人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > （江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇 理（含解析）（打包8套） 苏教版
（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第51讲 立体几何中的向量方法(2)——求空间角与距离》理（含解析） 苏教版.doc
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（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇 理（含解析）（打包8套） 苏教版,江苏,专用,高考,数学,复习,温习,基础,达标,演练,综合,创新,立异,备选,第八,解析,打包,苏教版
- 内容简介：
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1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第八篇第 44 讲 平面的基本性质与空间两直线的位置关系（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1给出下列四个命题： 经过三点确定一个平面； 梯形可以确定一个平面； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 其中正确命题的序号为 _ 解析 错误， 正确 答案 2给出下列四个命题： 没有公共点的两 条直线平行； 互相垂直的两条直线是相交直线； 既不平行也不相交的直线是异面直线； 不同在任一平面内的两条直线是异面直线 其中正确命题的序号是 _ 解析 没有公共点的两条直线也可能异面，故命题 错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题 错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题 、 正确 答案 3已知 a， b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a， b 在 上的射影有可能是： 两条平行直线； 两条互相垂直的直线； 同一条直线； 一条直线及 其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 _(写出所有正确结论的编号 ) 解析 只有当 a b 时， a， b 在 上的射影才可能是同一条直线，故 错，其余都有可能 答案 2 4 (2011 苏州调研 )已知 、 是两个不同的平面，直线 a ，直线 b ，命题 p： a与 b 没有公共点，命题 q： ，则 p 是 q 的 _条件 解析 当 a， b 都平行于 与 的交线时， a 与 b 无公共点，但 与 相交当 时， a 与 b 一定无公共点，所以 qp，但 p/ q. 答案 必要不充分 5 (2011 南通调研 )若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则给出四个命题： 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行； 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直； 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交； 过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面； 上述命题中正确的是 _(填序号 ) 解析 对于 ，若过点 P 有直线 n 与 l， m 都平行，则 l m，这与 l， m 异面矛盾 对于 ，过点 P 与 l、 m 都垂直的直线，即过 P 且与 l、 m 的公垂线段平行的那一条直线 对于 ，过点 P 与 l、 m 都相交的直线有一条或零条 对于 ，过点 P 与 l、 m 都异面的 直线可能有无数条 答案 6在正方体 E， F 分别是 以下结论： 直； 中不成立的序号是 _ 解析 连结 以 ， ， 正确， 错 答案 7给出下列命题： 如果平面 与平面 相交，那么它们只有有限个公共点； 两个平面的交线可能是一条线段； 经过空间任意三点的 平面有且只有一个； 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面 其中，正确命题的序号为 _ 解析 根据平面基本性质 3 可知，如果两个平面相交，则它们有无数个公共点，并且这些公共点在同一条直线 两个平面的交线上，故 都不正确；由平面的基本性质 2 可知，经过不共线的三个点有且只有一个平面，若三点共线，则经过这三点的平面有无数个，所以 不正确， 正确 3 答案 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8如图所示，在正方体 E、 F 分别是棱 证： 12证明 连接 四边形 平行四边形， 在 E、 F 分别是 1 12 有 129如图，平面 平面 边形 是直角梯形， 90 ， 12 12G、 H 分别为 中点 (1)求证：四边形 平行四边形； (2)C、 D、 F、 E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由题设知， 以 C 綉 12 所以四边形 平行四边形 (2)解 C、 D、 F、 E 四点共面理由如下： 由 12G 是 中点知， 所以四边形 平行四边形 所以 由 (1)知 以 面又点 D 在直线 ，所以 C、 D、 F、 E 四点共面 4 10在空间四边形 ，已知 1， 3，且 132 ， 32 ，求 D 所成的角 解 如图，取 中点 E， G， F， H，连接 则 其补角 )为 成的角 且 12134 ， 1234 . 