 2）数形结合：由图象可知，当 x 2 或 ，两函数图 象 相交，从数量上来看 ， 对应着 x 2 时，抛物线在直线的上方，对应着 2 x ，抛物线在直线的下方，对应着 x ，抛物线在直线的上方，对应着 上所述，当 变量 x 的取值范围是 2 x 答案： （ 1） 2） 2 x 点评： 以形助数，数形结合，直观形象， 事半功倍。 例题 3 苹果熟了，从树 上 落下所经过的路程 y 12g 是不为 0的常数），则 y 与 t 的函数图象大致是（ ） B C D 思路分析： 结合函数关系式和自变量的取值范围进行判断： y 12g 是不为 0 的常数），所以 y 是 t 的二次函数，图象为抛物线且顶点是原点，据此排除 A 和 C 选项，由于时间 t 不可能为负数，即抛物线不可能经过第二象限，据此排除 D 选项，因此这道 题选 B。 答案： B 点评： 对于抛物线 2y ，当自变量取值范围是一切实数时，图象是整条抛物线；当函数中两个变量被赋予了实际意义或者函数自变量的取值范围有限制时，图象是抛物线的一部分。 【高频疑点】 数形结合理解函数的增减性 1. 一次函数 y kx b；当 k 0 时，直线从左往右是一直上升的，因此 y 随 x 的增大而增大；举例：函数 21，不论自变量添加怎样的取值范围， y 总是随着 x 的增大而增大 。 2. 反比例函数 当 k 0 时，在每一个象限内，从左往右双曲线是下降的，因此在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小；举例：函数 3当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小，当 x ， y 随 x 的增大而减小，但是不能说函数 3其中 y 随 x 的增大而减小 。 3. 二次函数 2y ，当 a 0 时，在对称轴的左侧，从左往右图象一直是下降的，因此在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，从左往右图象一直是上升的，因此在对称轴右侧， y随 x 的增大而增大，举例：函数 23，当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x 5 时， y 随 x 的增大而增大，当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小 。 【矫正训练】 （山东德州） 下列函数中，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大的是（ ） A. y x 1 B. y C. yy 1 思路分析： A. 函数 y x 1，当 x0 时， y 随 x 的增大而减小； B. 函数 y x0（对称轴 y 轴右侧）时， y 随 x 的增大而增大； C. 函数 y x0（第象限）时，双曲线一分支 y随 x 的增大而减小； D. 抛物线 y 1，当 x0（对称轴 y 轴右侧）时， y 随 x 的增大而减小 。 答案： B 点评： 本题考查 一次函数、反比例 函数、二次函数图象与性质 。 解答本题 ， 需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断，只要函数图 象 从左往右一直是上升的， x 的增大而增大，只要函数图 象 从左往右一直是下降的， y 就随 x 的增大而减小。 二次函数图象与性质（ 2） 一、考点突破 1. 掌握二次函数 2y a x h k 的图象和性质，并能应用于解题； 2. 理解二次函数 2y a x h k 的图象与 2y 图象之间的关 系 。 二、重难点提示 重点 ：二次函数 2y a x h k 的图象和性质 。 难点 ：（ 1）理解二次函数 2y a x h k 的图象与二次函数 2y 的图象之间的关系；（ 2）二次函数 2y a x h k 的图象和性质的应用 。 1. 二次函数 2y ax k的图象与二次函数 2y 的图象 之间的关系 ： 举例：抛物线 2 3是由抛物线 2向上平移 3 个单位长度而得到； 抛物线 2 2是由抛物线 2向下平移 2 个单位长度而得到 。 2. 二次函数 2y a x h的图象与二次函数 2y 的图象之间的关系 ： 举例：抛物线 23 是由抛物线 2向左平移 3 个单位长度而得到； 抛物线 22 是由抛物线 2向右平移 2 个单位长度而得到 。 3. 二次函数 2y a x h k 的图象与二次函数 2y 的图象之间的关系 ： 举例：抛物线 231 由抛物线 2先向左平移 3 个单位长度 ， 再向上平移 1 个单位长度而得到； 抛物线 223 是由抛物线 2先向右平移 2 个单位长度 ， 再向下平移 3 个单位长度而得到 。 4. 归纳：二次函数的图象都是抛物线，它是轴对称图形，开口向上或者向下，抛物线与其对称轴的交点叫做顶点，只要二次项系数相同，抛物线的形状就相同，所不同的是 位置。 