（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章课时闯关+随堂检测（含解析）（打包12套）
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（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章课时闯关+随堂检测（含解析）（打包12套）,江苏,专用,年高,数学,复习,温习,第八,课时,闯关,检测,解析,打包,12,十二
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1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第八章第 3 课时 圆的方程 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1过点 A(1， 1)， B( 1,1)，且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 _ 解析：设圆心 C 的坐标为 (a， b)，半径为 r. 圆心 C 在直线 x y 2 0 上， b 2 a. ， ( a 1)2 (2 a 1)2 (a 1)2 (2 a 1)2， a 1， b 1， r 2， 圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 4. 答案： (x 1)2 (y 1)2 4 2已知点 A(1， 1)， B( 1,1)，则以线段 直径的圆的方程是 _ 解析：圆心坐标为 (0,0)， 半径 r 12 1 2 2 2， 圆的方程为 2. 答案： 2 3若不同四点 A(5,0)， B( 1,0)， C( 3,3)， D(a,3)在同一圆上，则实数 a 的值为_ 解析：设经过 A， B， C 三点的圆的方程为 F 0(4F 0)，由题意可得 52 5D F 0， 2 D F 0， 2 32 D 3E F D 4，E 253 ，F 5. A， B， C 三点确定的圆的方程为 4x 253y 5 0. D(a,3)也在此圆上， 9 4a 25 5 0. a 7 或 a 3(舍去 ) 答案： 7 4已知圆 (x 1)2 (y 1)2 1，圆 1关于直线 x y 1 0 对称，则圆 _ 解析：圆 (x 1)2 (y 1)2 1 的圆心为 ( 1,1) 圆 a， b)， 圆 2关于直线 x y 1 0 对称， b 1a 1 1，a 12 b 12 1 0，解得 a 2，b 2， 又圆 ， 圆 x 2)2 (y 2)2 1. 答案： (x 2)2 (y 2)2 1 5 (2012 南京质检 )已知点 M(1,0)是圆 C： 4x 2y 0 内的一点那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是 _ 2 解析：过点 M 的最短的弦与 直，圆 C： 4x 2y 0 的圆心为 C(2,1)， 1 02 1 1， 最短弦所在直线的方程为 y 0 1(x 1)，即 x y 1 0. 答案： x y 1 0 6圆 4x 4y 10 0 上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差是_ 解析：所给圆的圆心坐标为 (2,2)，半径 r 3 2， 圆心到直线 x y 14 0 的距离 d |2 2 14|2 5 2. 所求的最大距离与最小距离的差 (d r) (d r) 2r 6 2. 答案： 6 2 7点 P(0,2)到圆 C： (x 1)2 1 的圆心的 距离为 _，如果 A 是圆 C 上一个动点， 3，那么点 B 的轨迹方程为 _ 解析： P(0,2)到圆 C： (x 1)2 1 的圆心的距离 d 5，设 B(x， y)， A( (x y ( 3， x 3x0，y x2，6 1 2 6 1， 即 (x 2)2 (y 6)2 4. 答案： 5 (x 2)2 (y 6)2 4 8若圆 4x 4y 10 0上至少有三个不同点到直线 l： 0的距离为 2 2，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 _ 解析：圆方程即 (x 2)2 (y 2)2 18，它的圆心为 (2,2)，半径 r 3 2. 由条件得圆心到直线 l 的距离 d |2a 2b|3 2 2 2， 得 2 3 3. 12 2 3， 2 3， 直线 l 倾斜角的取值范围是 12， 512 . 答案： 12， 512 二、解答题 9已知方程 2(t 3)x 2(1 4t2)y 169 0(t R)的图形是圆 (1)求 t 的取值范围 ； (2)求其中面积最大的圆的半径； (3)若点 P(3,4在所给圆内，求 t 的取值范围 解： (1)方程即 (x t 3)2 (y 1 4 (t 3)2 (1 4 169， 76t 1 0， 17 t 1. 故 t 的取值范围是 17， 1 . 3 (2) r 76t 1 7 t 37 2 167 ， 当 t 37 17， 1 时， 47 7. (3)当且仅当 32 (4 2(t 3)3 2(1 44 169 0 时，点 P 在圆内， 8 6t 0，即 0 t 34. 故 t 的取值范围是 0， 34 . 