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寒假 总动员 年高 数学 作业 功课 专题 01 18 打包

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（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业 专题01-18（学）（打包18套）,寒假,总动员,年高,数学,作业,功课,专题,01,18,打包

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1 专题 1 常用逻辑用语 【学一学】 学一学 四种命题及其关系 （ 1）四种命题的命题结构： 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 ,分别表示 p 和 q 的否定，四种形式就是： 原命题：“若 p，则 q”；逆命题：“若 q，则 p”； 否命题：“若 p ，则 q ”；逆否命题：“若 q ，则 p ” （ 2）四种命题间的相互关系： 互为逆否的 两个命 题是等价的，具有相同的真假性，因此在直接 证明原命题 有困难时可以通过证明与它等价的逆否 命 题来证明原命题成立，四个命题中真命题只能是偶 数个，即 0 个， 2 个或 4 个 复合命题及 其真假判断 （ 1）复合命题有 （ p 且 q ）， （ p 或 q ）， p ，其分别与集合运算中的交、并、补对应 . （ 2）复合命题的真值表 充分条件与必要条件 p 是 q 的充分条件，即 p q ，相当于分别满足条件 p 和 q 的两个集合 P 与 Q 之间有包含关系： ，即 P Q 或 ，必要条件正好相反 p q 就相当于 . 以下四种说法表达的意义是相同的：命题“若 p ，则 q ”为真； p q ； p 是 q 的充分条件； q是 p 的必要条件 . 全称命题和特称命题的否定 （ 1）全称量词用符号“ ” 表示，表示所有的意思；存在量词用符号“ ”表示 ，表示存在一个的意思 . p q p 且 q p 或 q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 原 命 题 若 p 则 q 逆 命 题 若 q 则 p 逆 否 命 题 若 q 则 p 否 命 题 若 p 则 q 互逆 互逆 互 否 互 否 互 为 逆 否 互 为 逆 否 2 （ 2）全称命题 : , ( )p x M p x ，它的否定是 00: , ( )p x M p x ，全称命题的否定是特称命题；特称命题 00: , ( )p x M p x ，它的否定是 : , ( )p x M p x ，特称命题的否定是全称命题 . 学一学 抓住量词，对症下药 全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这 部分内容的重要概念，解决此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药 例 p： x R， 1 0，命题 q： x R， 1 0.若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围为 ( ) A m 2 B m 2 C m 2 或 m 2 D 2 m 2 高解题速度 在四种命题的关 系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两 个命题（原命题与 逆否命题或逆命题与否命题）一定同真同假，它们是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真 . 例 2. 已知 p： |1 x 13 | 2， q： 2x 1 0(m 0)，且 p 是 q 的必要而不充分条件，求实数 【答案】 m 9 【解析】 p 是 q 的必要而不充分条件， p 是 q 的充分而不必 要条件， 由 q： 2x 1 0，得 1 m x 1 m， q： Q x|1 m x 1 m， 补集思想的运用 对于某些问题，如果从正面求解困难，则可先考虑求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将研究对象的全体，作为全集，求出使问题反面成 立的集合 A，则 A 的补集即为所求 . 例 3已知命题 p：“ R,421 m 0”，若命题 p 是假命题，则实数 m 的取值范围是_(用区间表示 ) 【答案】 (， 1 【解析】若 p 是假命题，则 p 是真命题，即关于 x 的方程 4x 2 2x m 0 有实数解由于 m (4x 2 2x) (2x 1)2 1 1， m 1. 4分类讨论思想的运用 分类讨论是根据数学对象本质属性 的相同点和不同点，确定划 分标准，进行分类，逻辑中的分类讨论主要 3 是由逻辑结构以及相关参数引起的 例设有两个命题 p、 p：对于任意的 x R，不等式 2x 1 0 恒成立；命题 q： f(x) (4a 3)x 在 R 上为减函数如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数 a 的取值范围是 _ 综上， a 的取值范围是 )1,43( (1， ) 1 专题二 曲线方程 学一学 1曲线的方程和方程 的曲线的概念： 1在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x，y) 0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做 曲线的方程 ；这条曲线叫做 方程的曲线 2求曲线方程的一般步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对 ( , )示曲线上任意 一点 M 的坐标； 坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也比较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的复杂程度 . 