（湖南专用）2013年高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第六章课件 理（打包7套）
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（湖南专用）2013年高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第六章课件 理（打包7套）,湖南,专用,年高,数学,复习,温习,教材,回扣,夯实,考点,探究,把脉,高考,第六,课件,打包
- 内容简介：
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第 7课时 数学归纳法 教材回扣夯实双基 基础梳理 数学归纳法 证明一个与正整数 可按以下步骤： (1)(归纳奠基 )证明当 _ (N )时命题成立； 第一个值 2)(归纳递推 )假设 n k(k k N )时命题成立 ， 证明当 _时命题也成立 只要完成这两个步骤 ， 就可以断定命题对从 n k 1 思考探究 第一个值 呢？ 提示： 不一定 ， 要看题目中对 如当 n 3时 ， 第一个值 . 课前热身 1 若 f ( n ) 1 1213 16 n 1( n N ) ，则 f (1) 为 ( ) A 1 1 12131415D 非以上答案 解析：选 开始的连续的自然数 ， 且最大分母为 6n1， 则当 n 1时 ， 最大分母为 5， 故选C. 2 设 f ( n ) 1n 11n 2 1n n， n N*，那么 f ( n 1) f ( n ) ( ) n n n 112 n n 112 n 2解析：选 D. f ( n 1) f ( n ) 1n 21n 3 1n n1n 1 n1n 1 n 11n 11n 2 1n n12 n 112 n 21n 112 n 112 n 2. 3 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 121314 1n 2(1n 21n 4 12 n) 时，若已假设 n k ( k 2且 k 为偶数 ) 时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n _ _ 时等式成立 解析：因为假设 n k(k2为偶数 )，故下一个偶数为 k 2. 答案： k 2 4 用数学归纳法证明： “ 1 1213 12n 11) ” 时，由 n k ( k 1) 不等式成立，推理 n k 1 时，左边应增加的项数是 _ _ 答案： 2k 考点探究讲练互动 考点突破 用数学归纳法证明等式 例 1 设 f ( n ) 1 1213 1n( n N*) 求证： f (1) f (2) f ( n 1) n f ( n ) 1( n 2 ， n N*) 【证明】 (1) 当 n 2 时，左边 f (1) 1 ， 右边 2(1 12 1) 1 ， 左边右边，等式成立 (2) 假设 n k ( k 2 ， k N*) 时，结论成立，即 f (1) f (2) f ( k 1) k f ( k ) 1 ， 那么，当 n k 1 时， f (1) f (2) f ( k 1) f ( k ) k f ( k ) 1 f ( k ) ( k 1) f ( k ) k ( k 1) f ( k 1) 1k 1 k ( k 1) f ( k 1) ( k 1) ( k 1) f ( k 1) 1 ， 当 n k 1 时结论仍然成立 由 ( 1)(2) 可知： f (1) f (2) f ( n 1) n f ( n ) 1( n 2 ， n N*) 【 题后感悟 】 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 (2)由 n k到 n k 1时，除等式两边变化的项外还要充分利用 n 充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明 备选例题 ( 教师用书独具 ) 已知 n N ，证明： 1 121314 12 n 112 n1n 11n 2 12 n. 例 【证明】 (1) 当 n 1 时，左边 1 1212， 右边12，等式成立； (2) 假设当 n k ( k N ) 时等式成立，即有： 1 121314 12 k 112 k1k 11k 2 12 k， 那么当 n k 1 时， 左边 1 121314 12 k 112 k12 k 1 112 k 1 (1k 11k 2 12 k) 12 k 112 k 1 1k 21k 3 12 k12 k 1 1k 112 k 1 1 k 1 11 k 1 2 1 k 1 k1 k 1 k 1 右边， 所以当 n k 1 时等式也成立 综合 (1)(2 ) 知对一切 n N ，等式都成立 变式训练 1 用数学归纳法证明： 对任意的 n N*，11 313 5 1 2 n 1 2 n 1 n2 n 1. 证明： (1) 当 n 1 时，左边11 313， 右边12 1 113，左边右边，所以等式成立 (2) 假设当 n k ( k N*) 时等式成立，即有 11 313 5 1 2 k 1 2 k 1 k2 k 1， 则当 n k 1 时， 11 313 5 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 1 2 k 3 k2 k 11 2 k 1 2 k 3 k 2 k 3 1 2 k 1 2 k 3 2 3 k 1 2 k 1 2 k 3 k 12 k 3k 12 k 1 1， 所以当 n k 1 时，等式也成立 由 (1)(2 ) 可知，对一切 n N*等式都成立 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明： 1 1 1213 12n 12 n ( n N*) 例 2 【证明】 (1) 当 n 1 时，左式 1 12，右式12 1 ， 32 1 1232，即命题成立 (2) 假设当 n k ( k N*) 时命题成立，即 11 1213 12k 12 k ， 则当 n k 1 时， 1 1213 12k 12k 112k 2 12k 2k1 2k12k 1 1 k 12， 又 1 1213 12k 12k 112k 2 12k 2n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明结论 例 【解】 当 n 1 时，11 111 213 1 即2624以 a 2524. (1) 当 n 1 时，已证得不等式成立 (2) 假设当 n k ( k N*) 时，不等式成立， 即1k 11k 2 13 k 12524. 则当 n k 1 时， 有1 k 1 11 k 1 2 13 k 1 11k 11k 2 13 k 113 k 213 k 313 k 41k 12524 13 k 213 k 423 k 1 因为13 k 213 k 423 k 1 6 k 1 3 k 2 3 k 4 23 k 1 18 k 1 2 2 9 18 k 8 3 k 2 3 k 4 3 k 3 2 3 k 2 3 k 4 3 k 3 0 ， 所以当 n k 1 时不等式也成立 由 (1)(2 ) 知，对一切正整数 n ，都有1n 11n 2 13 n 12524，所以 a 的最大值等于 2 5. 