10设 平面直角坐标系 ，设二次函数 f(x) 2x b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)问圆 C 是否经过某定点 (其坐标与 b 无关 )？请证明你的结论 解： (1)令 x 0，得抛物线与 y 轴的交点是 (0， b)， 令 f(x) 0，得 2x b 0，由题意 b0 且 0， 解得 b 1 且 b0. 故 b 的取值范围为 ( ， 0)(0,1) (2)设所求圆的一般方程为 F 0， 令 y 0，得 F 0，这与 2x b 0 是同一个方程，故 D 2， F b， 令 x 0，得 b 0，此方程有一个根为 b，代入 E b 1， 所以圆 C 的方程为 2x (b 1)y b 0. (3)圆 C 必过定点 (0,1)， ( 2,1) 证明如下：将 (0,1)代入圆 C 的方程，得左边 02 12 20 (b 1)1 b 0，右边 0，所以圆 C 必过定点 (0,1)；同理可证圆 C 必过定点 ( 2,1) B 级 能力提升 一、填空题 1已知在函数 f(x) 3 象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 f(x)的最小正周期为 _ 解析： x R， R 函数 f(x)的最小正周期为 2R， 最大值点为 3 ，相邻的最小值点为 3 ，代入圆方程，得 R 2， T 4. 答案： 4 2如果点 P 在平面区域 2x y 20x 2y 10x y 20上，点 Q 在曲线 (y 2)2 1，那么 |最小值为 _ 解析： 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点 P 到 Q 的距离最小为到 (0， 2)的最小值减去圆的半径 1，由图可知 |PQ|12 22 1 5 1. 4 答案： 5 1 3已知 圆 O： 4 的两条互相垂 直的弦，垂足为 M(1， 2)，则四边形面积的最大值为 _ 解析： 如图，取 点 F， 点 E， 则 | | 四边形 矩形， 3. 又 | 2 4 | 2 4 S 四边形 12| 2 4 4 2 2 22 254 又 0 ， 当 32时， S 四边形 5 答案： 5 4点 P 是圆 8x 2y 13 0 上的动点， O 是坐标原点，则线段 中点 Q 的轨迹方程是 _ 解析：圆的方程可化为 (x 4)2 (y 1)2 4， 设 P( Q(x， y)，则 x y 2x， 2y. ( 圆上的动点， ( 4)2 (1)2 4， (2 x 4)2 (2y 1)2 4，即 (x 2)2 y 12 2 1. 答案： (x 2)2 y 12 2 1 二、解答题 5. (2011 高考陕西卷 )如图，设 P 是圆 25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的正投影，M 为 一点，且 | 45| (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点 (3,0)且斜率为 45的直线被 C 所截线段的长度 解： (1)设 M 的坐标为 (x， y)， P 的坐标为 ( 5 由已知得 54y ，又点 P 在圆上， 5425. 即轨迹 C 的方程为 1. (2)经过点 (3,0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3)， 由 y 45 x1得 3x 8 0， 解之得 3 412 ， 3 412 . 线段 度为 | 1 1625 415. 6已知椭圆 E： 1 的左焦点为 F，左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心，圆 ，设 G 是圆 C 上任意一点 (1)求圆 C 的方程； (2)若直线 直线 l 交于点 T，且 G 为线段 中点，求直线 圆 C 所截得的弦长； (3)在平面上是否存在一点 P，使得 12？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)由椭圆 E： 1， 得 l： x 4， C( 4,0)， F( 2,0) 又圆 C 过原点，所以圆 C 的方程 为 (x 4)2 16. (2)由题意，得 G( 3， 代入 (x 4)2 16，得 15，所以 斜率为 k 15， 方程为 y 15(x 2)， 所以 C( 4,0)到 距离为 d 152 ，直线 圆 C 截得弦长为 2 16 152 27. 故直线 圆 C 截得的弦长为 7. (3)设 P(s， t)， G(则由 12， 得 s 2 t 212， 整理得 3( (16 2s)216 0， 又 G(圆 C： (x 4)2 16 上，所以 80， 代入 得 (2s 8)216 0. 又由 G(圆 C 上任意一点可知 2s 8 0，2t 0，16 0， 6 解得 s 4，t 0. 所以在平面上存在一点 P，其坐标为 (4,0) 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第八章第 3 课时 圆的方程 随堂检测（含解析） 1 (2012 徐州质检 )经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径等于 3的圆的标准方程是 _ 答案： (x 3)2 3 2已知两点 A( 2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 2x 0 上的任意一点，则 面积最小值为 _ 解析：直线 程为 x y 2 0，圆的方程为 (x 1)2 1， 圆心为 (1,0)，圆心到 离 d 32 3 22 . C 到 离最小值为 3 22 B 2 2， 积最小值为 122 2 3 22 1 3 2. 