5. 图表演示抛物线之间的位置关系： 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”。 6. y a（ x h） 2 k（ a 0） y a（ x h） 2 k（ a 0） 开口方向 上 下 顶点坐标 （ h， k） 对称轴 直线 x h 性质 当 x h 时， y 随 x 的增大而减小 ； 当 x h 时， y 随 x 的增大而增大 当 x h 时， y 随 x 的增大而增大 ； 当 x h 时， y 随 x 的增大而减小 最值 函数有最小值，最小值为 k 函数有最大值，最大值为 k 例题 1 （雅安） 将抛物线 y（ x 1） 2 3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 （ ） A. y（ x 2） 2 B. y（ x 2） 2 6 C. y 6 D. y 路分析： 抛物线 y（ x 1） 2 3 的顶点为（ 1， 3），向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后得顶点（ 0， 0），所以平移后所得抛物线的解析式为 y 故选 D。 答案： D 点评： 抛物线的平移变换是本题的考查重点，解决此类问题的关键是抓住抛物线顶点坐标的变化而无需关注整条抛物线 的变化 ， 以（ h， k）为顶点的抛物线的关系式 ， 可以假设为 y a（ x h） 2 k( 0)a 。 例题 2 对于抛物线 y 12（ x 1） 2 3，下列结论： 抛物线的开口向下； 对称轴为直线x 1； 顶点坐标为（ 1， 3）； x 1 时， y 随 x 的增大而减小； 函数的最 大 值为 3；其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 思路分析： 根据二次函数的性质对各小题 进行 分析判断 ， 即可得解 。 解： a 12 0， 抛物线的开口向下，正确 ； 对称轴为直线 x 1，故本小题错误； 顶点坐标为（ 1， 3），正确； x 1 时， y 随 x 的增大而减小， x 1 时， y 随 x 的增大而减小一定正确； 对于顶点式 2y a x h k ， a 0，当 x h 时， 有 最大值，最大值为 k， 正确 。 综上所述，正确结论的个数是 共 4 个 ， 故选 C。 答案： C 点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性 和最值 。 例题 3 （滨州） 某中学为高一新生设 计的学生单人桌的抽屉部分是长方 体 ，抽屉底面周长为180为 20通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 思路分析： 根据题意列出二次函数关系式，然后利用配方法将函数解析式化成 2y a x h k 的形式，利用二次函数的性质求最大值。 答案：解： 根据题意，得 y 20 x （1802 x）， 整理，得 y 201800x。 y 201800x 20（ 90x 2025） 40500 20（ x 45） 2 40500， 由题意得： 090 0， 解得： 0 90x ， a 20 0， 而 0 45 90， 当 x 45 时，函数 y 有最大值，最 大 值y 40500。 答：当底面的宽为 45，抽屉的体积最大，最大 值 为 40500 点评： 本题考查的是利用二次函数解决实际问题 。 难点是 从实际问题中抽象出函数关系式，得到函数关系式以后，将其化成 2y a x h k 的形式，这里有一个易错点，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时，顶点的纵坐标就是最大值或最小值。 【高频疑点】 当自变量的取值范围受限制时，求二次函数的最大值、最小值或者 因变量的 取值范围，千万不能直接将 自变量 取值范围的两个端点的值代入函数解析式进行计算，应采用数形结合的方法：画出 自变量取值范围下的 函数图象（不是整条抛物线而是抛物线的一部分），结合函数的增减性来求最值， 图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值。 【矫正训练】 已知函数 213 ； （ 1）求当 21x 时， y 的取值范围； （ 2）求当 03x时， y 的取值范围； （ 3）求当 23x时， y 的取值范围 。 分别画出函数在相应的自变量取值范围下的函数图 象 ，函数图象上的最高点对应的纵坐标是函数的 最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值。 答案： （ 1） 16y； （ 2） 31y ； （ 3） 21y 。 （答题时间： 20 分钟） 1. 下列函数关系式中，不属于二次函数的是（ ） A. 21 B. 212)34)(23( C. )0(2 D. 2)2( 2 2. 