1. 在 ， 1， 90. 成的角为 90. B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1在正方体 O 是 线 平面 ，给出下列四个结论： M、 O 三点共线； M、 O、 A 四点共面； A、 O、 C、 M 四点共面； B、 O、 M 四点共面 其中正确结论的序号是 _ 解析 因为 O 是 正方体的性质知， O 也是 中点，所以点 O 在直线 ，又直线 平面 ，则 M、 O 三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以 正确 答案 2 a， b， c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： 若 a b， b c，则 a c； 若 a b， b c，则 a c； 若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； 若 a平面 ， b 平面 ，则 a， b 一定是异面直线； 若 a， b 与 c 成等角，则 a b. 5 上述命题中正确的命题是 _(只填序号 ) 解析 由公理 4 知 正确； 当 a b， b c 时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故 不正确； 当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故 不正确； a ， b ，并不能说明 a 与 b“ 不同在任何一个平面内 ” ，故 不正确； 当 a， b 与 c 成等角时， a 与 b 可以相交 、平行，也可以异面，故 不正确 答案 3已知线段 别在两条异面直线上， M、 N 分别是线段 中点，则 C 填 “ ” ， “ ” 或 “ ”) 解析 如图所示，四边形 空间四边形，而不是平面四边形，要想求 关系，必须将它们转化到平面来考虑我们可以连接 中点为 G，再连接 ， M、 G 分别是线段 中点，则 12理，在 ， 12根据三角形的三边关系知， 121212( 答案 4如图是正四面体的平面展开图， G、 H、 M、 N 分别为 中点，在这个正四面体中， 行； 异面直线； 60 角； 直 以上四个命题中，正确命题的序号是 _ 解析 还原成正四面体知 异面直线， 异面直线， 60 角，答案 6 5如图，点 P、 Q、 R、 S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 _ 解析 中 中 中 交 答案 6在棱长为 1 的正方体 1 E， F 分别是棱 0 12 ，设 成的角为 ，与 成的角为 ，则 的最小值_ 解析 当 ， 45 ， 90 即为 a 的最小值，故填 90. 答案 90 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7如图所示，正方体 截面 点， 于 M 点，求证：O， M 三点共线 证明 平面 且 平面 1 又 M M 平面 M M 平面 M 也是平面 平面 O 为 截面 O 平面 O 平面 O 也是两平面的公共点， O 直线 O， M 三点共线 8如图，在空间四边形 ， E、 F 分别是 中点， G、 H 分别在 ，且1 2. 7 (1)求证： E、 F、 G、 H 四点共面； (2)设 于点 P，求证： P、 A、 C 三点共线 证明 (1)在 ， E、 F 为 点， 在 ， 1 2， E、 F、 G、 H 四点共面 (2) P， P P P 面 P 面 面 P 直线 P、 A、 C 三点共线 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第八篇第 45 讲 线面平行与面面平行（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1若直线 m平面 ，则条件甲： “ 直线 l ” 是条件乙： “ l m” 的 _条件 答案 既不充分也不必要条件 2在梯形 ， 面 ， 面 ，则直线 平面 内的直线的位置关系只能是 _ 解析 因为 面 ， 面 ，所以 平面 ，所以 平面 内的直线可能平行，也可能异面 答案 平行或异面 3 (2011 山东泰安模拟 )设 m、 n 表示不同直线， 、 表示不同平面，给出下列四个结论： 若 m ， m n，则 n ； 若 m ， n ， m ， n ，则 ； 若 ， m ， m n，则 n ； 若 ， m ， n m， n ，则 n . 