变式训练 2 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自 然 数 ， 不 等 式1 131 15 1 12 n 12 n 12均成立 证明： (1) 当 n 2 时，左边 1 1343；右边52. 左边 右边， 不等式成立 (2) 假设 n k ( k 2 ，且 k N*) 时不等式成立，即 1 13 1 15 1 12 k 12 k 12. 则当 n k 1 时， 1 13 1 15 1 12 k 11 12 k 1 12 k 122 k 22 k 12 k 22 2 k 14 8 k 42 2 k 14 8 k 32 2 k 12 k 3 2 k 12 2 k 12 k 1 12. 当 n k 1 时，不等式也成立 由 (1)(2 ) 知，对于一切大于 1 的自然数 n ，不等式都成立 归纳 猜想 证明 数列 a n 中， a 1 1 ， a 2 14，且a n 1 n 1 a a n( n 2) ，求 a 3 ， a 4 ，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想 例 3 【解】 因为 1 ， 4，且 1 n 1 n 2) ， 所以 a3 42 1417，同理可求得10， 归纳猜想， 3 n 2. 下面用数学归纳法证明猜想正确 (1) 当 n 1 时易知猜想正确 (2) 假设当 n k ( k N ) 时猜想 正确，即3 k 2. 那么当 n k 1 时， 1 k 1 k 1 13 k 2k 13 k 2k 13 k 23 2 k 13 k 2k 13 2 k 1k 1 3 k 1 k 1 13 k 113 k 1 2. 即当 n k 1 时，猜想也正确由 (1)(2)可知，猜想对任 意正整数都正确 【 题后感悟 】 “ 归纳 猜想 证明 ”的模式 ， 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 ， 这种方法在解决探索性问题 、 存在性问题时起着重要作用 ， 它的模式是先由合情推理发现结论 ， 然后经逻辑推理证明结论的正确性 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式 备选例题 ( 教师用书独具 ) 在各项均为正数的数列 中，数列的前 n 项和为 足 2( (1) 求 (2) 由 (1) 猜想出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 例 【解】 (1) 2( ， 1 ， ， 1 ， 1 2( ， 得 2 1 0 ， ， 2 1 ， 同理可求得 3 2 . (2) 由 (1 ) 猜想 n n 1 ( n N ) 证明如下： 当 n 1 时，由 (1) 知猜想正确 假设 n k 时猜想正确， 即 k k 1 ( k N ) ， 那么当 n k 1 时， 1 1 2( 11 1) 12( 12( 11 1) 12( k k 1 1k k 1) 12( 11 1) k ， 1 2 k 1 1 0 ， 10 ， 1 k 1 k ， 即当 n k 1 时，猜想成立， 由 可知，猜想成立 变式训练 3 在数列 ,2， 4， 且1成等差数列 ， 1， 1成等比数列 求 b2，b3,由此猜测 通项公式 ,并证明你的结论 解：由条件得 2 1， 1 1. 由此可得 6 ， 9 ， 12 ， 16 ，20 ， 2 5. 猜想 n ( n 1) ， ( n 1)2. 下面用数学归纳法进行证明： 当 n 1 时，由上可得结论成立 假设当 n k ( k N*) 时，结论成立， 即 k ( k 1) ， ( k 1)2， 那么当 n k 1 时， 1 2 2( k 1)2 k ( k 1) ( k 1)( k 2) ， 1 1( k 2)2. 所以当 n k 1 时，结论也成立 由 ，可知 n ( n 1) ， ( n 1)2， 对一切正整数 n 都成立 方法技巧 1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由 n k到 n k 1时 ,式子中项数的变化 ,应仔细分析，观察通项同时还应注意 ,不用假设的证法不是数学归纳法 方法感悟 2 对于证明等式问题 ， 在证 n k 1等式也成立时 ， 应及时把结论和推导过程对比 ， 以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题 ， 关键是凑假设；证明不等式时 ， 一般要运用放缩法；证明几何命题时 ， 关键在于弄清由 n k到 n k 1的图形变化 3 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 ， 一般经过计算 、 观察 、 归纳 ,然后猜想出结论 ， 再用数学归纳法证明 由于 “ 猜想 ” 是 “ 证明 ” 的前提和 “ 对象 ” ， 务必保证猜想的正确性 ,同时必须注意数学归纳法步骤的书写 失误防范 1严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个 (或两个以上 )初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础 2注意 n k 1时命题的正确性 3在进行 n k 1命题证明时，一定要用 n k(k N*)时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法 考向瞭望把脉高考 命题预测 从近几年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法 证明数学命题的能力，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中、高档 预测 2013年高考可能会以数列、有关的等式或不等式的证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力 规范解答 例 本题满分 12分 )(2010高考江苏卷 )已知 (1)求证： (2)求证：对任意正整数 n， 【证明】 (1) 设三边长分别为 a ， b ， c ， 则 c a ， b ， c 是有理数， 母 2 正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， c 是有理数 (2) 当 n 1时 ， 由 (1)知 当 n 2时 ， 21， 因为 6分 假设当 n k 1， n k(k 2)时 ， 结论成立 ， 即 k 1) 当 n k 1 时， c k 1) A c os kA c s i n kA s i n A c
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