函数 y a0）的图象经过点（ a， 8），则 a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 *3. 给出下列四个函数： ； ； ； 2。 0x 时， y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 *4. 如果函数 1)3( 232 二次函数，则 k 的值一定是 _。 *5. 二次函数 y 如图，该函数的关系式是 ； 如果另一个函数的图 象 与该函数关于 x 轴对称，那么这个函数的关系式是 。 *6. 如图， A、 B 分别为抛物线 y 线段 y 轴于点 C，若 6，则 a 的值为 。 *7. 已知函数 2)( 22 （ 1） k 为何值时， y 是 关于 x 的一次函数 ？ （ 2） k 为何值时， y 是 关于 x 的二次函数 ？ *8. 如图，在抛物线 2 上取三点 A、 B、 C， 设 A、 B 的横坐标分别为 a（ a 0）、 a 1，直线 x 轴平行。 （ 1）把 面积 S 用 a 表示； （ 2）当 面积 S 15 时，求 a 的值； （ 3）当 面积 S 15 时，在 求一点 D，使 面积为 8。 1. B 解析： B 选项经过化简，二次项系数为 0，它不是二次函数 。 2. C 解析： 函数 y a0）的图象经过点（ a， 8）， 点的坐标满足函数解析式， 2 8，即 3 8a ， 2a ，故选 C。 *3. C 解析： 解答本题 ， 需要了解各函数图象的增减性特点， ，当 0x 时， y 随的增大 而减小； ，当 0x 时， y 随 x 的增大而增大； ，当 0x 时， y 随 x 的增大而减小； 2，当 0x 时， y 随 x 的增大而减小； 共有 3 个函数是当 0x 时， y 随 x 的增大而减小 的函数 ，故选 C。 *4. 0k 解析： 2 3 2 2 得1 0k ，2 3k ；当 3k 时，二次项系数为 0，舍去， 0k 。 *5. 234 234解析： 函数 y 2， 3 ， 点的坐标满足函数解析式， 43a ， 34a， 函数的关系式是 y 34 另一个函数的图 象 与该函数关于 x 轴对称， 另一个函数的图 象 开口向下，过原点，过点 23， ， 43a ， 34a， 函数的关系式是 234。 *6. 23 解析： 此抛物线关于 y 轴对称， 且线段 y 轴于点 C，若 6， 点 A 、 B 坐标分别为： 3 6 3、 ， 6， 把 A 或 B 点坐标代入函数解析式得： 96a ， 23a。 *7. 解： （ 1） k 1，（ 2） 01 解析：（ 1）当 2 0 且 0k 时，原函数为一次函数，即 k 1， （ 2） 当 2 0 时，原函数为二次函数，即 01 。 *8. 解： （ 1） S S 122 （ a 1） （ 2a 1）（ a 1）（ 2a 1）。 （ 2）当 S 15 时，（ a 1）（ 2a 1） 15，得 a 2 或 a 72， a 0，所以 a 2 适合， a 72不适合。 （ 3）当 S 15 时， a 2， 边 的高为 5， S 8，则 S 7 125145， 由 B（ 3， 9）， 所以点 D 的坐标为（ 15， 9）。 解析： （ 1）如图， y y 轴对称， x 轴。 所以 A（ a， B（ a 1，（ a 1） 2）， C（ a 1，（ a 1） 2）， 2（ a 1）。 在 ， 的高为 22| ( 1 ) | | | 2a 1， S S 122（ a 1） （ 2a 1）（ a 1）（ 2a 1）。 （ 2）当 S 15 时，解方程（ a 1）（ 2a 1） 15，得 a 2 或 a 72， a 0，所以 a 2 适合，a 72不适合。 （ 3）当 S 15 时， 上的高为 5， S 8，则 S 7， 1257， 145。由 B（ 3， 9）， 所以点 D 的坐标为（ 15， 9）。 （答题时间： 20 分钟） 1. 把抛物线 22 向左平移两个单位 长度 得到抛物线 为 （ ） A. 22 2 B. 22 2 C. 222 D. 222 2. 在平面直角坐标系中，抛物线 2 1与 x 轴的交点的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 *3. 函数 2)1( 的图象在同一坐标系的图象可能是（ ） A B C D *4. 抛物线 24x y=由抛物线 2y= 平移 个单位 长度 得到的，它的开口 ，对称轴是 ，当 x 时， y 有最 值，是 。 *5. 把抛物线 2( 4)y a x向左平移 6 个单位 长度 后得到抛物线 2xhy=图象，则 a ， h 。 *6. 二次函数 2()y a x h的图象如图所示，已知 a 12， 求该抛物线的解析式 。 *7. 