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1 中档大题保分练 中档大题保分练 (一 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 1 在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， m (x B)， )， n x， 12 ，f(x) m n， f 3 14. (1)求角 B 的值； (2)若 b 14， 6，求 a 和 c 的值 解 (1)f(x) m n xx B) 12 12 12(x x) 12x B)， f 3 14， 23 B 12， 又 B 为 内角， 23 B 3 即 B 3. (2)由 6，及 B 3 ， 得 ac 3 6，即 12， 在 ，由余弦定理： 2 得 14 2 3 ， 26，从而 (a c)2 226， (a c)2 50， a c 5 2. 解方程组 12a c 5 2 ，得 a 2 2c 3 2，或 a 3 2c 2 2. 2 设数列 前 n 项和为 n， n N*)均在函数 y 2x 1 的图象上 (1)求数列 通项公式； 2 (2)设 41， 前 n 项和，求证： . (1)解 由条件 2n 1，即 2n. 当 n2 时， 1 ( )2n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3. 又 n 1 时， 1 适合上式， 所以 4n 3(n N*) (2)证明 41 4n n 14n 3 14n 1. 1 15 15 19 19 113 14n 3 14n 1 1 14n 1. n N*， 14n 10， 1 14n 11，即 . 3 M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6 名女生这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示 (单位：分 )，公司规定：成绩在 180 分以上者到 “ 甲部门 ”工作； 180 分以下者到 “ 乙部门 ” 工作 另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任 “ 助理工作 ” (1)如果用分层抽样的方法从 “ 甲部门 ” 人选和 “ 乙部门 ” 人选中选取 8 人，再从这 8人中选 3 人，那么至少有一人是 “ 甲部门 ” 人选的概率是多少？ (2)若从所有 “ 甲部门 ” 人选中随机选 3 人，用 X 表示所选人员中能担任 “ 助理工作 ”的人数，写出 X 的分布列，并求出 X 的数学期望 解 (1)用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是 820 25. 根据茎叶图，有 “ 甲部门 ” 人选 10 人， “ 乙部门 ” 人选 10 人， 所以选中的 “ 甲部门 ” 人选有 10 25 4 人， 3 “ 乙部门 ” 人选有 10 25 4 人 用事件 A 表示 “ 至少有一名甲部门人选被选中 ” ， 则它的对立事件 A 表示 “ 没有一名甲部门人选被选中 ” ， 则 P(A) 1 P( A ) 1 14561314. 因此，至少有一人是 “ 甲部门 ” 人选的概率是 1314. (2)依题意，所选毕业生中能担任 “ 助理工作 ” 的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3. P(X 0) 130， P(X 1) 310， P(X 2) 12， P(X 3) 16， 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 130 310 12 16 所以 X 的数学期望 E(X) 0 130 1 310 2 12 3 16 95. 4 在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 90 ， 2面 平面 (1)求证： 平面 (2)求平面 平面 成的二面角 (小于 90) 的大小； (3)在棱 是否存在点 M 使得 平面 存在，求 不存在，请说明理由 (1)证明 因为 90 ， 所以 因为平面 平面 平面 平面 平面 所以 平面 4 (2)解 如图，取 中点 O，连接 因为 以 因为平面 平面 平面 平面 面 所以 平面 以 O 为原点， 在的直线为 x 轴，在平面 过 O 垂直 于 直线为 y 轴， 在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O 不妨设 2. 由 2得， P(0,0， 3)， D( 1,1,0)， A(1,2,0) 所以 (1， 1， 3)， (2,1,0) 设平面 法向量为 m (x， y， z) 因为 m 0，m 0，所以 x y 3z 0，2x y 0. 令 x 1，则 y 2， z 3. 所以 m ( 1,2， 3) 取平面 一个法向量 n (0,1,0) 所 以 m， n m n|m| n| 22 . 所以平面 平面 成的二面角 (小于 90) 的大小为 4. (3)解 在棱 存在点 M 使得 平面 时 12. 取 中点 N，连接 则 12因为 2 所以 因为 所以四边形 平行四边形， 所以 因为 N， A， 所以平面 平面 5 因为 面 所以 平面 1 中档大题保分练 (三 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 1 已知向量 m (x,1)， n 3x， x (A0)，函数 f(x) m n 的最大值为 6. (1)求 A； (2)将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 0， 524 上的值域 解 (1)f(x) m n 3x x A 32 x 12x 2x 6 . 