答案： 3 2 3已知点 Q(2,0)，圆 C： 1，若动点 M 到圆 C 的切线长与 比等于 的轨迹方程 解：设 M(x， y)，则 M 到圆 C 的切线长为 1，又 x 2 1x 2 2，化简为 163x173 0. 4已知平面区域 x0 ，y0 ，x 2y 40 ，被圆 C 及其内部所覆盖 (1)当圆 C 的面积最小时，求圆 C 的方程； (2)若斜率为 1 的直线 l 与 (1)中的圆 C 交于不同的两点 A， B，且满足 直线l 的方程 解： (1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0)， P(4,0)， Q(0,2)构成的三角形及其内部，且 直角三角形， 覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆， 圆心是 (2,1)，半径是 5， 圆 C 的方程是 (x 2)2 (y 1)2 5. (2)设直线 l 的方程是： y x b. 圆心 C 到直线 l 的距离是 102 ， 即 |2 1 b|12 12 102 . 解之得， b 1 5. 直线 l 的方程是： y x 1 5. 5如果实数 x， y 满足 4x 1 0，求： (1) (2)y x 的最小值； 2 (3) 解： (1)设 k，得 y 以 k 为过原点的直线的斜率， 又 4x 1 0 表示以 (2,0)为圆心， 3为半径的圆， 如图所示 当直线 y 已知圆相切且切点在第一象限时 k 最大此时： | 3， | 2. ， 60 ， k 3. . (2)设 y x b，即为直线 y x b， b 为直线在 y 轴上的截距，当直线 y x b 与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限， b 最小此时，圆心 (2,0)到直线的距离为 3，即 |2 b|12 12 3， 解得 b 6 2 或 b 6 2(舍 ) y x 最小值为 6 2. (3)法一： 最大值为 2 3，最小值为 2 3. ( y2)(2 3)2 7 4 3， (y2)(2 3)2 7 4 3. 法二： 由 4x 1 0 得 (x 2)2 3， 设 x 2 3y 3( 为参数 )， 则 (2 32 ( 32 7 4 3 当 1 时， (y2)7 4 3. 当 1 时， (y2)7 4 3. A 级 双基巩固 一 、填空题 1过点 A(1， 1)， B( 1,1)，且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是 _ 解析：设圆心 C 的坐标为 (a， b)，半径为 r. 圆心 C 在直线 x y 2 0 上， b 2 a. ， ( a 1)2 (2 a 1)2 (a 1)2 (2 a 1)2， a 1， b 1， r 2， 圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 4. 答案： (x 1)2 (y 1)2 4 2已知点 A(1， 1)， B( 1,1)，则以线段 直径的圆的方程是 _ 解析：圆心坐标为 (0,0)， 半径 r 12 1 2 2 2， 圆的方程为 2. 答案： 2 3若不同四点 A(5,0)， B( 1,0)， C( 3,3)， D(a,3)在同一圆上，则实数 a 的值为 3 _ 解析：设经过 A， B， C 三点的圆的方程为 F 0(4F 0)，由题意可得 52 5D F 0， 2 D F 0， 2 32 D 3E F D 4，E 253 ，F 5. A， B， C 三点确定的圆的方程为 4x 253y 5 0. D(a,3)也在此圆上， 9 4a 25 5 0. a 7 或 a 3(舍去 ) 答案： 7 4已知圆 (x 1)2 (y 1)2 1，圆 1关于直线 x y 1 0 对称，则圆 _ 解析：圆 (x 1)2 (y 1)2 1 的圆心为 ( 1,1) 圆 a， b)， 圆 2关于直线 x y 1 0 对称， b 1a 1 1，a 12 b 12 1 0，解得 a 2，b 2， 又圆 ， 圆 x 2)2 (y 2)2 1. 答案： (x 2)2 (y 2)2 1 5 (2012 南京质检 )已知点 M(1,0)是圆 C： 4x 2y 0 内的一点那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是 _ 解析：过点 M 的最短的弦与 直，圆 C： 4x 2y 0 的圆心为 C(2,1)， 1 02 1 1， 最短弦所在直线的方程为 y 0 1(x 1)，即 x y 1 0. 答案： x y 1 0 6圆 4x 4y 10 0 上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差是_ 解析：所给圆的圆心坐标为 (2,2)，半径 r 3 2， 圆心到直线 x y 14 0 的距离 d |2 2 14|2 5 2. 所求的最大距离与最小距离的差 (d r) (d r) 2r 6 2. 答案： 6 2 7点 P(0,2)到圆 C： (x 1)2 1 的圆心的距离为 _，如果 A 是圆 C 上一个动点， 3，那么点 B 的轨迹方程为 _ 解析： P(0,2)到圆 C： (x 1)2 1 的圆心的距离 d 5，设 B(x， y)， A( (x y ( 4 3， x 3x0，y x2，6 1 2 6 1， 即 (x 2)2 (y 6)2 4. 