其中正确结论的序号是 _ 解析 选项不正确， n 还有可能在平面 内； 选项不正确，平面 还有可能与平面 相交； 选项不正确， n 也有可能在平面 内，选项 正确 答案 4已知直线 a 不平行于平面 ，给出下列四个结论： 内的所有直线都与 a 异面； 内不存在与 a 平行的直线； 内的直线都与 a 相交； 直线 a 与平面 有公共点 以上正确命题的序号 _ 解析 因为直线 a 不平行于平面 ，则直线 a 与平面 相交或直线 a 在平面 内，所以选项 、 、 均不正确 答案 5已知直线 a， b 和平面 ，给出下列四个结论： 2 a b a b； a a b b ； a a 或 a ； a b a b. 以上正确结论的序号是 _ 解析 当 a ， b 在 内时， a 与 b 的位置关系是平行或异面，故 不正确 答案 6 (2011 济宁一模 )过三棱柱 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 直线共有 _条 解析 过三棱柱 任意两条棱的中点作直线，记 中点分别为 E， F， 直线 符合题意的直线共 6 条 答案 6 7已知 a、 b、 c 为三条不重合的直线， 、 、 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出下列六个命题： a c a b； a b a b； c ； c a ； ； a a . 其中正确的命题是 _(将正确命题的序号都填上 ) 解析 中 a、 b 的位 置可能相交、平行、异面； 中 、 的位置可能相交 答案 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8如图所示，两个全等的正方形 在平面相交于 M N N，求证： 平面 证明 过 M 作 点 G，如图所示，连接 面 面 3 平面 又 同样可证明 平面 又 G， 平面 平面 又 面 平面 9 ( )如图所示，正方体 M、 N 分别为 E、 F 分别为 1 (1)求证：四边形 梯形； (2)求证：平面 平面 思路分析 第 (1)问只需证 12 (2)问只需证 证明 (1)连接 在 E、 F 分别是 边形 12 四边形 梯形 (2)在 M、 N 分别为 (1)，知 在正方形 F 为 M 为 而正方体的侧面 四边形 平行四边形， 又 M， F， 平面 平面 【点评】 本题较好体现了转化与化归思想，此思想在立体几何中较为常见，立体几何中的平行关系和垂直关系都蕴含着线线关系 线面关系 面面关系的转化，解题时要注重灵活应用 . 10如图，在直棱柱 ，底面 直角梯形， 90 ， 22 ， 使得 平面 证明你的结论 解 存在点 P， P 为 证明如下：由 P 为 12又 12 四边形 平行四边形，从而 又 面 面 平面 同理， 平面 B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2011 蚌埠二模 )设 m， n 是平面 内的两条不同直线； 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是 _ 解析 由于 且由 m 可得 ，同理可得 故可得 ，充分性成立，而由 不一定能得到 m，它们也可以异面，故必要性不成立，故填 m n 答案 m n 在下面四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 平 面 图形序号是 _ 解析 由线面平行的判定定理知图 可得出 平面 答案 3 (2011 汕头质检 )若 m、 n 为两条不重合的直线， 、 为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是 _ 5 若 m、 n 都平行于平面 ，则 m、 n 一定不是相交直线； 若 m、 n 都垂直于平面 ，则 m、 n 一定是平行直线； 已知 、 互相平行， m、 n 互相平行，若 m ，则 n ； 若 m、 n 在平面 内的射影互相平行，则 m、 n 互相平行 解析 为假命题 ， 为真命题，在 中， n 可以平行于 ，也可以在 内，故是假命题，在 中， m、 n 也可能异面，故为假命题 答案 4对于平面 M 与平面 N，有下列条件： M、 N 都垂直于平面 Q； M、 N 都平行于平面 Q； M 内不共线的三点到 N 的距离相等； l， m 为两条平行直线，且 l M， m N； l， m 是异面直线，且 l M， m M； l N， m N，则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件是 _(填正确结论的序号 ) 解析 由面面平行的判定定理及性质定理知，只有 能判定 M N. 答案 5设 空间四边形，顺次连 结各边中点得四边形 出在下列条件下四边形 (1)若 空间任意四边形，则四边形 _； (2)若 四边形 _； (3)若 四边形 _ 答案 (1)平行四边形 (2)矩形 (3)正方形 6如图，两个正方形 在平面互相垂直，设 M， N 分别是 中点，那么： 平面 面， 其中正确结论的序号是 _ 答案 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7如图所示，正方体 ，直线 l 是平面 下底面 在平面的交线 求证： l 平面 证明 平面 平面 平面 平面 面 平面 l， l 1 l 又 l平面 平面 l 平面 8如图，三棱柱 面为正三角形，侧棱 底面 E、 F 分别是棱 M 是线段 的动点， 2当点 M 在何位置时， 平面 解 法一 如图，取 中点 O，连接 点 O 作 点 M. 