因为 A0，由题意知 A 6. (2)由 (1)得 f(x) 6 2x 6 . 将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位后得到 y 6 2 x 12 6 6 2x 3 的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 12，纵坐标不变，得到 y 6 4x 3 的图象 因此 g(x) 6 4x 3 . 因为 x 0， 524 ， 所以 4x 3 3 ， 76 ， 故 g(x)在 0， 524 上的值域为 3,6 2 某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 (单位： 跳高成绩在 175 上 (包括 175 义为 “ 合格 ” ，成绩在 175 下定义为 “ 不合格 ” 鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员， 学校决定只有乙队中 “ 合格 ” 者才能参加市运 2 动会开幕式旗林队 (1)求甲队队员跳高成绩的中位数； (2)如果从所有的运动员 中用分层抽样共抽取 “ 合格 ” 与 “ 不合格 ” 的人数共 5 人，则各抽取多少人？ (3)若从所有 “ 合格 ” 运动员中选取 2 名，用 X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望 解 (1)中位数 176 1782 177 (2)根据茎叶图，有 “ 合格 ”12 人， “ 不合格 ”18 人， 用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是 530 16， 所以选中的 “ 合格 ” 有 12 16 2 人， “ 不合格 ” 有 18 16 3 人 (3)依题意， X 的取值为 0,1,P(X 0) 8661433， P(X 1) 32661633， P(X 2) 66111. 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 P 1433 1633 111 E(X) 0 1433 1 1633 2 111 2233 23. 3 如图，四棱锥 P ， 底面 直角梯形， 90 ， 在棱 ， 且 2 3 (1)求证： 平 面 (2)求二面角 A D 的余弦值 (1)证明 以 B 为原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴， 在直线为 z 轴，建立如图所示坐标系 设 1，则 B(0,0,0)， C(2,0,0)， D(1,1,0)， A(0,1,0)， P(0,0,1)， E 0， 23， 13 ， ( 1,1,0)， (0,0,1)， (1,1,0) 0，即 0，即 又 B， 平面 (2)解 设平面 法向量 n (x， y,1)， 0， 23， 13 n 0 n 0 23y13 0x y 0 n 12， 12， 1 ， 又平面 法向量为 ，设二面角的平面角为 ， n|n| 12 32 66 . 即二面角 A D 的余弦值为 66 . 4 已知数列 一个公差大于零的等差数列，且 55， 16，数列 前 n，且 22. (1)求数列 通项公式； (2)设 比较 1的大小，并予以证明 解 (1)依题意，设等差数列 公差为 d(d0)， 则有 2d 5d 55 27d 16 4 将 代入 得 (16 3d)(16 3d) 220， 即 4， d0， d 2， 1， 2n 1， 当 n 1 时， 22， 2， 当 n2 时， 1 (22) (21 2) 221， 21. 以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 即 2n. (2)2n 12n ， 12 322 2n 12n 1222323 2n 32n 2n 12n 1 得， 1212 222 223 22n 2n 12n 1 12 12 122 12n 1 2n 12n 1 12121 12n 11 12 2n 12n 1 32 2n 32n 1 3 2n 32n . 41 3 2n 32n 41 nn 2nn n ， 要比较 1的大小， 只需比较 2n 1 的大小即可 由 223 1,2424 1， 可猜想当 n3 时， 2n2n 1. 证明如下： 1 当 n 3 时，显然 成立 2 假设 n k(k3) 时，猜想成立，即 2k2k 1， 当 n k 1 时， 2k 1 22 k2(2k 1) 4k 2 2(k 1) 1 (2k 1)2(k 1) 1. 当 n k 1 时，猜想也成立 5 由 1 ， 2 知，对一切 n3 的正整数，都有 2n2n 1. 综上，当 n 1,2 时， 1. 1 中档大题保分练 (二 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 1 已知函数 f(x) 32 x 12( 1， x R，将函数 f(x)向左平移 6 个单位后得到函数 g(x)，设 个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c. (1)若 c 7， f(C) 0， 3，求 a 和 b 的值； (2)若 g(B) 0 且 m (， )， n (1， )，求 m n 的取值范 围 解 (1)f(x) 32 x 12x 1 2x 6 1 g(x) 2 x 6 6 1 2x 6 1 由 f(C) 0， 2C 6 1. 00 知 ， 对 令 m 1，得 lg n， 2n. (2)13 13 18 19 ( 19) ( 18) 5 23 0191 2 81 0061 23 2081 006 67 . 