答案： 5 (x 2)2 (y 6)2 4 8若圆 4x 4y 10 0上至少有三个不同点到直线 l： 0的距离为 2 2，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 _ 解析：圆方程即 (x 2)2 (y 2)2 18，它的圆心为 (2,2)，半径 r 3 2. 由条件得圆心到直线 l 的距离 d |2a 2b|3 2 2 2， 得 2 3 3. 12 2 3， 2 3， 直线 l 倾斜角的取值范围是 12， 512 . 答案： 12， 512 二、解答题 9已知方程 2(t 3)x 2(1 4t2)y 169 0(t R)的图形是圆 (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的半径； (3)若点 P(3,4在所给圆内，求 t 的取值范围 解： (1)方程 即 (x t 3)2 (y 1 4 (t 3)2 (1 4 169， 76t 1 0， 17 t 1. 故 t 的取值范围是 17， 1 . (2) r 76t 1 7 t 37 2 167 ， 当 t 37 17， 1 时， 47 7. (3)当且仅当 32 (4 2(t 3)3 2(1 44 169 0 时，点 P 在圆内， 8 6t 0，即 0 t 34. 故 t 的取值范围是 0， 34 . 10设平面直角坐标系 ，设二次函数 f(x) 2x b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点 的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)问圆 C 是否经过某定点 (其坐标与 b 无关 )？请证明你的结论 解： (1)令 x 0，得抛物线与 y 轴的交点是 (0， b)， 令 f(x) 0，得 2x b 0，由题意 b0 且 0， 5 解得 b 1 且 b0. 故 b 的取值范围为 ( ， 0)(0,1) (2)设所求圆的一般方程为 F 0， 令 y 0，得 F 0，这与 2x b 0 是同一个方程，故 D 2， F b， 令 x 0，得 b 0，此方程有一个根为 b，代 入 E b 1， 所以圆 C 的方程为 2x (b 1)y b 0. (3)圆 C 必过定点 (0,1)， ( 2,1) 证明如下：将 (0,1)代入圆 C 的方程，得左边 02 12 20 (b 1)1 b 0，右边 0，所以圆 C 必过定点 (0,1)；同理可证圆 C 必过定点 ( 2,1) B 级 能力提升 一、填空题 1已知在函数 f(x) 3象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 f(x)的最小正周期为 _ 解析： x R， R 函数 f(x)的最小正周期为 2R， 最大值点为 3 ，相邻的最小值点为 3 ，代入圆方程，得 R 2， T 4. 答案： 4 2如果点 P 在平面区域 2x y 20x 2y 10x y 20上，点 Q 在曲线 (y 2)2 1，那么 |最小值为 _ 解析： 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点 P 到 Q 的距离最小为到 (0， 2)的最小值减去圆的半径 1，由图可知 |PQ|12 22 1 5 1. 答案： 5 1 3已知 圆 O： 4 的两条互相垂直的弦，垂足为 M(1， 2)，则四边形面积的最大值为 _ 解析： 如图，取 点 F， 点 E， 则 | | 四边形 矩形， 3. 又 | 2 4 6 | 2 4 S 四边形 12| 2 4 4 2 2 22 254 又 0 ， 当 32时， S 四边形 答案： 5 4点 P 是圆 8x 2y 13 0 上的动点， O 是坐标原点，则线段 中点 Q 的轨迹方程是 _ 解析：圆的方程可化为 (x 4)2 (y 1)2 4， 设 P( Q(x， y)，则 x y 2x， 2y. ( 圆上的动点， ( 4)2 (1)2 4， (2 x 4)2 (2y 1)2 4，即 (x 2)2 y 12 2 1. 答案： (x 2)2 y 12 2 1 二、解答题 5. (2011 高考陕西卷 )如图，设 P 是圆 25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的正投影，M 为 一点，且 | 45| (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点 (3,0)且斜率为 45的直线被 C 所截线段的长度 解： (1)设 M 的坐标为 (x， y)， P 的坐标为 ( 由已知得 54y ，又点 P 在圆上， 5425. 即轨迹 C 的方程为 1. (2)经过点 (3,0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3)， 由 y 45 x1得 3x 8 0， 解之得 3 412 ， 3 412 . 线段 度为 | 1 1625 415. 