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寒假 总动员 年高 数学 作业 功课 专题 18 打包

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1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 01 集合间的关系及其运算（背） 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 . 元素与集合的关系式属于或不属于关系，用符号 或 表示 . 集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法 . 常用数集：自然数 N ；正整数集 *N ;整数集 Z ;有理数集 Q ;实数集 R . 集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集 . 例 1.【 2014 泉州月考卷】 已 知集合 A= .,0232 若 A 是空 集，求 a 的取值范围； 若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元 素写出来； 若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围 奎屯王新敞 新疆 子集：对任意的 ,都有 ，则 （或 ） . 真子集：若 ，且 ，则 或 空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集的真子集 ， ()轪 . 集合相等：若 ，且 ，则 . 例 2【 2014 南安卷】已知集合 A | ( 2 ) ( 3 1 ) 0 x x x a ， B 22 | 0 ( 1 ). （ 1）当 a 2 时，求 （ 2）求使 的实数 a 的取值范围 . 2 (1)并集： A B x x A x B 或. (2)交集： A B x x A x B , 且. (3)补集： , x x A x U ， U 为全集， 相对于全集 U 的补集 . (4)集合的运算性质 ,A B A B A A B A A B ; ,A A A A ; ,A A A A A; , , ( )U U U A A C A U C C A A . 例 3.【 2014 安溪月考卷】 若集合4,3,1,3,2,1 B,则B的子集个数为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 16 【答案】 C 【解析】 试题解析：依题意可得1,3 子集 为 1,3 ， 1 ， 3 ， 个 . 例 4.【 2014 永春检测卷】 设常 数 aR ,集合 | 1 0A x x x a , |1B x x a ,则 a 的取值范围为（ ） A ,2 B ,2 C 2, D 2, 【答案】 B 【解析】 试题分析：由集合 | 1 0A x x x a a 时，集合 A 的解集为 1x 或 3 1a 即可，即 2a 2a；当 1a 时，集合 A 的解集为 或 1x 恒成立 a 成立 2a . 例 5.【 2014 安溪检测卷】 设集 ,如果存在一个从足 ; (i)|)( ;(对任意21,当21 ,恒有)()( 21 . 那么称这两个集合 “保序同构 ” 对集合 : *, ; 108|,31| ,0|. 其中 ,“保序同构 ”的集合对的序号是 _(写出所有 “保序同构 ”的集合对的 序号 ) 例 6.【 2014 晋江检测卷】已知集合 | 2 3A x x ， | B x x a，通过画数轴解答如下问题： （ 1）若 A B = ， 求出 a 的取值范围，（ 2） 若 A B，求出 a 的取值范围 . 4 学一学 常用一条性质 若集合 A 中含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个， A 的真子集有 21n 个 . 关注两个“易错点” 注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如果 ， ,A B A A B B中 A 的情况需特别注意； 对于含参数的两个具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑 . 1 月 20 日 星期五 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 02 简易逻辑及其应用（背） 四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假判断 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假 两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性不确定 充分条件、必要条件与充要条件 “若 p，则 q”形 式 的命题为真时，记作 p q ，称 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 . 如果既有 p q，又 q p ,记作 p q，则 p 是 q 的 充分条件， p 也是 q 的 必要条件 . 一个等价关系 来源 :互为 逆否命题的 两个命题的真假性相同，对于一 些难 于判断的命题可转化为其等 价命题来判断 . 命题 p q， p q， p 的真假判断 p q p q p q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 03 初等函数的性质及其图像（背） 二次函数的定义形如 2( ) ( 0 )f x a x b x c a 的函数叫做二次函数 . 二次函数的三种常见的解析式 一般式： 2( ) ( 0 )f x a x b x c a ； 顶点式： 2( ) ( ) ( 0 )f x a x m n a ； 两根式： 12( ) ( ) ( ) ( 0 )f x a x x x x a . (3)二次函数的图像和性质 0a 0a 图像 定义域 R R 值域 24 , )4a c by a 24( , 4a c by a 对称轴 2bx a 顶点坐标 24( , )24b a c 奇偶性 20 ( 0 )b y a x b x c a 是偶函数 单调性 在 ( , )2 上是递减函数；在( , )2 上是递增函数 在 ( , )2 上 是递增函数； 在( , )2 上是递减函数 最值 当 2bx a 时，2m ac by a 当 2bx a 时， 2m a a c by a 2 幂函数 幂函数的定义：一般地，形如 ()f x x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 . 