1 中档大题保分练 (五 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 1 已知向量 m (x， 1)， n (x,3) (1)当 m n 时，求 x x 2 (2)已知在锐角 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， 3c 2 B)，函数 f(x) (m n) m，求 f B 8 的取值范围 解 (1)由 m n，可得 3x x，于是 x 13， x x 2x x 13x 2 13 13 13 2 29. (2)在 ， A B C，于是 B) ， 由正弦定理知： 3 2， 0 ， 32 . 又 锐角三角形， A 3 ，于是 60(n N*)，且 5，又 (1)求数列 通项公式； (2)求数列 前 n 项和 解 (1) 3n 1(n N*)， 1， 3， 9， 在等差数列 ， 15， 5. 又 设等差数列 公差为 d， (1 5 d)(9 5 d) 64，解得 d 10 或 d 2， (n N*)， 舍去 d 10，取 d 2， 3， 2n 1(n N*) (2)由 (1)知， 31 53 73 2 (2n 1)3n 2 (2n 1)3n 1， 333 53 2 73 3 (2n 1)3n 1 (2n 1)3 n， 得 231 23 23 2 23 3 23 n 1 (2n 1)3n 3 2(3 32 33 3n 1) (2n 1)3n 3 2 3 33 (2n 1)3n 3n (2n 1)3n 2n3 n， n3 n. 3 甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下： 连续竞 猜 3 次，每次相互独立； 每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为 a，再由乙猜甲写的数字，记为 b，已知 a，b0,1,2,3,4,5 若 |a b|1 ，则本次竞猜成功； 在 3 次竞猜中，至少有 2 次竞猜成功，则两人获奖 (1)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率； (2)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏，这 6 人中仅有 2 对双胞胎，记选出的4 人中含有双胞胎的对数为 X，求 X 的分布列和期望 解 (1)记事件 A 为甲乙两人一次竞猜成功， 则 P(A) 6 1016 49， 则甲乙两人获奖的概率为 P 1 ) ) 3 1 49 0 59 3 49 1 59 2 304729. (2)由题意可知 6 人中选取 4 人，双胞胎的对数 X 取值为 0,1,2， 则 P(X 0) 12415， P(X 1) 23， P(X 2) 15， 分布列如下： X 0 1 2 P 415 23 115 E(X) 0 415 1 23 2 115 45. 4 已知正三棱柱 2， 3，点 D 为 中 点，点 E 在线段 (1)当 12 时，求证： (2)是否存在点 E，使二面角 D A 等于 60 ？ 若存在，求 长；若不存在，请说明理由 (1)证明 连接 因为 所以 正三角形， 又因为 D 为 中点， 所以 又平面 平面 平面 平面 所以 平面 所以 因为 12 ， 2， 3， 所以 33 ， 1， 所以在 ， 30 ， 在 60 ， 所以 90 ，即 又 D， 4 所以 平面 以 (2)解 假设存在点 E 满足条件，设 h. 取 1，连接 平面 所以 分别以 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 D 则 A(1,0,0)， B(0， 3， 0)， E(1,0， h)， 所以 (0， 3， 0)， (1,0， h)， ( 1， 3， 0)， (0,0， h)， 设平面 一个法向量为 ( 则 0 0， 300， 令 1，得 ( h,0,1)， 同理，平面 一个法向量为 ( 则 0 0， 30，0.取 1， ( 3， 1,0) | 3h|12 0 12. 解得 h 22 3， 故存在点 E，当 22 时，二面角 D A 等于 60. 1 中档大题保分练 (六 ) (推荐时间： 50 分钟 ) 1 如图，在平面直角坐标系 ，点 A 在 x 轴正半轴上，直线 倾斜角为 34 ， | 2，设 ， 2 ， 34 . (1)用 表示点 B 的坐标及 | (2)若 43，求 的值 解 (1)由题意，可得点 B 的坐标为 (2 ， 2 ) 在 ， | 2， 4 ， B 4 34 . 由正弦定理，得 |OB| 4 |OA|， 即 | 2 2 34 . (2)由 (1)，得 | | 4 2 34 . 因为 43， 2 ， 34 ， 所以 45， 35. 又 34 4 4 22 35 22 45 210， 故 4 2 210 35 1225. 2 如图，已知斜三棱柱 面 菱形，且 60 ， M 是 (1)求证： 平面 (2)求二面角 C 的余弦值 (1)证明 侧面 60 ， 又 点 M 为 已知 2 又 A， 平面 (2)解 如图建立空间直角坐标系， 设菱形 ， 得 ， 1， 3)， A(0,2,0)， C( 3， 1,0)， ,1， 3) 则 (0,1， 3)， (0,2,0)， (0， 1， 3)， ( 3， 1,0) 设面 ( 由 ， 1得， 20，30， 令 1，得 (1,0,0) 设面 法向量 ( 由 ， 得 30，30.令 3，得 ( 1， 3， 1)， 得 n2| 11 5 55 . 又二面角 C 为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 55 . 3 某班体育课进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：每位同学有 4 次投篮机会，其中一次在三分线外投篮，投中得 3 分，不中不得分，其余 3 次在罚球线外投篮，每投中一次得 1分，不中不得分，已知某位同学在三分线外投篮命中的概率为 12，且在比赛中得 6 分的概率为 427. (1)求该同学在罚球线外投篮命中的概率； (2)求该同学参加比赛所得分数 X 的分布列及数学期望 解 (1)设该同学在罚球线外投篮