7 6已知椭圆 E： 1 的左焦点为 F，左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心，圆 ，设 G 是圆 C 上任意一点 (1)求圆 C 的方程； (2)若直线 直线 l 交于点 T，且 G 为线段 中点，求直线 圆 C 所截得的弦长； (3)在平面上是否存在一点 P，使得 12？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)由椭圆 E： 1， 得 l： x 4， C( 4,0)， F( 2,0) 又圆 C 过原点，所以圆 C 的方程为 (x 4)2 16. (2)由题意，得 G( 3， 代入 (x 4)2 16，得 15，所以 斜率为 k 15， 方程为 y 15(x 2)， 所以 C( 4,0)到 距离为 d 152 ，直线 圆 C 截得弦长为 2 16 152 27. 故直线 圆 C 截得的弦长为 7. (3)设 P(s， t)， G(则由 12， 得 s 2 t 212， 整理得 3( (16 2s)216 0， 又 G(圆 C： (x 4)2 16 上，所以 80， 代入 得 (2s 8)216 0. 又由 G(圆 C 上任意一点可知 2s 8 0，2t 0，16 0，解得 s 4，t 0. 所以在平面上存在一点 P，其坐标为 (4,0) 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第八章第 4 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1圆 C： 6x 5 0 被直线 l： x y 5 0 所截得的弦长为 _ 解析： C： (x 3)2 4，则圆心到直线的距离 d | 3 5|2 2， 弦长 l 4 22 2 2. 答案： 2 2 2两圆 6x 6y 48 0 与 4x 8y 44 0 公切线的条数是 _ 解析：圆 6x 6y 48 0 配成标准方程为 (x 3)2 (y 3)2 64， 圆心坐标 (3， 3)半径 8. 而圆 4x 8y 44 0 配成标准方程 为 (x 2)2 (y 4)2 64， 圆心坐标 ( 2,4)，半径 8， 圆心距 d 74 从而两圆相交，故公切线有两条 答案： 2 3与圆 (y 2)2 1 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 _条 解析：有两条相互垂直的直线，另 两条直线过原点 答案： 4 4若直线 y 1 与圆 1 相交于 P、 Q 两点， 120( 其中 O 为原点 )，则 k 的值为 _ 解析：设直线 x 轴交于 M 点，易知 60 ， k 或 ，即 k 3. 答案： 3或 3 5过点 ( 4,0)作直线 l 与圆 2x 4y 20 0 交于 A、 B 两点，如果 | 8，则 l 的方程为 _ 解析：圆的方程可化为 (x 1)2 (y 2)2 25，所 以圆心 ( 1,2)，半径 r B| 8，解圆中的直角三角形可得圆心到弦所在直线的距离 d 52 42 l 过点 (4,0)，当直线斜率不存在时，方程为 x 4 0，显然成立当斜率存在时，可设为 k，则直线方程可化为 y 4k 0， d | k 2 4k|1 3，解之可得 k x 12y 20 线 l 的方程为 x 4 0 或 5x 22y 20 0. 答案： x 4 0 或 5x 12y 20 0 6 (2010 高考江西卷改编 )直线 y 3 与圆 (x 2)2 (y 3)2 4 相交于 M， N 两点，若 |2 3，则 k 的取值范围是 _ 解析：如图，记题中的圆的圆心为 C(2,3)，作 D，则 | |2k|1 2 于是有 | 2| 2 | | 2 4 4 3，即 44 ， 解得 33 k 33 . 答案： 33 ， 33 7若直线 y x b 与曲线 y 3 4x b 的取值范围是 _ 解析：曲线 y 3 4x x 2)2 (y 3)2 4 的下半圆，如图所示，当直线 y x b 经过点 (0,3)时， b 取最 大值 3，当直线与半圆相切时， b 取最小值，由 |2 3 b|2 2b 1 2 2或 1 2 2(舍 ) 答案： 1 2 2， 3 8 (2010 高考江苏卷 )在平面直角坐标系 ，已知圆 4 上有且只有四个点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _ 解析：如图，圆 4 的半径为 2，圆上有且仅有四个点到直线的距离为 1，问题转化 为原点 (0,0)到直线 12x 5y c 0 的距离小于 1. 即 | | 2 1， | |c 13， 13c13. 答案： ( 13,13) 二、解答题 9已知圆 C： 9，点 A( 5,0)，直线 l： x 2y 0. (1)求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程； (2)若在直线 (O 为坐标原点 )，存在定点 B(不同于点 A)，满足：对于圆 C 上任 意一点 P，都有 所有满足条件的点 B 的坐标 解： (1)设所求直线方程为 y 2x b，即 2x y b 0， 直线与圆相切， 3 | | 12 3， 得 b 3 5， 所求直线方程为 y 2x3 5. (2)假设存在这样的点 B(t,0)，当 P 为圆 C 与 x 轴左交点 ( 3,0)时， | |t 32 ； 当 P 为圆 C 与 x 轴右交点 (3,0)时， | |t 38 ， 依题意， | |t 32 | |t 38 ， 解得， t 5(舍去 )，或 t 95. 