侧棱 底面 侧面 底面 底面 又 2 12 四边形 矩形， 又 故 平面 时点 M 为 中点 法二 如图，取 中点 P， 中点 Q，连接 2 平面 平面 又 P， 7 平面 平面 又 平面 故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 中点 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第八篇第 46 讲 直线与平面垂直（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1如图， 圆 O 的直径， 直于圆 O 所在的平面， C 是圆周上不同于 A， B 的任一点，则图形中有 _对线面垂直 解析 由题可知 平面 因为 以 平面 有 2 对线面垂直 答案 2 2若 M 是 线段 中点， A， B 到平面 的距离分别是 4 6 M 到平面 的距离为 _ 解析 当 A， B 在平面 同一侧，点 M 到 距离为 12(4 6) 5(当 A， B 在平面 两侧，点 M 到 距离为 12(6 4) 1( 答案 5 1 在矩形 ， 3， 4， 平面 1， E 为垂足，则 _ 答案 135 4 P 为 在平面外一点， O 为 P 在平面 的射影 (1)若 O 点是 _心； (2)若 点 O 是 _心； (3)若 C 两两互相垂直，则 O 点是 _心 答案 外 垂 垂 5 (1)三角形的一边 平面 内， l ，垂足为 A， AP 在 l 上滑动，点 P 不同于A，若 直角，则 _三角形； (2)直角三角形 斜边 平面 内，直角顶点 P 在平面 外， P 在平面上的射影为A，则 _三角形 (填 “ 锐角 ”“ 直角 ” 或 “ 钝角 ”) 解析 (1)如图， 平面 2 90 平面 90. (2)如图， 以 钝角 答案 (1)直角 (2)钝角 6已知平面 ， 和直线 m，给出条件： m ； m ； m ； ； _时，有 m (填序号 ) 答案 7如图，在正方形 E， F 分别是 D 是 中点，现沿 F 把这个正方形折成一个几何体，使 ，这样，下列五个结论： 平面 平面 平面 平面 平面 其中正确的是 _(填序号 ) 解析 两垂直，易推得 成立； 证 成立 答案 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8如图，在空间四边形 S ， 平面 90 ， N， (1) (2)平面 证明 (1)由 平面 又 A， 故 平面 因为 面 以 (2)由 B， 所以 平面 3 又 面 以 又 A， 所以 平面 9 (2011 泰州学情调查 )如图所示，四棱锥 P底面是一直角梯形， D 2底面 E 为 中点 (1)证明： 平面 (2)若 明： 平面 (1)证明 取 点 Q，连接 因为 所以 又 12边形 平行四边形， 所以 Q平面 以 平面 (2)因为 底面 以 又 以 平面 所以 若 Q 为 点所以 所以 平面 因为 以 平面 10 (2011 泰州模拟 )在四面体 ， 面 平面 E、 C 和 中点 (1)求证： 平面 (2)求证： (3)若 的点 G 满足 平面 设点 G 构成集合 T，试描述点集合 T 的位置 (不 4 必说明理由 ) 解 (1)连接 ， E 为 中点， 所以 又平面 平面 面 平面 平面 所以 平面 (2)连接 为 E 为 中点， 所以 1)知 E， 面 以 平面 又 面 所以 (3)取 中点 M、 N，所有的点 G 构成的集合 T 即为 中位线 B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2011 南京模拟 )已知 l， m 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题： 若 l ， m ， l ， m ，则 ； 若 l ， l ， m，则 l m； 若 ， l ，则 l ； 若 l ， m l， ，则 m . 其中真命题是 _(写出所有真命题的序号 ) 解析 中 l 与 m 相交时成立； 中当 l 时成立， 正确 答案 2 (2011 苏州调研 )设 ， 为两个不重合的平面， m， n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题； 若 m n， m ， n ，则 n ； 若 ， m， n ， n m，则 n ； 若 m n， m ， n ，则 ； 若 n ， m ， 与 相交且不垂直，则 n 与 m 不垂直 其中，所有真命题的序号是 _ 5 解析 正确； 错误， ， 相交或平行； 错误 m 与 n 可以垂直，不妨令 n ，则在 内存在 m n. 答案 3 (2011 泰州模拟 )设 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，则下列四组条件中所有能推得 a b 的条件是 _(填序号 ) a ， b ， ； a ， b ， ； a ， b ， ； a ，b ， . 