建立坐标系的基本原则： 、让尽量多的点落在坐标轴上 、尽可能地利用图形的对 称性，使对称轴为坐标轴 . 建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为坐标原点；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐 标轴建系 . (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P |M p M ； (3)用 坐标 表示条件 p(M)，列出 方程 f(x， y) 0； (4)化方程 f(x， y) 0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 方程化简过程中如果破坏了 同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么 曲线，求轨迹方程则不必说明 学一学 1直接法求轨迹方程 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接建立联系，这时设动点坐标 （ x,y) ，就可根据命题中已知条件所包含的几 何特征 ，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有的关系式，进而求轨迹方程，称为直接法 例 1. 在平面直角坐标系 ，点 B 与点 A( 1,1)关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 斜率之积等于 的轨迹方程 利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知曲线上的动点，具体地说， 2 就是用 所求动点的坐标（，）来表示已知曲线上动点的坐标，并代入已知的曲线方程，即可求得所求动点的轨迹方程 例 2. 已知 两顶点 A、 B 的坐标分别为 A(0,0)、 B(6,0)，顶点 C 在曲线 y 3 上运动，求 3. 定义法求轨迹方程 如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲线的定义，则可直接利用已知曲线的方程写出动点的轨迹方程 例 3. 在 ， A 为动点， B， C 为定点， B( ,0),C(0) (a0)且满足条件 =12 A,求动点 A 的轨迹方程。 4待定系数法 已知所求曲线类型，先设出曲线的方程， 再应用已知条件求出参数的值，从而求得轨迹方程 例 4直线 足为 M，点 N A， B 为端点的曲线 C 上任一点到 距离与到 N 点的距离相等若 锐角三角形， | 17， | 3，且 | 6，建立适当的坐标系，求曲线 C 的方程 3 1 月 20 日 星期五 1 专题三 椭圆及其标 准方程 学一学 椭圆的定义： 椭圆的概念：平面内与两个定点 距离的和等于 常数 (大于 |的点的轨迹叫做 椭圆 这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 当 | | |，轨迹 是线段 12当 | |b 0 )焦点坐标为12( 0 ) ( 0 )F c F c ， ， ，焦距为 2c ；焦点在 y 轴上的椭圆的标准 方程为2222+ = 1 ( a b 0 ) （ 1） 点在 x 轴和焦点在 y 轴的椭圆 方程不同，所以求椭圆的标准方程时，首先要判断焦点位置，从而选择适合的标准方程，原则是“先定位，后定量” （ 2） 2,线的一点 P ，构成了焦点三角形 12，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理知识，对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于 1或 2的方程，求得 1或 2的 长度，有时把 21F看成一个整体，运用公式 22 22 1 2 1()P F P F P F P F 212 F及余弦定理求出 21F ，而无需单独求出，这样可减少运算量 . （ 3） 椭圆的四个主要元素 a、 b、 c、 e 中有 2a = 2b + 2c 、 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件 . 椭圆的标准方程有两种表达式，但总有 ab0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分 母，焦点在分母大的对应轴上 椭圆方程的探求 （ 1）根据椭圆的定义： 1 2 1 22P F P F a F F ； （ 2）圆按照某个方向做伸缩变换可以得到椭圆； （ 3）一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个不等于的负常数，则点的轨迹是椭圆，但是注意出去不符合题意的点 5.解答与椭圆有关的轨迹问题的 一般思路是： 1 月 20 日 星期五 2 学一学 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质，有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果 例 1已知 椭圆 C： 1(a b 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 若 ，则 b _. 