下面证明 点 B( 95， 0)对于圆 C 上任一点 P，都有 P(x， y)，则 9 x 95 2 2 y2185x 8125 9 10x 25 9 1825 xx 925， 从而 35为常数 10在平面直角坐标系 ，已知圆 (x 3)2 (y 1)2 4 和圆 (x 4)2 (y 5)2 4. (1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 3，求直线 l 的方程； (2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 们分别与圆 2相交，且直线 1截得的弦长与直线 2截得的弦长相等试求所有满足条件的点 P 的坐标 解： (1)由于直线 x 4 与圆 ，所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y k(x 4)，圆 l 的距离为 d，因为圆 l 截得的弦长为 2 3，所以d 22 3 2 1. 由点到直线的距离公式得 d |1 k 31 从而 k(24k 7) 0，即 k 0 或 k 724， 所以直线 l 的方程为 y 0 或 7x 24y 28 0. (2)设点 P(a， b)满足条件，不妨设直线 y b k(x a)， k0 ，则直线 y b 1k(x a)因为圆 2的半径相等，且圆 以圆 2的圆心到直线 |1 k 3 a b|1 5 1k a 1 整理得 |1 3k b| |5k 4 a 从而 1 3k b 5k 4 a 13k b 5k 4 a (a b 2)k b a 3 或 (a b 8)k a b 5，因为 k 的取值有无穷多个，所以 a b 2 0，b a 3 0， 或 a b 8 0，a b 5 0， 解得 a 52，b 12，或 a 32，b 只可能是点 52， 12 或点 32， 132 . 经检验点 2满足题目条件 B 级 能力提升 一、填空题 1 (2011 高考全国卷改编 )设两圆 都过点 (4,1)，则两圆心的距离 | _. 解析： 两圆都和两坐标轴相切且都经过点 (4,1)， 两圆圆心均在第一象限且横纵坐标相等，设两圆圆心分别为 (a， a)(b， b)则有 (4 a)2 (1 a)2 (4 b)2 (1 b)2 即 a， b 是方程 (4 x)2 (1 x)2 理得 10x 17 0， a b 10，17， ( a b)2 (a b)2 4100 417 32. | a b 2 a b 2 322 8. 答案： 8 2圆 2x 4y 1 0 关于直线 22 0(a， b R)对称，则 取值范围是 _ 解析：圆的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 4，由题意知圆心 ( 1,2)在直线 22 0 上，因此 2a 2b 2 0，即 a b 1， 2 4 ，即 a b 12时等号成立 答案： ( ， 14 3设有一组圆 (x k 1)2 (y 3k)2 2k4(k N*)下列四个命题： 存在一条定直线与 所有的圆均相切； 存在一条定直线与所有的圆均相交； 存在一条定直线与所有的圆均不相交； 所有的圆均不经过原点 其中真命题的序号是 _ 解析；圆心为 (k 1,3k)，圆心在 y 3(x 1)上移动，半径也随 k 增大而增大，故 y3(x 1)一定与所有的圆均相交故 正确， 不正确 对于选项 ，设存在定直线 C 0 与圆相切 d r，则与 k 无关 又 2|A k B3 k c|显然该式中 k 不可能消去，故 不正确 5 对于选项 . 只需代入坐标原点验证即可 答案： 4在平面直角坐标系 ，设直线 y 3x 2中 m， n N*,0 | |m n 1 ，若函数 f(x) 1 n 的零点 k， k 1)， k Z，则 k _. 解析： 直线 y 3x 2 | |2 n，即 2m 2n. m， n N*,0 | |m n 1 ， m 3， n 4. f(x) 3x 1 4. 令 3x 1 4 0，得 x 1(0,1) ，故 k 0. 答案： 0 二、解答题 5 (2012 盐城质检 )如图，在平面直角坐标系 ，已知 4,0)， ,0)， A(0,8)，直线 y t(0 t 8)与线段 、 Q. (1)当 t 3 时，求以 点，且过 点的椭圆的标准方程； (2)过点 Q 作直线 1，记 . 求证：圆心 C 在定直线 7x 4y 8 0 上； 圆 C 是否恒过异于点 过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由 解： (1)设椭圆的方程为 1(a b 0)，当 t 3 时， 中点为 (0,3)，所以 b 3 而 16，所以 25，故椭圆的标准方程为 1. (2) 证明：法一：易得直线 y 2x 8； y 2x 8， 所以可得 P(t 82 ， t)， Q(8 t)，再由 R(4 t,0)， 则线段 中垂线方程为 x 段 y 12x 5t 168 ， 由 y 12x 5t 168x 得 的圆心坐标为 ( 7 2) 经验证，该圆心在定直线 7x 4y 8 0 上 法二：易得直线 y 2x 8； y 2x 8，所以可得 P(t 82 ， t)， Q(8 t)， 再由 R(4 t,0) 设 的方程为 F 0， 则 y t 2 t D F 0 2 4D F 0t 822 t 82 D F 0， 6 解得 D 4 744t 16， 所以圆心坐标为 ( 7 2)，经验证，该圆心在定直线 7x 4y 8 0 上 由 可得圆 C 的方程为 (4 74t)y 4t 16 0. 