如图，一位篮球运动员跳起投篮， 篮 球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为 ， 求： （ 1）球在空中运行的最大高度为多少米？ （ 2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为 ，请问他距离篮筐中心的水平距离 应是多少米？ 1. C 解析：抛物线 22 的顶点坐标为 0， 0 ，向左平移两个单位得到的抛物线的顶点坐标为 0 ，所以平移后的抛物线的解析式为 ： 22x y=故选 C。 2. B 解析：抛物线 2 1，开口向上，对称轴为 y 轴，顶点坐标为 0， 所以抛物线与 个，故选 B。 *3. B 解析：当 0a 时， 函数 2)1( 象开口向上，对称轴为直线 1x ，顶点坐标为 1， 0 ；函数 的图象经过第一、二、三象限； 当 0a 时， 函数 2)1( 象开口向下，对称轴为直线 1x ，顶点坐标为 1， 0 ；函数 的图象经过第二、三、四象限 。 综上，故选 B。 *4. 右， 4，向下，直线 x 4， 4，大， 0 解析： 抛物线 2y=点坐标为 0， 0 ，开口向下，对称轴为 y 轴，将此抛物线向右平移 4个单位长度就能得到抛物线 24x y=所以抛物线 24x y=口向下，顶点坐标 为 4， 0 ，对称轴为直线 x 4，当 x 4 时， y 有最大值，是 0。 *5. 解析：由题意： 把抛物线 24x y=a 向左平移 6 个单位 长度 后得到抛物线 2xhy=图象，可得： a=顶点坐标由 4， 0 变为 0 ， 平移后的抛物线解析式为： 22x y= h= *6. 抛物线的解析式为： 21 22 x y=解析：由题意可得： 标 为 ， 0， A 点坐标为 0， h ，又 a 12，所以得： 21 02 ，即： 21 02 ，解之得： 2h ， 0h （不合题意，舍去）， 抛物线的解析式为： 21 22 x y=。 *7. （ 1） ；（ 2） 4 米 解析：（ 1） 抛物线 21 3 的顶点坐标为（ 0， 球在空中运行的最大高度为 ； （ 2） 在 21 3 中，当 时， 213 3 x ， 2 ， ，又 x 0， 当 时， 212 3 x ， 2 ， ，又 x 0， 故运动员距离篮 筐 中心 的 水平距离为 1 米。 二次函数图象与性质（ 3） 一、考点突破 1. 掌握二次函数 2 0y a x b x c a 的图象和性质； 2. 掌握二次函数的两种形式：一般式、顶点式，会求函数解析式 。 二、重难点提示 重点： 掌握抛物线的对称轴和顶点坐标公式 。 难点： 求函数解析式。 1. 把二次函数 2 0y a x b x c a 进行配方得 2 2424b a c by a ，对照顶点式 2y a x h k ，可得 2bh a ， 24 4ac bk a ，所以抛物线 2 0y a x b x c a 的对称轴为直线2bx a，顶点坐标为 24,24b a c 。 2. 2 0y a x b x c a 2 0y a x b x c a 开口方向 上 下 顶点坐标 24,24b a c 对称轴 直线2bx a性质 当2bx a时， y随 当2bx a时， y 随 x 的增大而增大 当2bx a时， y 随 x 的增大而增大 ； 当2bx a时， y 随 x 的增大而 减小 最值 函数有最小值，最小值为 244ac 数有最大值，最大值 244ac . 抛物线 2y a x b x c 的开口方向和大小只与字母 a 的取值有关，抛物线 2y bx c 与y 轴的交点的纵坐标就是 c，当 a、 b 同号时，抛物线的对称轴在 y 轴的左侧，当 a、 b 异号时，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧。 4. 用待定系数法求函数解析式 （ 1）一般式：确定一个二次函数 2y a x b x c 的解析式 ， 需要求出 a、 b、 c 的值，通常情况下由已知条件列方程组 ， 求出 a、 b、 c 的值 ， 就可以写出二次函数的解析式； （ 2）顶点式：确定一个二次函数 2y a x h k 的解析式 ， 需要求出 a、 h、 k 的值，若已知顶点坐标，则使用顶点式较为简便。 例题 1 （山东烟台） 如图是二次函数 2 图 象 的一部分，其对称轴是 1x ，且过点（ 3， 0），下列说法： 0 02 024 若 ),25(),5( 21 抛物线上两点，则 21 ，其中正确的说法是（ ） A. B. C. D. 思路分析： 根据抛物线的开口方向 ， 来确定 a 的符号 ， 综合 a 的符号和对称轴的位置 ， 来确定 b 的符号，利用抛物线与 y 轴的交点位置 ， 来确定 c 的符号 。 开口向上， a 0； 抛物线与 y 轴交于负半轴 c 0； 1 0 b 0， 0，故此选项正确 。 利用对称轴求解： 1， 2a b 0；故此选项正确 。 