2利用椭圆的定义求椭圆标准方程 用定义法求椭圆的标准方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、坐标 轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量 ,例 2在平面直角坐标系 ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 x 轴上，离心率为 22 1 的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且 周长为 16，那么 C 的方程为 _ 【答案】 1. 【解析】如 图，设椭圆方程为 1，由 e 22 知 22 ，故 周长为 | | | | | | | 4a 16，故 a 4. 8.椭圆 C 的方程为 1. 3相关点法求椭圆的标准方程 若点 P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点 P 与点 Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点 P 的运 3 动轨迹便可以得到点 Q 的运动轨迹 . 例 3如图，设 P 是圆 25 上的动点， 点 D 是 P 在 x 轴上的投影， M 为 一点，且 （ ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （ ）求过点 (3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度 1 专题四 椭圆的简单几何性质 学一学 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 22=1 22=1 范围 a x a b y b ， a y a b x b ， 顶点 , 0 (0 )， ， , 0 (0 )， ， 轴长 短轴长 长轴长 2a 焦点 ,0c (0 )c， 焦距 2c 对称性 对称轴是 坐标轴 ，对称中心是 _原点 _ 离心率 e=0e1 2. 椭圆的焦半径公式： _ 新课程里虽然没提到椭圆的第二定义，但是由 椭圆第二定义（或两点之间距离公式）推导出来的焦半径公式在处理椭圆上点到焦点距离问题时大有帮 助， 设 1F （ 0）， 2 F （ c， 0）分别为椭圆 12222 a b 0）的左、右两焦点， M（ x， y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 1 ，2 ，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 . 在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 12,一个顶点 P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形 12周长为定值等于 22，面积等于 2 12ta n 2F ，其中 b 是短半轴的长； 过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 23. 弦长公式： 将直线方程和二次曲线方程联立得： 2 0ax bx c 或 2 0ay by c ，则直线被二次曲线所截得的弦 2 长 2 1 2 1 22111A B k x x y 学一学 范围）的求法 椭圆的基本量 a,b,c 中，知道任意两个量的关系，结合 2 2 2a b c，则三个量的关系都知道，而 e=故确定椭圆的离心率值（范围），关键在根据椭圆定义、平面几何知识、数形结合等寻求关于 a,b,c 的等量关系或者不等关系 . 例 1. 椭圆： 1( a b 0)的左、右焦点分别为 距为 y 3( x c)与椭圆的一个交点 M 满足 2 该椭圆的离心率等于 _ _ 值问题 对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析问题，在动点的“变”中寻求定值的“不变性”，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图像等）先确定定值，揭开神秘面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明过程，从而找到解决问题的 突破 口 . 例 2 经过椭圆 错误 !未找到引用源。 +错误 !未找到引用源。 =1 的右焦点任意作弦 A 作直线 x=4 的垂线 足为 M,则直线 经过定点 ( ) A.(2,0) 未找到引用源。 C.(3,0) 未找到引用源。 【答案】 B 【解析】依题意 ,选取过椭圆 错误 !未找到引用源。 +错误 !未找到引用源。 =1 的右焦点 且 垂直于 x 轴的弦 A,B 的坐标分别为 错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 ,所以过点 A 作直线 x=4 的垂线 ,垂足为 M 错误 !未找到引用源。 ,所以直线 方程为 y=未找到引用源。 ,由于所给选项均为 x 轴上的点 ,而直线 x 轴的交点为 错误 !未找到引用源。 ,故选 B. 3椭圆中的最值问题 解决椭圆中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用椭圆的定义和平面几 何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将椭圆中的最值问题转换为函数问题（即根据条件列出所求的目标函数），然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调性法即基本不等式法等，求解最大值或最小值 . 