该方程可整理为 (4y 16) t(x 74y 4) 0， 则由 4y 16 0x 74y 4 0 ，解得 x 413y 3213或 x 4y 0 . 所以圆 C 恒过异于点 点坐标为 (413， 3213) 6已知正三角形 三个顶点都在抛物线 2x 上，其中 O 为坐标原点， 设圆 C 是 外接圆 (点 C 为圆心 ) (1)求圆 C 的方程； (2)设圆 M 的方程为 (x 4 72 (y 72 1，过圆 M 上任意一点 P 分别作圆C 的两条切线 点为 E， F，求 的最大值和最小值 解： (1)设 A， B 两点坐标分别为 ( (由题设知 2 解得 12， 所以 A(6,2 3)， B(6， 2 3)或 A(6， 2 3)， B(6,2 3) 设圆心 C 的坐标为 (r,0)，则 r 236 4，所以圆 C 的方程为 (x 4)2 16. (2)设 2 ，则 | | 16 32 16. 在 ， r| 4|由圆的几何性质得 | 1 7 1 8， | 1 7 1 6， 所以 12 23，由此可得 8 169. 则 的最大值为 169 ，最小值为 8. 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第八章第 4 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 随堂检测（含解析） 1已知集合 A (x， y)|y 3m 4 0， B (x， y)|(x 1)2 (y 2)2 4，若 A B ，则实数 m 的取值范围是 _ 解析： A B ，故直线 y 3m 4 0 和圆 (x 1)2 (y 2)2 4 相离， |m 2 3m 4|1 2，解之得 m 0 或 m 43. 答案： ( ， 0)( 43， ) 2若直线 1 与圆 1 相切，则实数 取值范围是 _ 解析： 直线 1 与圆 1 相切， 11， 1， 2 ， 2| 1. | 12， 12 12. 答案： 12， 12 3 (2010 高考四川卷 )直线 x 2y 5 0 与圆 8 相交于 A、 B 两点，则 _. 解析：圆心到直线的距离 d 55 5，半径 r 2 2，所以 2 2 3. 答案： 2 3 4圆 4 被直线 3x y 2 3 0 截得 的劣弧所对的圆心角的 大小为 _ 解析：如图，因为直线 倾斜角等于 120 ，所以 正三角形，故劣弧所对的圆心角等于 60. 答案： 60 5已知直线 x y a 与圆 4 交于 A， B 两点，且 | | | | ，其中 O 为原点，则实数 a _. 解析：因为 | | | | ，则以 ， 为邻边的平行四边形的对角线相等，则此四边形为矩形所以 a 2. 答案： 2 2 6 (2012 江苏徐州质检 )圆 C 的方程为 (x 2)2 4，圆 M 的方程为 (x 2 52 (y 52 1( R)过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 点分别为 E、F，则 的最小值是 _ 解析：由题意，可知圆心 M(2 5 5，设 x 2 5y 5 则可得圆心 x 2)2 25，由图分析可知，只有当 P、 M、 C 三点共线时，才能够满足 小，此时 | 4， | 2，则 | | 2 3，且 2 230 60 ，故 (2 3)2 6. 答案： 6 7已知两圆 2x 10y 24 0 和 2x 2y 8 0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线方程； (3)求公共弦的长度 解： (1)将两圆方程配方化为标准方程， (x 1)2 (y 5)2 50， (x 1)2 (y 1)2 10. 则圆 1， 5)，半径 5 2； 圆 1， 1)，半径 10. 又 2 5， 5 2 10， 5 2 10. 两圆相交 (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x 2y 4 0. (3)法一：两方程联立，得方程组 2x 10y 24 0 2x 2y 8 0 两式相减得 x 2y 4 ，把 代入 得 2y 0， 0， 2. 40 或 02 ， 所以交点坐标为 ( 4,0)和 (0,2) 两圆的公共弦长为 4 2 2 2 5. 法二：两方程联立，得方程组 2x 10y 24 02x 2y 8 0 ， 两式相减得 x 2y 4 0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由 2x 10y 24 0，得 (x 1)2 (y 5)2 50， 其圆心为 ， 5)，半径 5 2. 圆心 x 2y 4 0 的距离 d | |1 41 2 3 5， 设公共弦长为 2l，由勾股定理 50 45 得 l 5，所以公共弦长2l 2 5. 8求过两圆 1 0 和 4x 0 的交点且与直线 x 3y 6 0 相切的圆的方程 解：令所求圆的方程为 1 (4x) 0. 3 整理得 41 x 11 0(x 21 )2 42 1 2 ， 圆和直线 x 3y 6 0 相切， 21 30 61 32 42 1 2 ， 332x 11 0 分别检验两圆的方程是否与直线相切，得圆 4x 0 和直线 x 3y 6 0 也是相切的 故所求方程为 3332x 11 0 或 4x 0. 