根据对称轴 ， 即可求出抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 1， 0） ， 然后补齐图象 ， 根据图象特点 ， 即可求出当 x 2 时， 4a 2b c 0，故此选项错误 。 把所给两点利用二次函数的对称轴 ， 转化为对称轴同侧图象上的点，即利用对称轴可以求出（ 5， 对称点的坐标是（ 3， 0），在对称轴的 右侧图象上 y 随 x 的增大而增大，故此选项正确 。 故选 C。 答案： C 点评： 本题考查二次函数的图象及性质 。 对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与 x 轴， y 轴交点的位置，特别注意二次函数的增减性一定要以对称轴为界，利用数形结合的思想来进行分析。 例题 2 （重庆市） 如图，对称轴为直线 x 1 的抛物线 y c（ a0）与 x 轴相交于A、 B 两点，其中点 A 的坐标为（ 3， 0）。 （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）已知 a 1， C 为抛物线与 y 轴的交点。若点 P 在抛物线上，且 S 4S 点 P 的坐标； 思路分析： （ 1）由抛物线的轴对称性容易求解 。 （ 2）先求出 面积，然后以 底边，点 P 到 距离，即点 P 的横坐标的绝对值为高，表示 面积，进而求出点 P 的横坐标，再将其代入抛物线的解析式 ， 求得点 P 的纵坐标解决问题 。 答案： （ 1） 点 A（ 3， 0）与点 B 关于直线 x 1 对称， 点 B 的坐标为（ 1， 0）。 （ 2） a 1， y c。 抛物线过点（ 3， 0），且对称轴为直线 x 1， 1219 3 0 解得 b 2， c 3， y 2x 3，且点 C 的坐标（ 0， 3）。 设点 P 的坐标为（ x， y），由题意得 S 1213 32， S 6。 当 x 0 时，有 123x 6， x 4， y 42 24 3 21。 当 x 0 时，有 123（ x） 6， x 4， y（ 4） 2 2（ 4） 3 5。 点 P 的坐标为（ 4， 21）或（ 4， 5）。 点评： 本题考查轴对称，求二次函数的解析式，平面直角坐标系中的图形面积，二次函数的最值。第（ 2）问中 ， 在表示 面积时，启示我们在坐标系中 ， 求三角形的面积时，一般是将坐标轴上的边作为底边，而将该边所对的顶点的横（纵）坐标的绝对值作为高。 例题 3 （山东临沂） 如图，抛物线经过 A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， 52）三点。 （ 1）求抛物线的解析式 。 （ 2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 值最小，求点 P 的坐标 。 思路分析： 利用待定系数法求出解析式；利用轴对称求两条线段和的最小值、利 用平行四边形的性质构建方程 ， 求点 N 的坐标。 答案： 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y c， 根据题意，得02 5 5 052 a b ca b 。解得12252 。 抛物线的解析式为：215222y x x 。 （ 2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B，连接 抛物线的对称轴于点 P，则 P 点即为所求。 设直线 解析式为 y b， 由题意，得 5052 ，解得1252 ， 直线 解析式为 1522。 抛物线215222y x x 的对称轴是 x 2， 当 x 2 时， 1 5 32 2 2 ， 点 P 的坐标是（ 2， 32）。 点评： 此题考查的知识点较多，综合程度较高，有一定的难度，用待定系数法求函数解析式属于常规题，解决第二小题要使用 “ 牵牛饮水 ”， 或者 “ 将军饮马 ” 这一数学模型。 【高频疑点】 对于二次函数 y c（ a0）的图象： （ 1） 开口向上 a0；开口向下 象与 y 轴的正半轴有交点； c 0 图象过坐标原点； c0 图象与 y 轴的负半轴有交点 。 （ 3） 根据对称轴和 a 的 符号 ， 确定 b 的符号 ， 以及 a、 b 之间的数量关系 。 （ 4） 根据 x 1 时 y 的值 ， 来确定 a b c 的符号；根据 x 1 时 y 的值 ， 来确定 a b c 的符号； x 2 时 y 的值 ， 来确定 4a 2b c 的符号；根据 x 2 时 y 的值 ， 来确定 4a 2b c 的符号 。 （ 5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性 ， 把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性 ， 即可比较大小 。 