例 ： m,0)作圆 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A， B 两点，将 | 示为 求 |最大值 3 1 专题五 双曲线及其标准方程 学一学 平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于常数 (小于 12的点的轨迹叫做双曲线 平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于 |的点的轨迹为以 端点的两条射线 平面内与两个定点 距离的差的绝对值大于 |的点的轨迹不存在 在双曲线定义里，注意分类讨论 思想的运用，注意不要漏掉绝对号，否则只代表双曲线的一支或一条射线 . 标准方程 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是22= 1 ( a 0 , b 0 )，焦点 ,0)c ， ,0c . (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是22= 1 ( a 0 , b 0 )，焦点 0, )c ， 0, )c . (3)双曲线中 a、 b、 c 的关系是 222c a b （ 4）双曲线方程有两种表达式 ，但 总有 0, 0，判断双曲线所在的坐标轴要看 2x 和 2y 系数的符号，当 2x 的系数为正时，焦点在 x 轴，当 2y 的系数为正时，焦点在 y 轴 . （ 5）在双曲线的标准方程里， ab 不一定成立，要注意与椭圆中的 ,椭圆中有 2 2 2a c b ，在双曲线中有 222c a b . （ 9） 2, ，构成了焦点 三角形 12，解关于双曲线中的焦点三角形问题时要充分利用双曲线的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理知识，对于求焦点三角形的面积，结合双曲线定义，建立关于 1或 2的方程，求得 1或 2的长度，有时把 21F 看成 一个整体，运用公式 22 22 1 2 1 2 1( ) 2P F P F P F P F P F P F 及余弦定理求出 21F ，而无需单独求出，这样可减少运算量 . 3. 巧设妙求双曲线方程 1、若已知双曲线上的两点，可设双曲线 方程为 1 (m， n 异号 ) 2、若已知双曲线的渐近线方程为 或 0的形式，可设双曲线方程为22= ( 0 ) 3、若已知双曲线的离心率，可由 e=1 ( ) 转换为 22,设出简化的双曲线方程 . 学一学 双曲线的定义反映了双曲线的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质，有些问题，如果恰当运用定义来解 2 决，可以起到事半功倍的效果 例 1设 双 曲线 C： 1(a 0， b 0)的两个焦点， P 是 C 上一点若 | | 6a，且 最小内角为 30，则 C 的离心率为 _ _ 由渐近线（离心率）求双曲线方程 在求双曲线方程时，要根据所给条件的不同，设出相应的方程，再由其他条件列出等式求出参数，可以简化 解题过程，避免出错，常 见的题型是已知双曲线上的两点，可设双曲线方程为 1 (m， ； 若已知双曲线的渐近线方程为 0mx ，可设双曲线方程为 2 2 2 2 ( 0 )m x n y ；与双曲 线22= 1 ( a 0 , b 0 )共渐近线的方程为22= ( 0 )，若已知离心率（渐近线方程），转化为 a,设出简化的双曲线方程 例 2中心在原点，一条渐进线为 2，点 (1, 2)P 在双曲线上，则双曲线 的标准方程是 . 【答案】2 2 =12y x 【解析】方法一：当焦点在轴上时，设221，由题意可知 2 ，又因为点 (1, 2)P 在双曲利用双曲线的定义求双曲线标准方程 用定义法求双曲线的标准方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之差的绝对值为定值，然后判断双曲线的中心是否在原 点、坐标轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量 , 3 例 3已知定点 A(0,7)、 B(0， 7)、 C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A、 B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程 例 是圆 B： (x 2)2 12 上的动点，点 A(2,0)，线段 中垂线交直线 点 轨迹 C 的方程； 1 月 20 日 星期五 1 专题 6 双曲线的简单几何性质 【学一学】 一、 双曲线的几何性质 二 、等轴双曲线 线叫等轴双曲线，它的 渐近线是 y=x ，离心率 是 2 . 性质，两方程密切联系，把双曲线的标准方程22= 1 ( a 0 , b 0 )，右边的常数 1 换成 0，就是渐近线方程 ，反之由渐近线方程 ax 变为 2 2 2 2a x b y = ，再结合其他 条件求得 ，就能求的双曲线方程 . 三、解题方法心得： 1已知渐近线方程 y 离心率时，若焦点位置不确定时， m ba(m 0)或 m 离心率有两种可能 2解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用 3双曲线方程的求法 (1)若不能 明确焦点在哪条坐标轴上， 设双曲线方程为 1() (2)与双 曲线 1有共同渐近线的双曲线方程 可设为 (0) 1 月 20 日 星期五 2 (3)若已知渐近线方程为 0，则双曲线方程可设为 (0) 果一个三角形的两个顶点是焦点 12,一个顶点 P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形 ，则面积等于212F，其中 b 是虚半轴的长；过焦点垂 直于对称 轴的弦长即通径长为 2 1 专题七 抛物线及其标准方程 学一学 抛物线的定义： 平面内与一个定点 l()距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线，点 点 ，直线 l 叫做抛物线的 准线 若定点 F 在定直线 l 上，则满足条件的动点的轨迹为过点 F 且垂直于 l 的一条直线 . 