解析 由 /a b，由 或 或 均可推出 a b. 答案 4已知 P 为 在平面外一点，且 两垂直，则下列命题： 其中正确的个数是 _ 解析 如图所示 P， 平面 又 面 同理 B 不一定垂直于 答案 3 个 5 (2011 无锡期末 )在正方体 M 为 于点 O，则 的角为 _ 解析 如图，容易证明 平面 以平面 平面 而 平面 2，则在 ， 6， 3， 3，所以 0. 答案 90 6如图， 圆 O 所在的平面， 圆 O 的直径， C 是圆 O 上的一点， E、 F 分别是点 A 在的正投影，给出下列结论： 6 平面 其中正确结论的序号是 _ 解析 由题意知 平面 C A， 平面 C， 平面 又 A， 平面 正确 答案 二、解答题 (每小题 15 分，共 30 分 ) 7 ( )(2011 扬州调研 )如图，在平行四边形 ， 方形 在的平面和平面 直，点 H 是 中点，点 G 是 交点 (1)求证： 平面 (2)求证： 平面 证明 (1)因为 G 是 交点， 所以 G 是 中点 又 H 是 中点， 所以在 ， 因为 所以 又 面 面 所以 平面 (2)平面 平面 线为 因为 面 所以 平面 所以 又 D， 7 所以 平面 【点评】 解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有：第一步：根据条件合理转化 清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分 出结论 (2011 扬州调研 )在正三棱柱 D 是 中点， (1)求证： 平面 (2)试在棱 ，使 (1)证明 连接 ，连接 因为 O， D 分别是 中点， 所以 因为 面 面 所以 平面 (2)M 为 证明如下： 因为在正三棱柱 1 所以四边形 因为 M 为 D 是 中点， 所以 所以 又 2 ， 2 ， 所以 因为 正三角形， D 是 中点， 所以 因为平面 平面 面 平面 面 8 所以 平面 因为 面 以 因为 D，所以 平面 因为 面 以 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第八篇第 47 讲 平面与平面垂直（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题： 若 m n，n ，则 m ； 若 m ， n m，则 n ； 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ，则 ，其中正确的是 _(填序号 ) 答案 2 (2011 山东省实验中学模拟 )已知 a， b， l 是不同的直线， ， 是不重合的平面，有下列命题： 若 a ， ，则 a ； 若 a ， a b，则 b ； 若 a b， l ，则 l b； ， ，则 . 以上命题正确的个数是 _ 解析 a 也成立； 不正确； l 与 a， b 没有任何关系； 显然不正确 答案 0 3 (2011 盐城调研 )已知命题： “ 若 x y， y z，则 x z” 成立，那么字母 x， y， z 在空间所表示的几何图形有可能是： 都是直线； 都是平面； x， y 是直线， z 是平面； x，z 是平面， y 是直线上述判断中，正确的有 _(填序号 ) 解析 对于 ，当 x y， y z 时，只能确定直线 x 垂直于平面 z 中的一条直线 (该直线与 ，不符合线面垂直的条件 答案 4 (2011 南通调研 )设 ， 是空间两个不同的平面， m， n 是平面 及 外的两条不同直线从 “ m n； ； n ； m ” 中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： _(填序号 ) 解析 因为当 n ， m 时，平面 及 所成的二面角与直线 m， n 所成的角相等或互补，所以若 m n，则 ，从而由 ；同理若 ， 则 m n，从而由 . 答案 或 5 (2011 山东省日照调研 )已知直线 l， m，平面 ， ，且 l ， m ，给出四个命题： 若 ，则 l m； 若 l m，则 ； 若 ，则 l m； 若 l m，则 2 其中真命题的序号是 _ 解析 由 l ， ，得 l ，所以 正确； 与 不正确；由 l m， l ，得 m ，又 m ，所以 ，即 正确 答案 6 (2011 山东省济宁模拟 )已知 a、 b 为直线， 、 为平面在下列四个命题中， 若 a ， b ，则 a b； 若 a ， b ，则 a b； 若 a ， a ，则 ； 若 b ， b ，则 . 正确命题的序号是 _ 解析 由 “ 垂直于同一平面的两直线平行 ” 知 真；由 “ 平行于同一平面的两直线平行或异面或相交 ” 知 假；由 “ 垂直于同一直线的两平面平行 ” 知 真；易知 假 答案 7 (2011 山东省青岛模拟 )已知直线 l， m，平面 ， ，且 l ， m ，则 是l m 的 _条件 解析 若 l ， ，则 l ，又 m ，所以 l m，充分性成立反 之不成立，故 是 l m 的充分不必要条件 答案 充分不必要 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8 (2011 盐城调研 )在如图所示的多面体中，已知正三棱柱 ，四边形 菱形 (1)求证：平面 平面 (2)求该多面体的体积 解 (1)由正三棱柱 1 而四边形 菱形，所以 又 面 B， 所以 平面 则由 面 得平面 平面 (2)因为正三棱柱 1S 2 3， 四棱锥 D 体积为 3 13S 四边形 12 4 33 ， 所以该多面体的体积为 V 10 33 . 