常见的 5 种幂函数的图像 常见的 5 种幂函数的性质 2 3 12 1 定义域 R R R 0, ) 0x 值域 R 0, ) R 0, ) 0y 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ( ,0 减，0, ) 增 增 增 ( ,0) 减，(0 ) 增 定点 （ 0,0），（ 1,1） （ 1,1） 指数函数的图像与性质 ( 0 , 1 )xy a a a 1a 1a 图像 定义域 ( , ) 值域 (0, ) 性质 过定点（ 0,1） (0,1),1)数 特 征 性 质 3 当 0x 时， 1y ；当 0x ，01y 当 0x 时， 01y；当 0x 时1y 在 ( , ) 上是递增函数 在 ( , ) 上是递减函数 1a 1a 图像 性 质 定义域： (0 ) 值域： ( , ) 恒过点（ 1,0） 当 1x 时， 0y ；当 01x时， 0y 当 1x 时， 0y ； 当 01x时， 0y 在 (0 ) 上是递增 函数 在 (0 ) 上是递减函数 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 04 导数的定义及几何意义（背） 导数的概念 (1)函数 ()y f x 在 0处的瞬时变化率是 0000 ( ) ( )l i m l i f x x f 函 数()y f x 在 0处的导数，记作 0( ) 0 ( ) 000 ( ) ( )l i mx f x x f . (2)如果函数 ()y f x 在开区 间 ( , )的每一个点处都有导数，其导数值在 ( , )构成一个新函数，这个函数称为函数 ()y f x 在开区间内 的导函数 ，记作 ()y . 函数 ()y f x 在点 0x 处的导数的几何意义，就是曲线 ()y f x 在点，处的切线的斜率 ( )k f x 若 ()f x c ，则 ( ) 0. 若 ( ) ( )nf x x n R，则 1( ) nf x 若 ( ) x x ，则 ( ) x x . 若 ( ) x x ，则 ( ) x x 若 () xf x a 则， ( ) l n ( 0xf x a a a且 1)a 若 ()xf x e ，则 ( ) xf x e 若 ( ) lo g af x x ，则 1( ) ( 0x 且 1)a 若 ( ) x x ，则 1( ) 若 ()( )有 （ 1） ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x （ 2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x （ 3）() ( ) ( ) ( ) ( )()fx f x g x f x g 1 专 题五 导数在函数中的应用 单调性的关系 函数 ()y f x 在某个区间内可导 若 ( ) 0，则 ()若 ( ) 0，则 ()（ 1）极值点与极值 设函数 ()x 及附近有定义，且在 =两侧的单调性相反或导数值为零，则 0x 为函数 ()()函数的极值 . (2)极大值点与极小 值点 若先增后减（导数值先正后负），则 0x 为极大值点； 若先减后增（导数值先负后正），则 0x 为极小值点 . 函数的最值 在闭区间 , 连续的函数 () , 必有最大值与最小值 . 若函数 () , 单调递增，则 ()()函数的最大值；若函数 () , ()， () 设函数 () , 连续，在 ( , )可导，求 () , 的最大值和最小值 的步骤如下： 求 () , 的极值； 将 ()()中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 . 利用导数解决实际 生活中的优化问题 分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型 ， 写出相应的函数关系式 =并确定定义域； 求导数 ()方程 ( ) 0 判断使 ( ) 0的点是极大值点还是极小值点 ； 确定 函数的最大值或最小值， 还原到实际问题中作答 . 研究 函数图像的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值， 然后通过数形结合的思想找到解题的思 路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识 . 等式相结合的问题 求解不等式恒成立的问题时，可以考虑将从拿书分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题 . 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 06 三角函数的性质及其图像的变换（背） 弦、正切函数的图像与性质 （下表中 ） . 函数 y=x y=y=像 20 0 0 R R , , 2x x R x k k Z 且 值域 - 1,1 R 周 期性 2 2 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 2 , 2 22为增；3 2 , 2 22为减 2 , 2 为 减 ； 2 , 2 为增 (,22）为增 对称中心 (0k， ） ( + 02k ， ） (02k， ） 对称 轴 +2 无 s i n ( ) ( 0 , 0 )y A x A 的图像 . 函数 s i n ( ) ( 0 , 0 )y A x A 的图像可由 的图 像作如下变换得到： （ 1） 相应变换： s i n s i n ( )y x y x 把 图像上所有的点向左（ 0 ）或向右（ 0 ）平行移动 个单位 . （ 2）周期变换： s i n ( ) s i n ( )y x y x ，把 )图像上各点的横坐标伸长（ 01）或缩短（ 1 ）到原来的 1 倍（纵坐标不变） . 2 （ 3）振幅变换： s i n ( ) s i n ( )y x y A x ，把 )图像上 各点的纵坐标伸长（ A1）或缩短（ 0A0）到原来的 A 倍（横坐标不变） . s i n ( ) ( 0 , 0 )y A x A 的物理意义： 振幅： A ，周期：2T ，频率： 1 2f T ，相位： x ，初相 （即当 0x 时的相位） .（ 0, 0A 时以上公式可去绝对值符号） 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 07 三角函数在解三角形中的应用（背） 型 测量距离问题、高度问题、角度问题、航海问题等 . (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线上方时 叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角 .（如图（ a） . (2)方位角 从某点的指北方向线起顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角 点的方位角为 =（如图（ b） (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线 所成的锐角，通常表达为北（南）偏东 (西 )=度 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数 . 在 中，若角 A,B,C 所对的边分别是 , 正弦定理 余弦定理 内容 2s i n s i n s i na b c C ( R 为 接圆半径 ) 2 2 2 2 c o sa b c b c A , 2 2 2 2 c o sb a c a c B ， 2 2 2 2 c o sc a b a b C 常见变形 （ 1） 2 A , 2 B ， 2 C ；（ 2） ， ， ； 2 2 2c o c aA ， 2 2 2c o c bB ， 2 2 2c o b cC 1 月 20 日 星期五 2 （ 3） : : s i n : s i n : s i na b c A B C 解决的问题 已知两角和任一边，求其它两边和一角； 已知两边和 其中一边的对角，求另一边和其它两角 已知三边，求三个角； 已 知两边和它们的夹角，其第三边和其它两角 中，已知 , 时，解的 情况 A 为 锐角 A 为钝角或直角 图 形 b A b A a b 解的个数 无解 一解 两解 一 解 一解 无解 （ 1） 12S （ h 表示边 a 上的高） . （ 2） 1 1 1s i n s i n s i 2S b c A a c B C . (3) 1 ()2S r a b c （ r 为 内切圆半径） b C 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 08 数列定义及其性质的应用（背） ( 1)定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列 这个数列的项，排在第一位的数称 为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项 . 