抛物线定义具有判定和性 质的双重作用，可以将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离等价转化，从而简化问题的求解过程，在解决抛物线问题时，一定要善于用定义解题 . 抛物线的标准方程： (1)方程 22py(p0)叫做抛物线的 标准 方程 (2)抛物线 2px(p0)的焦点坐标是 ( 0)2p ，准线方程是 x=开口方向 向右 (3)抛物线 2px(p0)的焦点坐标是 (- 0)2p ，准线方程是 x=2p ，开口方向 向左 (4)抛物线 2py(p0)的焦点坐标是 (0 )2p ，准线方程是 y=开口方向 向上 (5)抛物线 2py(p0)的焦点坐标是 (0,- )2p ，准线方程是 y=2p ，开口方向 向下 （ 6） 四个标准方程的区分：焦点在一 次项字母对应的坐 标轴上，开口 方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向 . （ 7） 焦点在 y 轴上的抛物线的标准 方程 2常又可以写成 y 与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 y 求其焦点和准线时，必须先化成标准形式 （ 8）与抛物线焦点有关的问题，优先考虑定义 . （ 9）确定抛物线的标准方程，从形式上看，求需求一个参数 p，但 是由于标准方程由四种类型，因此 ，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行讨论，有时 也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 2y =m 0) ，焦点在 y 轴上的抛物线方程可设 2x = m y (m 0 ) 学一学 抛物线定义的应用 抛物线定义具有判定和性质的双重作用，利用抛物线定义可以起到化曲为直的作用，将抛物线上的动点到焦点的距离和到准线的距离等价转 化，从而简化解题过程，在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题 例 1、已知 1上一点， F 为抛物线的焦点 C:(+(=1 上，则 |最小值为 ( ) (A)2 (B)4 (C )8 (D)10 2 待定系数法求抛物线方程 求抛物线的方程的主要步骤是先定位，即根据题中 条件确定抛物线的焦点位置，进而设出抛物线方程；后定量，即求出方程中的 p ，从而求出方程 例 2以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P( 2， 4)的抛物线方程为 _ 通过已知条件，结合平面几何知识，先判定所求点的轨迹是否符合抛物线定义，再寻求题中蕴含的数量关系，进而求方程； 例 3. 已知动圆经过点 )0,3(A ，且和直线 03x 相切， （ 1）求动圆圆 心的轨迹 C 的方程；（ 2）已知曲线 ，且 ，求 M 点的坐标 【答案】 (1) 22 ; (2) )62,2( M 【解析】 （ 1）由题意，动圆圆心 到点 A 的距离与到直线 03x 的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为 03x 为准线的抛 物线，其方程为 22 ； （ 2）设 M 的坐标为 ),( 00 由题意知 530 x ，所以 20 x ；代入抛物线方程得， 620 y ，所以 )62,2( M 1 专题八 抛物线的简单几何性质 学一学 抛物线的几何性质 设抛物线的标准方程为 2px(p0) (1)范围：抛物线上的点 (x， y)的横坐标 x 的取值范围是 0x ，抛物线在 y 轴的 右 侧，当 x 的值增大时， |y|也 增大 ，抛物线向右上方和右下方无限延伸 (2)对称性：抛物线关于 x 轴 对称，抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴 (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 顶点 抛物线的顶点为 (0,0) (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的 离心率 ， 用 e 表示，其值为1 (5)抛物线的焦点到其准线的距离为 p ，这是 p 的几何意义，顶点到准线的距离为 点到顶点的距离为 2p 2 与抛物线有关的结论 顶点是焦点向准线所作垂线段中点 . （ *）焦准 距：FK p（ *）通径：过焦点垂直于 轴的弦长为2p. 顶点平分焦点到准线的垂线段：2K. （ *）焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、 半径的圆必与准线相切 、准线是公切线 . （ *）焦半径为直径的圆：以焦半径 直 径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切，所有这样的圆过定点 F、过顶点垂直于 轴的直线是公切线 （ *）焦点弦为直径的圆：以焦点弦 直径的圆必与准线相切 这样的圆的公切线是准线 抛物线2 上的动点 可设为 P),2( 2 ,2 )P pt ,( 2 1.（ *）焦半径公式：若点),( 00 2 上一点，则该点到抛物线的焦 点的距离（称为焦半径）是：0 2x， 2.