9 (2011 苏北四市调研 )在直角梯形 ， 24， 3， E 为 点，过 E 作 足为 F，如图 ，将此梯形沿 成一个直二面角 A，如图 . (1)求证： 平面 (2)求多面体 体积 图 图 解 (1)连接 点 O，取 点 P，连结 得 12 12以 以四边形 平行四边形，所以 面 面 以 平面 (2)二面角 A 为直二面角，且 以 平面 又 面 以 又 E， 所以 平面 以 三棱柱 C高， 同理可证 四棱锥 C高， 所以多面体 体积 V 13 12222 13 12(1 2)22 103. 10 (2011 南通调研 )如图，在三棱柱 (1)若 证：平面 平面 4 (2)设 D 是 中点， E 是 平面 解 (1)因为 以侧面 以 1C B， 所以 平面 又 面 以平面 平面 (2)设 ，连接 平面 平面 因为 平面 面 以 所以 又因为 12，所以 12. B 级 综合创新备选 (时间： 30 分钟 满分： 60 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 1 (2011 山东省临沂模拟 )已知三条不重合的直线 m， n， l 两个不重合的平面 ， ，有下列命题 若 l ， m ，且 ，则 l m； 若 l ， m ，且 l m，则 ； 若 m ， n ， m ， n ，则 ； 若 ， m， n ， n m，则 n ，其中真命题的序号是 _ 解析 不正确 由条件，可得 l ， l ，所以 ， 正确 不正确 由面面垂直的性质知正确 答案 2已知 ， 表示两个不同的平面， a， b 表示两条不同的直线，则： a ， b ； a ， b ， ； ， a ， b ； a ， b ， ，其中是 a b 的一个充分条件的为 _ 解析 由 a ， b ， ，得 a ， b ，所以 a b，故应填 . 答案 3设 a， b， c 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则对于下列条件： a c，b c； ， a ， b ； a ， b ； a ， b ，其中是 a b 的一个充分不必要条件的是 _ 解析 若 a ， b ，则 a b，反之显然不成立，故应填 . 答案 4如图，在长方形 ， 2， 1， E 为 中点， F 为线段 点除外 )上一动点现将 起，使平面 平面 过点 D 作 K 为垂足设 t，则 t 的取值范围是 _ 5 解析 过 K 作 M 点，连结 得 折前的图形对比，可知由折前的图形中 D、 M、 K 三点共线且 于是由 以 1以 t 1又 (1,2)，故 t 12， 1 . 答案 12， 1 5如图， 圆 O 的直径，点 C 在圆周上 (异于点 A， B)，直线 直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 中点有以下四个命题： 平面 平面 平面 平面 平面 其中正确的命题是 _(填上所有正确命题 的序号 ) 解析 因为 面 可能 平面 错误；因为 M、 O 分别为 中点，所以 面 正确又圆的直径可知 平面 以 以 平面 空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以可能与平面 直，故 错误；由 可知 平面 面 以平面 平面 正确 答案 6给出下列命题： 在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行； 设 l， m 是不同的直线， 是 一个平面，若 l ， l m，则 m ； 已知 ， 表示两个不同平面， m 为平面 内的一条直线，则 “ ” 是 “ m ” 6 的充要条件； 若点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心； a， b 是两条异面直线， P 为空间一点，过 P 总可以作一个平面与 a， b 之一垂直，与另一个平行 其中正确的命题是 _(只填序号 ) 解析 不正确 正确 既不充分又不必要 由从同一点引出的斜线相等射影相等可知 正确 不正确，故 正确 答案 二、解答题 (每小题 15 分， 共 30 分 ) 7 (2011 苏锡常镇扬五市调研 )在菱形 ， A 60 ，线段 中点是 E，现将 起到 位置，使平面 平面 直，线段 中点是 G. (1)证明：直线 平面 (2)判断平面 平面 否垂直，并证明你的结论 解 (1)延长 交于点 H，连接 因为菱形 E 为 中点，所以 12所以 B 为 中点 因为 G 为线段 中点，所以 因为 面 面 所以直线 平面 (2)垂直证明如下： 由菱形 A 60 ，得 正三角形， 因为 E 为 中点，所以 所以 因为平面 平面 直，且这两个平面的交线是 平面 ，所以 面 因为 面 以平面 平面 直 8 (2011 南京模拟 )如图，在棱长均为 4 的三棱柱 D、 C 和 7 (1)求证： 平面 (2)若平面 平面 60 ，求三棱锥 体积 解 (1)如图，连接 在三棱柱 因为 D， C 与 所以 所以四边形 所以 又因为 所以 所以四边形 平行四边形 所 以 又 面 面 故 平面 (2)法一 在 ，因为 D 为 中点，所以 因为平面 平面 线为 面 所以 平面 三棱锥 A高 在 ，由 4，得 2 3. 