1 （江苏专用） 2013 年高考数学总复习 第八章第 5 课时 椭圆 课时闯关（含解析） A 级 双基巩固 一、填空题 1已知 顶点 B、 C 在椭圆 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 上，则 周长是 _ 解析：由椭圆第一定义得 周长是 4a 4 3. 答案： 4 3 2若椭圆 21 的一个焦点坐标是 (0， 4)，则 k 的值为 _ 解析： 1k， 12k，则 12k.又 c 4，所以 k 132. 答案： 132 3 “ m n 0” 是 “ 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ” 的 _条件 解析：把椭圆方程化成 1.若 m n 0，则 1n 1m y 轴上反之，若椭圆的焦点在 y 轴上，则 1n 1m 0 即有 m n 答案：充要 4中心在原点，准线方程为 x 4 ，离心率为 12的椭圆方程为 _ 解析： e 12， x 4 ， a 2， c 1，方程为 1. 答案： 1 5 (2010 高考广东卷改编 )若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆 的离心率是 _ 解析：由题意有 2a 2c 2(2b)，即 a c 2b，又 去 b 整理得 532 52e 3 0， e 35或 e 1(舍去 ) 答案： 35 6设椭圆 1 1(m 1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则 P 到右准线的距离为 _ 解析： 1， 1 1 2aa 2， l 右 1e 2. 答案： 2 7动圆 C 和定圆 (y 4)2 64 内切而和定圆 (y 4)2 4 外切则动圆圆 2 心的轨迹方程为 _ 解析：如图，该动圆圆心为 C(x， y)，半径为 r，由已知得： | 8 r， | 2 r 得： | | 10， 点 C 的轨迹是以 其中 2a 10,2c 8. a 5， c 4， b 3. 动圆圆心的轨迹方程为 1. 答案： 1 8如图所示，椭圆中心为 O， F 是焦点， A 为顶点，准线 l 交 长线于 B， P、 Q 在椭圆上，且 l 于 D， F，则椭圆离心率为： | | | | |上述离心率正确的个数是 _ 解析：观察图形知， F 为左焦点，则 l 必为左准线，由椭圆的第二定义知： | e，又 Q 到 l 的距离 d | 而 | e； | e， |e；|e. 故以上五个比值均可以作为椭圆的离心率 答案： 5 二、解答题 9如图，椭圆 E： 1(a b 0)的左、右焦点分别为 A(4， m)在椭圆 E 3 上，且 0，点 D(2， 0)到直线 距离 185. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设点 P 为椭圆 E 上的任意一点，求 的取值范围 解： (1)由题意知 c 4， 4,0)， ,0) 185 ， 6， 又 0， 2a1856 43由 16 43 48， 64. 椭圆 E 的方程为 1. (2)设点 P(x， y)，则 1， 即 48 34 ( 4 x， y)， (2 x， y)， 2x 8 142x 40 14(x 4)2 36. 8 x8 ， 的取值范围是 36,72 10设椭圆 C： 1(a b 0)的左焦点为 F，上顶点为 A，过点 A 与 直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P， Q，且 85. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若过 A， Q， F 三点的圆恰好与直线 l： x 3y 3 0 相切，求椭圆 C 的方程 解： (1) y b. 点 Q 0 . 又 A(0， b)，设 P(则由 85，得 (b) 85 4 81，得85 1，解得 e2. (2)由 (1)，知 c b 32 a， 椭圆方程为 1，即 343此时， A 0， 32 a ， Q 32a， 0 ， F 0 . 中点坐标为 0 . 此即过 A， Q， F 三点的圆的圆心，它 的半径 r 4 r 31 3， 因此32 4 a 2， b 3，故椭圆 C 的方程为 1. B 级 能力提升 一、填空题 1已知椭圆 1(a b 0)， A(2,0)为长轴的一个端点，弦 椭圆的中心 O，且 0， | | 2| |，则椭圆的方程为 _ 解析： | | 2| |， | | 2|，又 0， ， 等腰直角三角形 又 | 2， C 点的坐标为 (1,1)或 (1， 1)， C 点在椭圆上， 111，又 4， 43， 椭圆方程为 1. 答案： 1 2 (2012 苏北五市调研 )已知椭圆 1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 c,0)， F2(c,0)，若椭圆上存在点 P(异于长轴的端点 )，使得 该椭圆离心率的取值范围是 _ 解析：由题意 a 22e，因为 a c a ca c 2e a c1 e 21 e 1 e，又 0 e 1，所以 2 1 e 1. 答案： ( 2 1,1) 3已知椭圆 1 内有一点 P(1， 1)， F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M，使 | 2|得最小值，则点 M 的坐标为 _ 解析： 5 如右图所示， l 为椭圆的右准线，过点 M 作准线的垂线，垂足
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