数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 *N （或它的有限子集 1, 2, , n ）为定义域的函数 ()na f n ，当自变量按照从小到大依次 取值时所对应的一列函数值 . 反过来，对于函数 ()y f x ，如果 ( ) ( 1 , 2 , 3 , )y f i i 有意义，那么我们可以得到一个数列( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , , ( ) ,f f f f n (3)数列的通项公式 如果数列 第 n 项与序号之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 . (4)数列的分类 数列的递推公式 如果已知数列 第 1 项（或前 n 项），且任何一项 它的前一项 1（或前几项）间的 关系 可以用一个式子 来表示，即 1()f a 或 12( , )n n na f a a ，那么这个式子叫做数列 递推公式 . 3. 关系 若数列 前 n 项和为 则11,1,2n n 2 定义： （ 1）等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项 的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用通常的字母 d 表示 . 数学语言表达式： *1 ()a d n N ， d 为常数 . （ 2）等比数 列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比用通常的字母 q （ 0q ）表示 . 数学语言表达形式： 1( 0q )， q 为常数 . 通项公式 等差数列 的通项：等差数列 首项为 1a ，公差为 d ，则其通项公式为 1 ( 1)na a n d . 等比数列的通项：等比数列 首项为 1b ，公比为 q ( 0q )，则其通项公式为 11 b q ( 0q ). 前 n 项和公式 等 差 数 列 ： 若 已 知 等 差 数 列 首项 1a 和末项 公差是 d . 则前 n 项和1 1() 1 ( 1 )22nn n a aS n a n n d . 备注：两个公式根据所给的已知条件选用，渗透方程的思想 . 等 比 数 列 ： 若 已 知 等 比 数 列 首 项 为 1b ， 公比为 q ( 0q ). 则前 n 项和111 1( 1 )(1 )( 1 )11nn nn b qT bb bq 备注：两个公式根据所给的已知条件选用，渗透方程的思想 . 常用性质 （以下 *, , ,m n p q N ） 等差数列 等比数列 等差中项： 112 n n na a a 等比中项： 2 11n b b 通项推广： ()a n m d 通项推广： b q 若 m n p q 则 m n p qa a a a 若 m n p q 则 m n p qb b b b 数列 ,2,k k m k ma a a数列 ,2,k k m k mb b b 3 数列 2 3 2, , ,m m m m S S S 也是等差数列 数列 2 3 2, , ,m m m m T T T 也是的等比数列（公比不为 1） 21 ( 2 1)n a 若数列 , 数相同）是等比数列，则21 ( 0 ) , , , , nn n n a a 仍是等比数列 若 n 为偶数，则 -=2 若 n 为奇数，则 =中间项 . 两类特殊问题 解决与数列周期性有关的题目，关键是找 出数列的周期 . 求数列最大项的方法：判断 单调性；解不等式组11 ，求数列最 小项依此类推 . 常用方法 方法： 1 ()a f n 型，采用累加法； 1 ()型，采用 累乘法； 1 ( 0 )p a q p 型，采用待定系数法转化为等比数列解决 . （ 1） 1a d ； （ 2） 11( 2 )n n n na a a a n . (1)定义法；（ 2）中项公式法；（ 3）通项公式法；（ 4）前 n 项和公式法 . 注意：要关注公比为 1 的情况以及项为 零的情况 . 两点提醒： 1. n 的范围是否包括了首项 或超过了范围 . 公比 q 的情况，加强对所写的的代数式的存在性的判断 . 1 月 20 日 星期五 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 09 数列中求和问题（背） (1)公式法 直接利用等 差数列，等比数列的前 n 项和公式求和 等差数列的前 n 项 和公式： 1 1() 1 ( 1 )22nn n a aS n a n n d 等比数列的前 n 项和公式：11 1,1(1 ) ,111nn nn a qS a a q aq 分组求 和法 一个数列 的通项 公式是由若干个等差数列或等比数列或渴求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减 . 倒序 相加法与并向 求合法 把数列的通项拆成两 项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 . 错位相减法 如果一个数列的各项是 由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 =项和 即可用此法来求，如等比数列的前 =项和公式就是用此法推 导的 . 三个公式 （ 1）1 1 1( 1 ) 1n n n n 2 （ 2）1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n n n n （ 3）1 11 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 10 向量的含义及其应用（背） （ 1） 向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫 做向量的模 . （ 2）零向量：长度为零的向量，其方向是任意的 . （ 3）单位向量：长度等于 1 的向量 . （ 4）平行向量：方向相同或相反的零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量共线 . （ 5）相等 向量：长度相等且 方向相同的向量 . （ 6）相反向量：长度相等且方向相反的向量 . 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求 两个向量的和的运算 三 角 形 法 则 ： a + 四 边 形 法 则 ：a + a b b a . 结合 律： ( ) ( )a b c a b c 减 法 向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 ()a b a b . a ()a b a b （ 1）定义：实数 与向量 a 的积 是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a ，它的长度与方向规定如下： 2 向量 a （ 0a ）与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使 . 