【矫 正训练】 （白银）已知二次函数 y c（ a0）的图象如图所示，在下列五个结论中： 2a b 0； 0； a b c 0； a b c 0； 4a 2b c 0， 错误的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解： 由函数图象开口向下可知， a 0，由函数的对称轴 0，故 b 0， 且 12，根据 a 0 化简 12，得到 2a b 0， 正确； a 0，对称轴在 y 轴左侧， a， b 同号，图象与 y 轴交于负半轴，则 c 0， 故 0， 正确； 当 x 1 时， y a b c 0， 正确； 当 x 1 时， y a b c 0， 错误； 当 x 2 时， y 4a 2b c 0， 错误； 故错误的有 2 个 。 故选 B。 （答题时间： 20 分钟） 1. 二次函数 y 36x 5 图 象 的顶点坐标是（ ） A.（ 1， 8） B.（ 1， 8） C.（ 1， 2） D.（ 1， 4） *2. 如图，二次函数 y c（ a0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x 1，点 B 坐标为（ 1， 0） ， 则下面的四个结论： 2a b 0； 4a 2b c 0； 0； 当 y 0 时， x 1 或 x 2； 其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 *3. 抛物线 y c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函数解析式为 214 ，则 b _， c _。 *4. 已知二次函数 221y x a a （ a 为常数），当 a 取不同的值时，其图象构成一 个 “ 抛物线系 ” 。 下 图分别是当 1a ， 0a ， 1a ， 2a 时二次函数的图象 。 它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 y 。 *5. 如图，矩形 顶点 A、 B 的坐标分别为（ 4， 0）和（ 2， 0）， 23， 设直线直线 x 4 交于点 E。 （ 1）求以直线 x 4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E； （ 2）设（ 1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N， M 是该抛物线上位于 C、 N 之间的一动点，求 积的最大值。 x = 4*6. （湖北黄冈） 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 ）与国内销售数量 x（千件）的关系为： 11 5 9 0 0 25 1 3 0 2 6 若在国外销售，平均每件产品的利润 ）与国外的销售数量 t（千件）的关系为： 21 0 0 0 25 1 1 0 2 6 （ 1）用 含 x 的代数式表示 t 为： t ；当 0 x4 时， x 的函数关系为 ；当 _x 时， 100。 （ 2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内的销售数量 x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围 。 （ 3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？ 1. A 解析 ： 直接将 a、 b、 c 的值代入顶点坐标公式即可 ， 也可以使用配方法 ， 将其配成顶点式 。 *2. B 解析：由 12 bx a，得 20从而可判断 是正确的；当 2x 时，4 2 0 a b c ， 从而可判断 是正确的； 由 图象可得 a 0， c 0，从而可判断 是错误的；根据二次函数 的 对称性可得：当 y 0 时， x 1 或 x 3，从而可判断 是错误的 。 故选 B。 *3. 2； 0 解析：函数 y（ x 1） 2 4 的顶点坐标为（ 1， 4）， 是向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到， 1 2 1， 4 3 1， 平移前的抛物线的顶点坐标为（ 1， 1）， 平移前的抛 物线为 y（ x 1） 2 1， 即 y 2x， b 2， c 0。 *4. 1 12x解析：把 1a ， 0a ， 1a ， 2a 分别代入二次函数 221y x a a （ ： 2222221241 ， 顶点分别为： 22024， 0， 1；设直线的解析式是 y kx b ，代入两个点的坐标如： 0， 2， 0 即可求出 k 和 b 的值为： 112 ， 直线的解析式是y 1 12x 。 *5.（ 1）点 C 的坐标 (2,2 3) 。 设抛物线的函数关系式为 2( 4 )y a x m ， 则 1 6 04 2 3，解得 3 8 3,63 所求抛物线的函数关系式为