（ *）焦点弦长公式：过焦点弦长1 2 1 222x x x x p 学一学 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点 弦长度转化为端点 的坐标问题，从 而可借助根与系数的关系进行求解 . 例 1已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离 与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. 2 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 轨迹 C 相交于点 A， B， 轨迹 C 相交于点D， E，求 最小值 平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也 是近几年高考所考查的热点， 解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决 . 例 2. 已知抛物线 C:4x， F 是 C 的焦点，过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， O 为 坐标原点。 （ 1）求 值；（ 2）设 求 面积 S 的最小值； （ 3）在（ 2）的条件下若 S 5 ，求 的取值范围。 【答案】 （ 1） 2） 2（ 3） 2 53 2 53 3 值）问题 对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析问题，在动点的“变”中寻求定值的“不变性”，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图像等）先确定定值，揭开神秘面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明过程，从而找到解决问题的突破口 . 例 3. 设抛 物线 C： 4x， 的焦点，过 F 的直线 L 与 C 相交于 A、 B 两点求证： 一个定值 1 月 20 日 星期五 1 专题九 直线和圆锥曲线的位置关系 学一学 l： 0Ax （ A、 B 不同时为 0）与圆锥曲线 E： ( , ) 0F x y 的位置关系，通常先方程组0( , ) 0A x F x y ，消去 y（也可以消去 x）得到一个关于变量 x（或变量 y）的方程，如消去 y 后得2 0ax bx c （ 1）当 0a 时，则当 0 时，直线 l 与曲线 E 相交；当 0 时，直线 l 与曲线 E 相切；当 0 时，直线 l 与曲线 E 相离 . （ 2）当 0a 时，即得到一个一元一次方程，则 l 与 E 相交，且只有一个交点，此 时，若 E 为双曲线，则直 线 l 与双曲线的渐近线平行；若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴平行 . 小结： 直线与圆锥曲线的相离关系，常 用 求 二次曲线上的点到 已知直线的距离的最大值或最小值来解决 : 直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的 渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行 直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦 设 11( , )A x y 、 22( , )B x y 是直线 l 与曲线 E 的两个 不同的交点 ，则弦长 2 12| | 1 | |A B k x x 或1221| | 1 | |A B y （ 0k ） B 的中点，利用点差法研究 斜率与 方 程 代入（即将端点代入曲线方程） 作差（即两式相减） 得出中点坐标与斜率的关系。 韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解 学一学 位置关系的判断 直线和圆锥曲线的位置关系的判断，转化为其方程组解的个数问题，通过消元得关于得 2 0ax bx c 或2 0ay by c ，进而在转化为利用判别式判断二次方程解的个数问题，当圆锥曲线为抛物线或者双曲线时，需注意二次型系数为 0 的情况 . 例 1. 已知直线 1y 与双曲线 224. 若直线与双曲线的右支有两个相异 的公共点，求 k 的取值范围 . 2 2.相交弦的长 度问题 弦长问题是圆锥曲线题目中的重点内容，归纳起来有三类型：第一：圆里的弦长，通常是结合 平面几何知识利用垂径定理，结合勾股定理处 理；第二：过焦点的弦长问题，结合圆锥曲线的定义处理；第三：一般的弦长问题，利用弦长公式，而且此类问题，大都会结合韦达定理，体现设而不求的技巧 例 2、 设椭圆22 1 ( 0 )xy 的左 、 右顶点分 别为 )0,2(A 、 )0,2(B ，离心率 22e 过该椭圆上任一点 P 作 x 轴，垂足为 Q，点 C 在 延长线上，且 |)12(| . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求动点 C 的轨迹 E 的方程； （ 3）设直线 椭圆的右焦点与椭圆相交于 M、 N 两点，且 7 28求直线 方程 . 3 3相交弦的中点问题 弦的中点问题大致有两种思路：点差法： 代入（即将端点代入曲线方程） 作差（即两式相减） 得出中点坐标与斜率的关系。 韦达定理法：将直线方程 代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦 达定理和中点坐标公式建立等式求解 ， 例 3. 