在 ， 4， 60 ， 所以 面积 S 34 4 2 4 3. 所以三棱锥 体积，即三棱锥 A体积 V 13 S 134 32 38. 法二 在 ，因为 60 ， 所以 正三角形，因此 因为平面 平面 面 平面 8 面 三棱锥 高 在 ，由 4，得 面积 S 34 4 2 4 3. 在 ，因为 4， 60 ，所以 2 3. 所以三棱锥 体积 V 13 S 134 32 3 8. . 1 2013 高考总复习江苏专用（理科）：第八篇第 48 讲 空间几何体的表面积与体积（基础达标演练 +综合创新备选，含解析） A 级 基础达标演练 (时间： 45 分钟 满分： 80 分 ) 一、填空题 (每小题 5 分，共 35 分 ) 1 (2011 常州模拟 )在三棱锥 S，面 是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形，且 2，则三棱锥 S表面积是 _ 解析 设侧棱长为 a，则 2a 2， a 2，侧面积为 3 12 3，底面积为 34 2 2 3，表面积为 3 3. 答案 3 3 2 (2010 湖北 )圆柱形容器内盛有高度为 8 水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同 )后，水恰好淹没最上面的球 (如图所示 )，则球的半径是 _解析 设球的半径为 r 43 r 4 答案 4 3 (2010 苏 州模拟 )如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是 _ 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 32 ，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 22 ，所以体积 V 1311 22 26 . 答案 26 4 (2011 扬州模拟 )如图所示，已知三棱柱 1，且 底面 三棱锥 _ 2 解析 三棱锥 棱锥 A2 ，底面积为 12，故其体积为 13 12 32 312. 答案 312 5某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径 40 盘时直径 120 知卫生纸的厚度为 0.1 满盘时卫生纸的总长度大约是 _m( 取 确到 1 m) 解析 卫生纸总长度为2 2 000 100 480(100(m) 答案 100 6 (2010 苏州模拟 )已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积 V _. 解析 该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成， 因为正方体的棱长为 1，所以 V 正方体 13 1， 因为正四棱锥的棱长全为 1， 所以正四棱锥的底面积为 11 1， 又因为正四棱锥的高为 1 22 2 22 ， 所以此凸多面体的体积 V 1 131 22 1 26 . 答案 1 26 7空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 3 这个点到这个平面的距离，平面 ， ， 两两互相垂直，点 A ，点 A 到平面 ， 的距离都是 3，点 P 是 上的动点，且满足 P 到 的距离是 P 到点 A 距离的 2 倍，则点 的距离的最小值为 _ 解析 由题意，可在平面 建立直角坐标系如图所示，问题变为已知 2 最小值，设 P(x， y)，则有 3 x 2 4 3(x 1)2 1212 ， y 3，所以 3 y3 3，故所求的最小值为 3 3. 答案 3 3 二、解答题 (每小题 15 分，共 45 分 ) 8在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积 解 (1)如图，在四面体 ，设 a， x，取 中点为 P，中点为 E，连接 得到 平 面 13 S 13S 13 S 13 12 a x x2 318且仅当 x 62 a 时取等号 ) 该四面体的体积的最大值为 18(2)由 (1)知， 是边长为 a 的正三角形， 全等的等腰三角形， 4 其腰长为 a，底边长为 62 a， S 表 2 34 2 12 62 a 64 a 2 32 62 a 10 32 15 2 3 154 9一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 15，求这个三棱锥的体积 解 如图所示，正三棱锥 S 设 H 为正 中心，连接 则 长即为该正三棱锥的高 连接 延长交 E， 则 E 为 中点，且 因为 边长为 6 的正三角形， 32 6 3 3，所以 232 3. 在 ， S 121263 3 9 3. 在 ， 15， 2 3， 所以 15 12 3， 故 V 正三棱锥 13S 139 3 3 9. 10如图所示，斜三棱柱 1a
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