平面任一向量可以由不共线的两个向量表示 . （ 1）定义：已知两个非零向量 a 与 b ，它们 的夹角为 ，则数量积记作 ，即 c o sa b a b ，即 00a . （ 2）几何 意义：数量积 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上投影的长度的乘积 . 设向量 11( , )a x y ， 22( , )b x y ， 为向量 a 与 b 的夹角 . （ 1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模 1 2 1 2( , )a b x x y y ， 1 2 1 2( , )a b x x y y ，11( , )a x y ， 2211a x y. （ 2）向量共线： 1 2 2 1a b x y x y （ 3）向量垂直的充分条件： 即 1 2 1 200a b x x y y . （ 4） a b a b （当且仅当 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2x x y y x y x y . 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题 . (1 ) 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：1 2 2 1( 0 ) 0a b a b b x y x y (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： 1 2 1 200a b a b x x y y 3 ( 3)求夹角问题，利用夹角公式：1 2 1 22 2 2 21 1 2 2c o s x x y x y x y 与三角函数相结合考察向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型 了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识 . 的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述 而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关只是来解答，坐标的运算是考察的主体 . 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 11 点线面位置关系（背） 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 2空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 共面直线 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角 定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空 间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ) 范围： 0， 2 . (3)平行公理和等角定理 平行公 理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 或互补 3空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况 (2)平面与平 面的位置关系有平行、相交两种情况 4直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a a ， b， a b a a ， a ， b 结论 a b a a b 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a ， b ， ab P， a ，b ， a， b ， a 结论 a b a 2 6直线与平面垂直 (1)定义：若直线 l 与平面 内 的任 意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 (线线垂直 线面垂直 )即： a ， b ， l a， l b， ab P l . (3)性质定理：垂直于同一个平面的两 条直线平行即： a ， b a b. 7平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即： a ， a . (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即： ， a ， b， a b a . 8直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角 (2)线面角 的范围： 0， 2 . 9二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 12 三视图、体积（背） 1多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上 下底面是全等且平行的多边形 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形 2旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到 (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 (3)球可以由半圆面 或圆面绕直径旋转得 到 3空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得 到，这种投影下与投影面平行的平面 图形留下的影子与平面 图形的 形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图 、侧视图、俯视图 4空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来 画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x轴、 y轴的夹角为 45(或 135)， z轴与 x轴、 y轴所在平面垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 5柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S 侧 2 锥 S 侧 1313 13r2 台 S 侧 (r2)l V 13(S 上 S 下 下 )h 13(h 直棱柱 S 侧 棱锥 S 侧 12V 13棱台 S 侧 12(C C)h V 13(S 上 S 下 下 )h 球 S 球面 4 43(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形 、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 13 直线与圆（背） 1直线与圆的位置关系 设直线 l： C 0()， 圆： (x a)2 (y b) r2(r 0)， d 为圆心 (a， b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 . 