已知双曲线方程 22. (1)求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程； (2)过点 (1,1)能否作直线 l，使 l 与双曲线交于 点，且 点的中点为 (1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由 1 专题十 空间向量及其运算 学一学 (1)向量的数乘：实数 与空间向量 a 的乘 积仍然是一个向量，记作 a ，称为向量的数乘运算当 0时， a 方向 相同， 0时， a 方向 相反， a 的长度是 a 的长度的 倍 (2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律 分配律： (+)a b a b ；结合律： 2空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a， b，则 |a|b|a， b叫做 a， b 的数量积，记作 ab. (2)数量积的运算律 (3) 数 量积的性质 两个 向 量数量 积的 性质 若 a， b 是非零向量，则 a b 0 . 若 a 与 b 同 向，则 ab ； 若反向，则 ab . 特别地： aa |a|2 或 |a| aa. 若 为 a， b 的夹角，则 |ab|a|b|. 设 a ( b (则 (1)a b 1 1 2 2 3 3()a b a b a b ， ， ； (2)a b 1 1 2 2 3 3a b a b a b ， ，； (3)a 1 2 3()a a a ， ， ( R)； (4)ab 1 1 2 2 3 3a b a b a b ； (5)a b 1 1 2 2 3 3 ()a b a b a b R ， ， ； 数乘向量与向量数 量积的结合律 (a)b () 交换律 ab 分配律 a(b c) a b a c 2 (6)a b 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b 学一学 空间内用已知向量表示未知向量理论依据是空间向量基本定理，即选定三个不共面向量 ,对于空间内任意一个向量，都可以用 ,其实质是将空间向量问 题转化为平面向量 . 例 知空间四边形 对角线为 N 分别是对边 中点，点 G 在线段 ，且 2基底向量 示向量 解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求直线和 平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，常见的求法向量方法有两种：方程法； 双 0速算法 例 2分别求解下列两问： 若 19(0, 2, )8A ， 5(1, 1, )8B ， 5( 2,1, )8C 是平面 内的三点，设平面 的法向量 ),( ，则: _ （）已知向量 , 内的两个不共线向量，且 (1, 2, 0)a ， (3, 0, 4)b ，求平面 的一个法向量 3 3判断若个点共面（或向量共面） 证明四点 , , ,A B C D 共面，可在四点之中，构造向量 ,C 先利用空 间向量共面定理证明向量共面，进而证明四点共面；证明向量共面，将其中一个向量用另外两个向量表示，进而根据空间向量基本定理证明向量共面，其中灵活地进行向量的合成与分解是关键 例 3 如图所示，在平行六面体 ， E、 F 分别在 ，且 1323(1)证明： A、 E、 F 四点共面； (2)若 ，求 x y z. 1 月 20 日 星期五 1 专题十一 立体集合中的向量方法 学一学 空间向量与垂直关系 1空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直 线面垂直 面 面 垂直 设直线 l 的方向向量为 a (直线 b (b1，则 l m_ 设直线 l 的方向向量是 a(平面 的法向量 u (则 l /平面 的法向量 u (a1，平面 的法向量为 v (则 线线垂直 线面垂直 面面垂直 证明两直线的方向向量的数量积为 0 证明直线的方向 向量与平面的法向量是 共线向量 证明两个平面的法向量 垂直 证明两直线所成角为 直角 . 证明直线与平面内的相交直线 垂直 . 证明二面角的平面角为 直角 空间向量与空间角 1空间中的角 角的分类 向量求法 范围 异面直线 所成的角 设两异面直 线所成的角为 ，它们的方向向量为 a， b，则 c o s , 0，2 直线与平 面所成 的角 设直线 l 与平面 所成的角为 ， l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 c o s , 0，2 二面角 设二面角 l 的平面角为 ，平面 、 的法 向 量 为 则 | 121212c o s , _ 0， 学一学 1 月 20 日 星期五 2 1利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角范围是 (0, 2 ，构造两条直线的方向向量 ,求 ,，设异面直 线所成的角为 ，则有 c o s c o s , 例 1如图，三棱锥 P ， 面 C=2， C， D 是 一点，且 面 （ 1）求证： 面 P （ 2）求异面直线 成角的大小； 2直线和平面所成的角 直线和平面所成的角的范围是 0, 2 ，构造直线的方向向量 a ，和计算平面的法向量 b ，再计算 ,，设直线和平面所成的角为 ，则 s i n c o s , 例 2. 在三棱柱 1 1 1 B C 中，侧面 11矩形， 1， 1 2， D 为 1中点， 1 ， 侧面 11 （ 1）证明： 1B ； （ 2）若 A ，求直线 1成角的正弦值 . 3 【答案】 (1)详见解析；（ 2） 3 5555 3二面角求法 二面角的平面角的范 围是 0, ，先求两个半平面的法向量 ,计算法向量的夹 角 ，设二面角的大小为 ，则 c o s c o s ,