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d r 0 相切 d r 0 相离 d r 0 2. 圆与圆的位置关系 设圆 (x (y 0)， 圆 (x (y 2 r2(0). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d 解 外切 d 组实 数解 相交 | d 组不同的实数解 内切 d |r1一组实数 解 内含 0d |r1无解 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 14 椭圆、双曲线、抛物线（背） 1椭圆的定义 在平面内与两定点 距离的和等于常数 (大于 |的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 1(ab0) 1 (ab0) 图 形 性质 范 围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 a,0)， A2(a,0) ， b)， ， b) ， a)， ， a) b,0)， B2(b,0) 轴 长轴 长为 2a；短轴 长为 2b 焦距 | 2c 离心率 e (0,1) 3双曲线的定义 平面内动点 P 与两个定点 2c 0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a 2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距 4双曲线的 标准方程和几何 性质 标准方程 1(a0， b0) 1(a0， b0) 性 质 范 围 xa 或 x a， y R x R， y a 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 a,0)， A2(a,0 ) ， a)， ， a) 渐近线 y y 心率 e e (1， )，其中 c 虚轴 线段 叫做双曲线的实轴，它的长 | 2a；线段 做双曲线的虚轴，它的长 | 2b； a 叫做双曲线的半实轴长， b 叫做双曲线的 半虚轴长 2 a， b， c 的关系 b2(c a 0， c b 0) 5抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 (2)其数学表达式： | d(其中 d 为点 M 到准线的距离 ) 6抛物线的标准方程与几何性质 图形 标 准 方程 2p0) 2p x(p0) 2p0) 2p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 续表 性质 顶点 O(0,0) 对称轴 y 0 x 0 焦点 F 0 F 0 F 0， F 0， 离心率 e 1 准线方程 x p2 x p2 y p2 y 围 x0， y R x0， y R y0， x R y0， x R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 15 圆锥曲线的综合问题（背） 1曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲 线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y) 0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标 都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程 叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线 2求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立 适当的坐标系，用有序实数对 (x， y)表示曲线上任意一点 M 的 坐标 (2)写 出适合条件 p 的点 M 的 集合 P M|p(M) (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x， y) 0，并化简 (4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 3曲线的交点 设曲线 方程为 F1(x， y) 0，曲线 2(x， y) 0，则 ， 0， 0 的实数解 若此 方程组无解，则两曲线无交点 1 （寒假总动员） 2015 年高三数学寒假作业 专题 16 概率与统计（背） 1频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 ) 事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 )稳定在某个常数上，把这个常 数记作 P (A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时 称事件 B 包含事件 A(或称事件 ) B A(或 A B) 相等关系 若 B A 且 A B A B 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发 生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 (或和事件 ) A B(或 A B) 交事件 (积事件 ) 若某事件发生 当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件 ) AB(或 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件， A B 为必然事件，那么称 事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB P(A B) P(A) P(B) 1 (1)概率的取值范围： 0P(A)1. (2)必然事件的概率 P(E) 1. (3)不可能事件的概率 P(F) 0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B) 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A) 1 P(B) 4基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的 (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和 5古典概型 具有以下 两个特点的概率模型称为古典概 率模型，简称古典概型 3古典概型的概率公式 2 P(A) 本事件的总数 . (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 (2)特点： 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； 等可能性：每个结果的发生具有等可能性 (3)公式： P(A) 构成事件 积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积 或体积 . 7离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的 变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量